东南大学高数期末试卷

03～10级高等数学（A）（上册）期末试卷

2003级高等数学（A）（上）期末试卷

一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数y y(x)由方程

x y

1

edt x确定，则

t2

dy

dx

x 0

（ ）

(A)e 1; (B)1-e ; (C)e-1 ; (D)2e.

2．曲线y 2x

lnx

4的渐近线的条数为（ ） x 1

(A) 1 ; (B) 2 ; (C) 3 ; (D) 0 .

3．设函数f(x)在定义域内可导，y f(x)的图形如右图所示， 则导函数y f (x)的图形为（ ）

4．微分方程y 4y 3cos2x的特解形式为（ ）

(A) y* Acos2x; (B) y* Axcos2x;(C) y Axcos2x Bxsin2x; (D) y Asin2x.

二、填空题（每小题3分，共18分）

1

*

*

___________ 1．lim(e x)x __________

x 0

x

2

2．若y arctan

21dy

ef(cosx)，其中f可导，则 _______________ xdx

1

xsin,x 0

,若导函数f (x)在x 0处连续，则 的取值范围是3．设f(x) x

x 0 0,

__________。

东南大学高数期末试卷

x2

4．若f(x)

t 4

，则f(x)的单增区间为__________,单减区间为__________. t3 2

5．曲线y xe x的拐点是__________

6．微分方程y 4y 4y 0的通解为y __________________________ 三、计算下列各题（每小题6分，共36分）

1．计算积分

arctanx

(1 x2)2

2

2

2．计算积分 3

xsinx

5

cosx

3. 计算积分

x3e xdx 4. 计算积分

dx

2 cosx

5.设f(x)连续，在x 0处可导，且f(0) 0,f (0) 4，求lim

x 0

x

(t f(u)du)dt

t

xsinx

3

6.求微分方程2xydy (x2 2y2)dx 0的通解 四.（8分）求微分方程y 3y 2y 2xe满足条件y

x

x 0

0,y

x 0

0的特解

五.（8分）设平面图形D由x2 y2 2x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。

x 5t2 t

六.（7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C: 与x轴所围成，试求其质量m 2

y t 2t

七.（7分）设函数f(x)在[ a,a]上有连续的二阶导数，且f(0) 0，证明：至少存在一

a

点 [ a,a]，使得

a

a3

f(x)dx f ( )

3

2004级高等数学（A）（上）期末试卷

一. 填空题（每小题4分，共20分） 1．函数f x

1

的间断点 是第 类间断点.

1 x

xF x ,则f x 1 x2

2. 已知F x 是f x 的一个原函数,且f x 3.

x 1 x e

1

2005

1

x

x

e xdx .

4. 设f x

sint

4 udu dt,则f 0 0 1

东南大学高数期末试卷

5. 设函数f x

2xx

dt t

3

x 0 ,则当x 时,取得最大值.

二. 单项选择题(每小题4分,共16分)

1. 设当x x0时, x , x 都是无穷小 x 0 ,则当x x0时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ]

1 2 x 22

(A) (B) x x sin (C)ln 1 x x (D) x x

x x1

2. 曲线y ex

x2 x 1

的渐近线共有 [ ] x 1x 2(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条

3. 微分方程y y 2y xe2x的一个特解形式为y [ ] (A) ax b x2e2x (B) axe (C) ax b e2x (D) ax b xe2x

2x

4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若 c,d a,b ,则必有

d

c

f x dx f x dx.

a

b

(B) 若f x在区间 a,b 上可积,则f x 在区间 a,b 上可积. (C) 若f x 是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有

a T

a

f x dx f x dx.

T

(D) 若f x 在区间 a,b 上可积,则f x 在 a,b 内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)

1. lim

x 0

ln cost t dt

x

2

x

3

2

2

xy

2. 设函数y y x 是由方程x y ye 2所确定的隐函数,求曲线y y x 在点

0,2 处的切线方程.

3.

xcos2x cos4xdx 4. 1

arctanx

dx 3

x

y y x sinx

5. 求初值问题 1 的解.

y 0 1,y 0 2

lnx

东南大学高数期末试卷

四.(8分) 在区间 1,e 上求一点 ,使得图中所示阴影部分绕x轴旋转所得旋转体的体积最小.

