初三圆知识点,专项复习
时间:2025-04-04
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初三圆知识点,专项复习
《圆》重要章节知识点复习
一、圆的概念
集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念:
1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 d r 点C在圆内; 2、点在圆上 d r 点B在圆上; 3、点在圆外 d r 点A在圆外;
练习题:一个圆的直径为8cm,到圆心的距离为5cm,则该点在圆
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 d r 无交点; 2、直线与圆相切 d r 有一个交点; 3、直线与圆相交 d r 有两个交点;
A
练习题:、一个点到圆的最短距离为3cm,到圆的最长距离为9cm,则这个圆的半径为
四、圆与圆的位置关系
外离(图1) 无交点 d R r; 外切(图2) 有一个交点 d R r; 相交(图3) 有两个交点 R r d R r;
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内切(图4) 有一个交点 d R r; 内含(图5) 无交点 d R r;
图1
图2
五、垂径定理
图4
图5
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB是直径 ②AB CD ③CE DE ④ 弧BC 弧BD ⑤ 弧AC 弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O中,∵AB∥CD ∴弧AC 弧BD 六、圆心角定理
B
D
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:① AOB DOE;②AB DE;
③OC OF;④ 弧BA 弧BD
练习题:如图, O为 ABC的外心,若 BAC 50,则 OBC
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七、圆周角定理
1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:∵ AOB和 ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴ AOB 2 ACB 2、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧; 即:在⊙O中,∵ C、 D都是所对的圆周角 ∴ C D
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。
即:在⊙O中,∵AB是直径 或∵ C 90 ∴ C 90 ∴AB是直径
推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 即:在△ABC中,∵OC OA OB
B
B
A
∴△ABC是直角三角形或 C 90
O
A
注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 6、如图四边形ABOC,(O为圆心),若 BOC 130,则 A _____
B
八、圆内接四边形
A
D
B
5题图
C
6题图
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在⊙O中,
∵四边形ABCD是内接四边形
∴ C BAD 180 B D 180 DAE C
练习题5:边形ABCD内接于⊙O,若 ABC 150,则 ADC _______
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7、如图, AOB 110,则 ACB _______
B
九、切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵MN OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线
7题图
(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 11、如图,⊙O的半径为6,弦AB 10,M是弦AB上的动点,最线段OM的最小值为,最大值为
十、切线长定理 切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即:∵PA、PB是的两条切线 ∴PA PB PO平分 BPA
十一、圆幂定理
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