十字相乘法的例题分析及讲义,非常经典,适合中高阶段学生

十字相乘法培优

知识点讲解: 一、十字相乘法：

（1）．x (p q)x pq型的因式分解

2 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．

x2 (p q)x pq x2 px qx pq x(x p) q(x p) (x p)(x q) 因此，x (p q)x pq (x p)(x q)

例1把下列各式因式分解： (1) x 7x 6 22 (2) x 13x 36 2

变式

1、a2b2 2ab 15 2、a4b2 3a2b 18

例2把下列各式因式分解：

⑴a2 4ab 3b2 ⑵(x2 x)2 8(x2 x) 12

变式1、x2 2xy 15y2 2.、x2 5xy 6y2

3、x2 4xy 21y2 4、x2 7xy 12y2

例3把下列各式因式分解： ⑴(x y)2 4(x y) 12 ⑵(x y)2 5(x y) 6

变式1、(x y)2 9(x y) 14 2、(x y)2 5(x y) 4

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3、(x y)2 6(x y) 16 4、(x y)2 7(x y) 30

例4 ⑴ x2y 3x2y 10 3y ⑵a2b2 7ab3 10b4

变式⑴(x2 3x)2 2(x2 3x) 8 ⑵(x2 2x)(x2 2x 2) 3

⑶3x3 18x2y 48xy2 ⑷(x2 5x)2 2(x2 5x) 24

⑸(x2 2x)(x2 2x 7) 8 ⑹x4 5x2 4

（2）．一般二次三项式ax bx c型的因式分解

大家知道，(a1x c1)(a2x c2) a1a2x (a1c2 a2c1)x c1c2．

反过来，就得到：a1a2x (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2x c2)

例5把下列各式因式分解： (1) 12x 5x 2 2222 (2) 5x 6xy 8y 22

练习：

1.把4xy 5xy 9y分解因式的结果是________________。

2.因式分解：3x 7x 6 3x 8x 3 3x 5x 2 例6 4x 65xy 16y； a 7ab 8b； 4224422222226336

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变式6a 5a 4a； （6）4a 37ab 9ab．

例7 x 2xy x y y 2 2243264224

变式 x2 2xy 3x 3y y2 2

拓展讲解：

例1. 若x y mx 5y 6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ）

A. 1

g B. -1 C. 1 D. 2

222ac 4ba cb 例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足 。

求证：ab bc

例3. 若x 有一因式x 。求a，并将原式因式分解。 5x 7x a1

练习：

1. 分解因式： 32

b 16ab 39（1）a （2）15x 7xy 4y 222nnn 12n 2

3x 22x 3x 72（3）x

2 2 2

x x 13xk 有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。 2. 已知多项式2

32

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作业：

一．用十字相乘法分解因式

（1）x2 9x 14 （2）x2 x 12 （3）x2 8x 12 （4）x2 7x 10

（5）x2 2x 8 （6）x2 9x 22 （7）2x2 9x 5 （8）3x2 7x 6

（9）8x2 10x 3 （10）10x2 27x 5 (11).2x－5x－12 (12).3x－5x－2 22

(13).6x2－13x+5 (14).7x2－19x－6 (15).12x2－13x+3 (16).4x2+24x+27.

、

(17).6x2－13xy+6y2 (18).8x2y2+6xy－35 (19).18x2－21xy+5y2 (20).5x²+6x-8