五.(7分) 设 0 a b,求证 ln

b2 b a . aa b

六.(7分) 设当x 1时,可微函数f x 满足条件

f x f x

1x

f t dt 0 0x 1

且f 0 1,试证: 当x 0时,有 e x f x 1 成立. 七.(7分) 设f x 在区间 1,1 上连续,且

f x dx f x tanxdx 0,

1

1

11

证明在区间 1,1 内至少存在互异的两点 1, 2,使f 1 f 2 0.

2005级高等数学（A）（上）期末试卷

一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）

1． lim

x 0

x20

sint2dtx

6

x3

2．曲线y 的斜渐近线方程是 ；

2(1 x)2

3．设y y(x)是由方程ylny lnx所确定的隐函数，则4．设f在区间[0, ]上连续，且f(x) sinx

dy

； dx

f(x)dx，则f(x) ；

2

3 1 x,x 0

5．设f(x) x，则 f(x 2)dx

1

e,x 0

6．

sinx

dx 2

x cosx

7．曲线y lnx相应于1 x 3的一段弧长可用积分 表示； 8．已知y1 e与y2 e分别是微分方程y ay by 0的两个特解，则常数

x

2x

a b ；

9．f (x0) 0是曲线y f(x)以点(x0,f(x0))为拐点的

东南大学高数期末试卷

二．计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 1．

设f(x)

x0

tt，求f (x)

ex 1

dx 3

．2． 2x

e 4

4

．

x

1

三．（本题满分9分）设有抛物线 :y a bx2(a 0,b 0)，试确定常数a、b的值，使得（1） 与直线y x 1相切；（2） 与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积最大。

四．（本题共2小题，满分14分） 1．（本题满分6分）求微分方程2xye 1dx edy 0的通解。

2．（本题满分8分）求微分方程y 2y x e满足初始条件y(0) 2,y (0)

2x

x2

x2

9

的特解。 4

五．（本题满分7分） 第4页 试证：（1）设u e，方程xlnx u在x e时存在唯一的实根x(u)；

（2）当u 时，

lnu1

是无穷小量，且是与等价的无穷小量。

ux(u)

六．（本题满分6分）

证明不等式： 1 其中n是大于1的正整数。

111 1 ln 352n 1

2006级高等数学（A）（上）期末试卷

一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．lim

x 0

x etdt

x

2

x(cosx 1)

；

2

x 1 t

2．曲线 在t 2对应的点处的切线方程为 ； 3

y t

3．函数f(x) x ln(1 x)在区间 内严格单调递减；

东南大学高数期末试卷

4．设y y(x)是由方程xy lny 1所确定的隐函数，则y (0) ；

x5 5．

dx ； 11 x2 x4 1

212

tf(2x t)dt arctanxf(1) 1，已知,则 0 1f(x)dx 2

y x

，当 x 0时， 是 x的 7．已知y y(x)在任意点x处的增量 y

1 x2

6．设f(x)连续，且

x

高阶无穷小，已知y(0) ，则y(1) _____；

8．曲线y xln e

1

的斜渐近线方程是 ； x

9．若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解y1 e3x,y2 ex，则该方程为 二.计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 1．计算不定积分

1

x 2．计算定积分

2 0

xsinxdx

3．计算反常积分

x1

4．设

G(x) t，求 dx 21

xx 1

10

G(x)dx

x lncost

三．（本题满分7分）求曲线 自t 0到t 一段弧的长度。 （第3页） 1

4y sint 2

四．（本题共2小题，第1小题7分，第2小题9分，满分16分）

2

1．求微分方程yy sinx ycotx的通解。

2．求微分方程y y x sinx的特解，使得该特解在原点处与直线y 五．（本题满分7分）设a 1，求积分I(a)

3

x相切。 2

1 1

x ae2xdx的最大值。 （第4页）

六．（本题满分6分）设函数f(x)在[2,4]上存在二阶连续导数，且f(3) 0，证明：至少存在一点 [2,4]，使得 f ( ) 3

42

f(x)dx。

2007级高等数学（A）（上）期末试卷

东南大学高数期末试卷

一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．lime x

x 0

x

1x ；

2．设y x

sin

1x

，则dy ；

h 0

3．已知f (3) 2，则lim4．对数螺线 e 在

f(3 h) f(3)

；

sin2h

2

对应的点处的切线方程是；

y2xt

x 5．

设y y(x)是由方程 edt cost2dt 0确定的隐函数，则y(x)00的单调增加区间是，单调减少区间是；

6．曲线y xe 2x的拐点坐标是，渐进线方程是； 7．lim 8．

nn n ； 222 n n2 3n 12n 3n

cosx2sin3xdx ；

9．二阶常系数线性非齐次微分方程y y 2sinx的特解形式为

y* .

