东南大学高数期末试卷

03～10级高等数学（A）（上册）期末试卷

2003级高等数学（A）（上）期末试卷

一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数y y(x)由方程

x y

1

edt x确定，则

t2

dy

dx

x 0

（ ）

(A)e 1; (B)1-e ; (C)e-1 ; (D)2e.

2．曲线y 2x

lnx

4的渐近线的条数为（ ） x 1

(A) 1 ; (B) 2 ; (C) 3 ; (D) 0 .

3．设函数f(x)在定义域内可导，y f(x)的图形如右图所示， 则导函数y f (x)的图形为（ ）

4．微分方程y 4y 3cos2x的特解形式为（ ）

(A) y* Acos2x; (B) y* Axcos2x;(C) y Axcos2x Bxsin2x; (D) y Asin2x.

二、填空题（每小题3分，共18分）

1

*

*

___________ 1．lim(e x)x __________

x 0

x

2

2．若y arctan

21dy

ef(cosx)，其中f可导，则 _______________ xdx

1

xsin,x 0

,若导函数f (x)在x 0处连续，则 的取值范围是3．设f(x) x

x 0 0,

__________。

东南大学高数期末试卷

x2

4．若f(x)

t 4

，则f(x)的单增区间为__________,单减区间为__________. t3 2

5．曲线y xe x的拐点是__________

6．微分方程y 4y 4y 0的通解为y __________________________ 三、计算下列各题（每小题6分，共36分）

1．计算积分

arctanx

(1 x2)2

2

2

2．计算积分 3

xsinx

5

cosx

3. 计算积分

x3e xdx 4. 计算积分

dx

2 cosx

5.设f(x)连续，在x 0处可导，且f(0) 0,f (0) 4，求lim

x 0

x

(t f(u)du)dt

t

xsinx

3

6.求微分方程2xydy (x2 2y2)dx 0的通解 四.（8分）求微分方程y 3y 2y 2xe满足条件y

x

x 0

0,y

x 0

0的特解

五.（8分）设平面图形D由x2 y2 2x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。

x 5t2 t

六.（7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C: 与x轴所围成，试求其质量m 2

y t 2t

七.（7分）设函数f(x)在[ a,a]上有连续的二阶导数，且f(0) 0，证明：至少存在一

a

点 [ a,a]，使得

a

a3

f(x)dx f ( )

3

2004级高等数学（A）（上）期末试卷

一. 填空题（每小题4分，共20分） 1．函数f x

1

的间断点 是第 类间断点.

1 x

xF x ,则f x 1 x2

2. 已知F x 是f x 的一个原函数,且f x 3.

x 1 x e

1

2005

1

x

x

e xdx .

4. 设f x

sint

4 udu dt,则f 0 0 1

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5. 设函数f x

2xx

dt t

3

x 0 ,则当x 时,取得最大值.

二. 单项选择题(每小题4分,共16分)

1. 设当x x0时, x , x 都是无穷小 x 0 ,则当x x0时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ]

1 2 x 22

(A) (B) x x sin (C)ln 1 x x (D) x x

x x1

2. 曲线y ex

x2 x 1

的渐近线共有 [ ] x 1x 2(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条

3. 微分方程y y 2y xe2x的一个特解形式为y [ ] (A) ax b x2e2x (B) axe (C) ax b e2x (D) ax b xe2x

2x

4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若 c,d a,b ,则必有

d

c

f x dx f x dx.

a

b

(B) 若f x在区间 a,b 上可积,则f x 在区间 a,b 上可积. (C) 若f x 是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有

a T

a

f x dx f x dx.

T

(D) 若f x 在区间 a,b 上可积,则f x 在 a,b 内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)

1. lim

x 0

ln cost t dt

x

2

x

3

2

2

xy

2. 设函数y y x 是由方程x y ye 2所确定的隐函数,求曲线y y x 在点

0,2 处的切线方程.

3.

xcos2x cos4xdx 4. 1

arctanx

dx 3

x

y y x sinx

5. 求初值问题 1 的解.

y 0 1,y 0 2

lnx

东南大学高数期末试卷

四.(8分) 在区间 1,e 上求一点 ,使得图中所示阴影部分绕x轴旋转所得旋转体的体积最小.

五.(7分) 设 0 a b,求证 ln

b2 b a . aa b

六.(7分) 设当x 1时,可微函数f x 满足条件

f x f x

1x

f t dt 0 0x 1

且f 0 1,试证: 当x 0时,有 e x f x 1 成立. 七.(7分) 设f x 在区间 1,1 上连续,且

f x dx f x tanxdx 0,

1

1

11

证明在区间 1,1 内至少存在互异的两点 1, 2,使f 1 f 2 0.

2005级高等数学（A）（上）期末试卷

一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）

1． lim

x 0

x20

sint2dtx

6

x3

2．曲线y 的斜渐近线方程是 ；

2(1 x)2

3．设y y(x)是由方程ylny lnx所确定的隐函数，则4．设f在区间[0, ]上连续，且f(x) sinx

dy

； dx

f(x)dx，则f(x) ；

2

3 1 x,x 0

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