第二章导数与微分

一、主要内容小结

1.定义·定理·公式

（1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义

（2）定理与运算法则

定理1)(0x f '存在⇔='-

)(0x f )(0x f +'. 定理2若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真.

定理3函数)(x f 在0x 处可微⇔)(x f 在0x 处可导.

导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则

v u v u '±'='±)(,dv du v u d ±=±)(

u v v u uv '+'=')(,vdu udv uv d +=)(

)0()(2≠'-'='v v

v u u v v u ，)0()(2≠-=v v

udv vdu v u d （3）基本求导公式

2.各类函数导数的求法

（1）复合函数微分法

（2）反函数的微分法

（3）由参数方程确定函数的微分法

（4）隐函数微分法

（5）幂指函数微分法 （6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法.

方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）.

（7）分段函数微分法

3.高阶导数

（1）定义与基本公式

高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(=)0(>a x n x e e =)()(

莱布尼兹公式：

（2）高阶导数的求法①直接法②间接法

4.导数的简单应用

(1)求曲线的切线、法线(2)求变化率——相关变化率

二、例题解析

例2.1设⎪⎩

⎪⎨⎧=≠⋅=0,00,1sin )(x x x x x f K ,（K 为整数）.问： （1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导；

（2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续；

（3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？

解函数)(x f 在x=0点的导数：

0lim →x =--0)0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(⋅

=0lim →x x x K 1sin )(1⋅-=⎩⎨⎧>≤1

01 K K 当，，当发散 即⎩

⎨⎧>≤='1,01)0(K K f 不存在， 当1>K 时,)(x f 的导函数为：

为使='→)(lim 0

x f x 0)0(='f ，取2>K 即可。 因此，函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅=0,00,1sin )(x x x x x f K

当K ≤1时，)(x f 在0=x 处不可导；

当2=K 时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数在0=x 处不连续；

当2>K 时，)(x f 在0=x 处可导且导函数在0=x 处连续。

例2.2tgx x ctgx x y +++=1cos 1sin 22，求dx

dy 。 分析本例当然可以用商的求导法则来求，但比较麻烦，若先对函数表达式进行变形就可用代数和的求导法则来求，这样就简便多了。 解x

x x x x x x x x x y cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin 3333++=+++==x 2sin 211-。 所以x y 2cos -='。

如果不经过化简，直接求导则计算将是十分繁琐的。

例2.3x arctge y =1ln 22+-x x

e e ，求dx

dy 。 分析本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求，比较麻烦，但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形，再利用差及复合函数求导法来求，就简便得多。

解因为x arctge y =)]1ln([ln 2122+--x x e e )1ln(212++-=x x e x arctge

所以)('='x

arctge y )]'1[ln(212++'-x e x =122111222++-+x x x x e e e e 112+-=x x e e 例2.4设=y )()(x f x e e f ，求dx

dy 。 解利用积的求导法则及复合函数求导法则，有

dx

dy =+')()(x f x x e e e f )()()(x f e e f x f x '=+'x x x f e e f e )([)()]()(x f e f x '。 例2.5设方程)cos(22y x e xy y +=+,求y '.

本例是隐函数求导问题，对隐函数求导可用下面两种方法来求。

解(方法一)方程两端同时对x 求导(y 看作x 的函数)(x y y =),由复合函数求导法可得

(方法二)方程两边同时微分：))(cos()(22y x d e xy d y +=+ 所以)

sin(22)sin(222y x y e xy y x y dx dy y +++++-= 例2.6已知⎩

⎨⎧-'='=)()()(t f t f t y t f x ,)(t f 为二次可微函数,且0)(≠''t f ，求dx dy ,22dx y d 。 分析这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题，可按参数方程求导法则来求。 解因为)]()([t f t f t d dy -'==dt t f t )('' 所以

t dt t f dt t f t dx dy =''''=)()(。 又dt dx dy d =)(

所以=22dx y d =

)("1)("t f dt t f dt dx dy dx d ==⎪⎭⎫ ⎝⎛。 常见错解：22dx y

d 1)'(==t 。

错误原因没有搞清求导对象.

22dx y d ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy dx d 是一阶导数dx dy 对x 求导,而't 是一阶导数对t 求导。 例2.7求函数12+=x x

y 的微分。 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21x

x d dy 222111x x xd dx x ++-+==22221)1(1211x x d x x dx x +++⋅-+ =232222

2)1(111x dx

x dx x x dx x +=++-+

例2.8设2323

+-=x x x y ,求)(n y 。

分析本例是求分式有理函数的高阶导数，先将有理假分式通过多项式除法化为整式与有理真分式之和，再将有理分式写成部分分式之和，最后仿)()(n m x 的表达式写出所给定的有理函数的n 阶导数。 解1

1283)1)(2(67)3(---++=---++=x x x x x x x y )(n y =)(1)(1)(])1[(])2(8[)3(n n n x x x -----++

=n n n n x n x n --------⋅⋅-+11)1(!)1()2(!8)1(0 =⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡----++11)1(1)2(8!)1(n n n x x n （2≥n ） 例2.9设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=0

,10,)(2x x x e x f x 求)(x f 的导函数)(x f '的连续区间，若间断，判别类型，并分别作)(x f 与)(x f '的图形。

分析函数)(x f 是用分段表达的函数.在0=x 的两侧：当0>x 时，x e x f =')(；

当0<x 时，x x f 2)(='.因此，在0=x 处，)(x f 的可导情况，需根据定义来作判断，求出导函数后，再判别它的连续区间。

解因为=-=-→-x

f x f f x )0()(lim )0('0011lim 20=-+-→x x x 11lim )0()(lim )0('00=-=-=++→→+x

e x

f x f f x x x ，所以)(x f 在0=x 处不可导。 故⎪⎩⎪⎨⎧<>='0

,20,)(x x x e x f x 。 因为在0=x 处)(x f '无定义，所以0=x 是)(x f '的间断点

又因为-→0lim x )(x f '=-→0

lim x )2(x =0； )(lim 0x f x '+→=1lim 0

=+→x x e 所以0=x 为)(x f '的跳跃间断点。