二.计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，满分21分）

10.

20

xx 11

． arctan1dx

12。

2

e xcosxdx

1x2

e,x x 0x 0 xe, 2

三（13）．（本题满分8分）设f(x) ，F(x)

1x 0 x2, x,x 0

2

2

（1）问F(x)是否为f(x)在( , )内的一个原函数？为什么？（2）求

f(x)dx

四（14）．（本题满分7分）设f(x)

sin(xt)f(x)

dtlim，求. x2tx 0x2

x

东南大学高数期末试卷

五（15）．（本题满分6分）求微分方程(ycosx sin2x)dx dy 0的通解.

x六（16）．（本题满分8分）设f(x)、g(x)满足f (x) g(x),g (x) 2e f(x)，且

g(x)f(x) f(0) 0,g(0) 2，求 dx. 2 0

1 x(1 x)

七（17）．（本题满分8分） 设直线y ax(0 a 1)与抛物线y x2所围成的图形面积为

S1，它们与直线x 1所围成的图形面积为S2 （1）试确定a的值，使S1 S2达到最小，

并求出最小值 （2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 八（18）．（本题满分6分）设f(x)

x 1x

sint2dt，求证：当x 0时，f(x)

1

. x

2008级高等数学（A）（上）期末试卷

一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．

函数F(x)

t20

x

1

2 dt(x 0)的单调增加区间为 ；

1，则a ；

2．已知lim

t 0

xarctan(ax)dx

t

6

3．曲线y x 6x 3x 5的拐点是 ；

32

x3

4．曲线y 的斜渐近线的方程是 ； 2

3(2 x)

5．二阶常系数线性非齐次微分方程y y 6y 5e6．设 是常数，若对 x 0，有

x

2x

的特解形式是y ；

*

x

lntdt xln ，则 ； 0

2

7．

2 0

sin4xdx ；

8．设f(x)是连续函数，且f(x) sinx

f(x)dx，则 f(x)dx

9．设f(x) cost2dt，则f(x)dx .

10

二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）

x

1

东南大学高数期末试卷

sint3 0dt2

10．lim

11. x(x 1)4sin(x 1)dx

x 0x(1 cosx)0

x

12．已知f(x)的一个原函数为(1 sinx)lnx，求xf (x)dx

13．设f(x) 2

x0

x sint2

dt,p(x) ax bx c，求常数a、b、c，使得 2

1 t

p(0) f(0),p (0) f (0),p (0) f (0)。

14

。

x

x

三（15）．（本题满分8分）求微分方程y y sinx 2e满足初始条件y

x 0

1，

y

x 0

0的特解.

四（16）．（本题满分7分）设函数f在区间[0, )上连续，且恒取正值，若对 x (0, )，

f在[0,x]上的积分（平）均值等于f(0)与f(x)的几何平均值，试求f(x)的表达式.

五（17）．（本题满分7分） 在xOy平面上将连接原点O(0,0)和点A(1,0)的线段OA（即

区间[0,1]）作n等分，分点记作Pk

k

,0 ，k 1,2, ,n 1，过Pk作抛物线y x2的切 n

1n 1

线，切点为Qk，（1）设三角形 P（2）求极限lim Sk kQkA的面积为Sk，求Sk；n nk 1

六（18）．（本题满分6分）

1与ln1 的大小，并给出证明.（注：若通过比较这两个数的近似值确定大小关系，则不得分）

七（19）．（本题满分6分）设f(x)在区间[0,2]上连续可导，f(0) f(2) 0，求证：

20

f(x)dx maxf (x).

