上海市八中学

问题1 问题1

确定一条直线的要素： 确定一条直线的要素： 直线过定点 方向向量、法向量、另一点、 方向向量、法向量、另一点、 倾斜角不是直角)。 斜率 (倾斜角不是直角 。 倾斜角不是直角

1. 定位 2. 定向

这便是直线的点方向式、点法向式、 这便是直线的点方向式、点法向式、点斜式 点方向式 的由来，斜截式是点斜式的特例 是点斜式的特例。 的由来，斜截式是点斜式的特例。 问题2 问题2 直线的一般式方程

不全为0)叫做直线方程的 方程ax+by+c=0(a,b不全为 叫做直线方程的一 ， 不全为 叫做直线方程的一 方程 般式，任何一条直线的方程都可以化成一般式。 般式，任何一条直线的方程都可以化成一般式。

问题2: 问题 ：直线方程归纳 名 称点方向式

已知条件点P(x0,y0)和 和 方向向量(u,v) 方向向量 点P(x0,y0)和 和 法向量(a,b) 法向量 点P(x0,y0) 和斜率k 和斜率 斜率k和在 斜率 和在y 和在 轴上的截距b 轴上的截距 两个独立 的条件

标准方程x x0 y y0 = u v

适用范围不垂直于 x、y轴的直线 、 轴的直线 任意直线 不垂直于 x轴的直线 轴的直线 不垂直于 x轴的直线 轴的直线 a,b不全为 ， 不全为 不全为0

点法向式

a( x x0 ) + b( y y0 ) = 0

点斜式

y y0=k(x x0) y=kx+b ax+by+c=0

斜截式

一般式

过点P( 例：已知直线l过点 3,4),求满足下列条件的 已知直线 过点 ， 直线l的方程 的方程： 直线 的方程： (1)过另一点 )过另一点Q(a,1); ; 解：当a= 3时， l:x= 3; 时 ： ; ≠ 3时 当a≠ 时， k = ≠ 3 a+3P( 3,4) 1

y

3 l: y 4= ( x + 3). a+3解法二： PQ 解法二： = ( a + 3, 3 )

O

x

直线l的法向量为 直线 的法向量为(3,a+3), 的法向量为 ， 直线l的方程为 直线 的方程为3(x+3)+(a+3)(y 4)=0. 的方程为

到直线l的距离最大 (2)坐标原点 到直线 的距离最大； )坐标原点O到直线 的距离最大； 分析： 与直线l垂直时 分析：当OP与直线 垂直时，点O 与直线 垂直时， 到直线l的距离最大 的距离最大。 到直线 的距离最大。解：直线 l的一个法向量为 OP = ( 3 ,4 ) 的一个法向量为

直线l的方程为 直线 的方程为3(x+3) 4(y 4)=0. 的方程为 即3x 4y+25=0. P( 3,4)

y

O

x

(3)到两点 到两点A(2,6)、B( 4, 2)距离相等； 距离相等； 到两点 、 距离相等 直线l与 平行 平行， 解：(1)直线 与AB平行，AB = ( 6, 8) 直线x+3 y 4 l: = 6 8

即4x 3y+24=0 y P( 3,4) A(2,6)

(2)直线 过AB的中点， 直线l过 的中点 的中点， 直线 AB的中点坐标为( 1,2), AB的中点坐标为( 1,2), 的中点坐标为 4 2 l: y 4=

( x + 3) 3 ( 1)

即x+y 1=0

B( 4, 2)

O

x

(4)直线 与x轴负半轴、y轴正半轴围成直角三 直线l与 轴负半轴 轴正半轴围成直角三 轴负半轴、 直线 角形，且使三角形的面积最小。 角形，且使三角形的面积最小。 解：设直线方程为y 4=k(x+3) (k>0) 设直线方程为 直线与 x轴交于点 A( 3 4 ,0), kyB

斜率k存在 斜率 存在

直线与 y轴交于点B(0,3k + 4), 轴交于点 1 1 4 S AOB = | OA || OB |= ( 3 + )( 3k + 4) 2 2 k P( 3,4) 1 16 = (24 + 9k + ) 2 k 1 16 ≥ (24 + 2 9k ) = 24 A 2 k16 4 当且仅当 9 k = 即 k = 时， S min = 24 . k 3 4 l : y 4 = ( x + 3) 3

O

x

已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 ， 已知直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为3, 与两坐标轴围成的三角形的面积为 分别求满足下列条件的直线l的方程 的方程： 分别求满足下列条件的直线 的方程：1 (1)过定点 3,4);(2)斜率为 . 过定点A( , ; 斜率为 过定点 6

分析：选择适当的直线方程的形式。 斜率k存在 斜率 存在 解：设直线方程为y 4=k(x+3), 设直线方程为 令x=0,得y=3k+4, B(0,3k+4) , 令y=0,得x= ,S BOC

y B

4 3 , C ( 4 3,0) k k 1 1 4 = | BO || CO |= | 3k + 4 || + 3 |= 3, k 2 2

A C

O

x

|9k2+24k+16|=6|k|,

8 2 直线方程为 y 4 = ( x + 3)或y 4 = ( x + 3). 3 3

2 8 k = 或k = . 3 3

1 (2)设直线方程的形式为 y = x + b, 设直线方程的形式为 6

直线与 y轴的交点为 B ( 0, b ), 轴的交点为 直线与 x轴的交点为 C ( 6b ,0 ),S BOC 1 1 = | OB || OC |= | b || 6b |= 3, 2 2

∴b=±1. ±1 直线方程的形式为 y = x ± 1. , 6

1.求直线方程需要两个独立的条件. .求直线方程需要两个独立的条件 2.求直线方程的方法： 求直线方程的方法： ①直接法；②待定系数法. 直接法； 待定系数法. 3.注意各种直线方程的适用范围，求解时要 .注意各种直线方程的适用范围， 防止可能产生的遗漏情况. 防止可能产生的遗漏情况 4.注重数形结合、分类讨论思想的运用. .注重数形结合、分类讨论思想的运用.