0 x 2

2009级高等数学（A）（上）期末试卷

1．函数f(x)

1

的定义域是 ，值域是 ； x [x]

东南大学高数期末试卷

lnx

,x 0,x 1

2．设f(x) 1 x，当a 时，f(x)在x 1处连续；

x 1 a,

x2

3．曲线y 的斜渐进线的方程是 ；

2(x 1)

4

．

1 1

x

dx ；

2

2

5．函数y 6

．

x20

(t 1)etdt的极大值点是x ；

7．设y y(x)是由x

x y

1

edt 0所确定的函数，则

t2

dydx

x 0

；

8．曲线族xy C1ex C2e x（C1,C2为任意常数）所满足的微分方程是

1nk

9．lim sin n nnk 1

二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）

lnsinxdx10． 11

. 2sin2x

12．lim

dxcos(sinx) cosx

13． 2 0x 02 cos2xx(1 cosx)

2

14。设f (x) arcsin(x 1)，f(0) 0，计算 f(x)dx.

1

三（15）．（本题满分8分）求微分方程y 2y x e满足初始条件y(0) 1，

2x

y (0)

5

的特解. 4

四（16）．（本题满分8分）设函数y f(x)在区间[0,1]上可导，在(0,1)内恒取正值，且

2

满足xf (x) f(x) 3x，又由曲线y f(x)与直线x 1,y 0所围成的图形S的面积为

2，求函数f(x)的表达式，并计算图形S绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.

x2

ln(1 x2) a在区间( 1,1)内存在两个互异的实五（17）．（本题满分6分） 已知方程2

根，试确定常数a的取值范围.

东南大学高数期末试卷

六（18）．（本题满分6分）设f(x)在区间[0,1]上非负、连续，且满足f2(x) 1 2证明：对 x [0,1]，有f(x) 1 x

x0

f(t)dt

七（19）．（本题满分6分）设f C[ l,l]，f(x)在x 0处可导，且f (0) 0， （1）求证： x (0,l), (0,1)，使得

x 0

x0

f(t)dt

x0

f(t)dt x[f( x) f( x)]

. （2）求极限lim

2010级高等数学（A）（上）期末试卷

一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分3 6分）

x21．lim ； x (x a)(x b)

2．曲线sin(xy) ln(y x) x在点(0,1)处的切线方程是；

x

2x33．曲线y 的渐近线方程是 ；

1 x2

32

4．若曲线y x ax bx 1有拐点( 1,0)，则 b ；

(n)

5．函数y ln(1 2x)在x 0处的n阶导数y6．设可导函数y y(x)由方程7

．8

．

(0)

dydx

x 0

x y0

e tdt xsint2dt确定，则

2

x

；

20

x ；

1 x ；

9．微分方程xy y 0满足条件y(1) 1的特解是 二.(本题共4小题，每小题7分,满分28分) 10．求极限 lim

x 0

(sinx sin(sinx))sinx1

dx. . 11．求反常积分22 11 cosxx(1 x)

东南大学高数期末试卷

12．求定积分

e

1

sin(lnx)dx. 13．求不定积分

1

sin2xcosxdx.

sinx,0 x 2

三(14)．（本题满分7分）设f(x) x,x 0,g(x) ，分别求0 x 与

2 0,x

2

x

x 时积分 f(t)g(x t)dt的表达式.

02

四（15）．（本题满分8分）求由y xsinx,y x 0 x 轴旋转的旋转体的体积.

所围图形的面积及此图形绕x2

y (0) 0五（16）（．本题满分7分）求微分方程y 3y 2y 2xex满足初值条件y(0) 0，

的特解.

x 2t t2

六（17）．（本题满分8分）设函数y y(x)由参数方程 其中 (t)(t 1)所确定，

y (t)

5d2y3

具有二阶导数，且 (1) , (1) 6，已知2 ，求函数 (t).

2dx4(1 t)

七（18）．（本题满分6分）设f C[a,b]，M,m分别是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，证明：至少存在一点 [a,b]，使得：

2003级高等数学（A）（上）期末试卷答案

一、单项选择题（每小题4分，共16分）1． C ２．Ｂ 3． D 4．C 二、（每小题3分，共18分） 1．e； 2．

1

2

ba

f(x)dx M( a) m(b ).

1f2(cosx)

2sinx f f e； 3． 2；

x2 1

2

4．( 2,0) (2, ) ，( , 2) (0,2)； 5． (2,2e)； 6．C1 (C2 C3x)e三、（每小题6分，共36分）

2x

东南大学高数期末试卷

1．

C； 2.

1113

tanx tanx C；

4cos4x124

3.

13 2 e ； 4．

； 5． 2； 6．解为y2 x2(ln|x| C)。 22x

2x

四、所求特解y 2e 2e (x 2x)e. 五、V

2x

2

2

442

. . 六、m 33

七、 由f(x) f(0) f (0)x

a

a

11

f ( )x2 f (0)x f ( )x2( 在0与x之间)知22

a11a

f(x)dx [f (0)x f ( )x2]dx f ( )x2dx；又因f C，所以f 在

a22 a

[ a,a]上存在最大值M和最小值m，于是mx2 f ( )x2 Mx2 (x [ a,a]),所以

aaa23232222

am f( )xdx aM，由推广的积mxdx f( )xdx Mxdx a a a a33

a

[ a,a]使得分中值定理知，

a

a

a2

f ( )xdx a3f ( )，xd)x即 f(

a3

2

a3

． ( ) 3

Note：还有别的解法。如“变动的观点”，构造函数F(x)

x

a

f(t)dt，原问题等价于证：

a3

[ a,a]，使F(a) F ( ).

3

2004级高等数学（A）（上）期末试卷答案

一. （每小题4分，共20分） 1．0, 一；2．

Cx x2

； 3． 4e； 4． 1； 5．

1

3

。 4

二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1． A; ２．Ｂ 3． D; 4．C. 三. (每小题7分,共35分) 1.

11 x

2.(略) 3. 4. 5. y cosx sinx x cosx 6222

1四.(8分) e

是旋转体的体积最小的点.

五.(7分) 提示：设

b2(t 1)

t,原不等式等价于lnt ,t 1, at 1

即等价于 f(t) (t 1)lnt 2(t 1) 0,t 1。（用函数单调性证明）

Note：还有别的构造函数的方法，也有其它解法

Ce x

六.(7分) 提示：把所给方程转化为微分方程，求解得f (x) ；

1 x

东南大学高数期末试卷

再用函数的单调性和定积分的性质即可。 七.(7分) 提示：记F(x)

2005级高等数学（A）（上）期末试卷答案

11121

一．1；2x 1；3；4．sinx ；5．e ；6．0；7

． x；

13231 x(1 lny)

x

1

f(t)dt，再用Rolle定理。 Note：也有其它解法

8． 1, 2；9．非充分非必要。

1ex1

ln 1 4e 2x C 3． 4

．ln(1 二． 1．f (x) xsinx 2．arctan

2228

三． a

2223 1 2xx(x 1)

，b 。 四．1．y Ce x x2e x； 2．y 1 x e 1 344 2

五．（1）提示：设f(x) xlnx u，用零点定理及函数的单调性；（2）提示：用夹逼定理。 六．设k为正整数，k x k 1,

111

，三边积分得2k 12x 12k 1

k 1111 dx ，左边关于k 1,2, ,n 1相加得：

2k 1k2x 12k 1

n1111

dx lnk 1,2, ,n相加得：

1352n 12x 1n 11111

1 dx ，所以

352n 112x 1

111

1 1 ln352n 1

Note：也可以用数学归纳法+中值定理去证

2006级高等数学（A）（上）期末试卷答案

23 1 2

一. 1．；2．y 3x 7；3．( 1,0)；4．e；5．；6．；7． e4；8．y x ；

342e

9．y 4y 3y 0。 二. 1.

2

C 2. 4 3.

12

ln2 4.

23

1

三．S ln1

2x22

四．1.y Ccscx sinx 2. y sinx x cosx

324

东南大学高数期末试卷

五．Imax I 1

321 2e e 44

f ( )

(x 3)2， (2,4)，由于f (x)在[2,4]2

和最小值m，故

六．证：f(3) 0，f(x) f (3)(x 3) 上连续，

f (x)在[2,4]上存在最大值M

mf ( )2M2

(x 3)2 (x 3) (x 3)，从而 222

44m14M f(x)dx f (3) (x 3)dx f ( )(x 3)2dx , 222323

即m 3

42

由介值定理知至少存在一点 [2,4]，使得f ( ) 3 f(x)dx f(x)dx M，

2

4

Note：还有别的解法。参见03年的第七题。

2007级高等数学（A）（上）期末试卷答案

一. 1．e； 2．x

1

2

1six

111 1

3． 1； 4． x y e2； d si 2c xl nx；

xxx x

2

,5．

，

； 6． 1,e ， y 0； 7

； 8．

9. Axcosx Bxsinx

5 1

二. 10. ； 11

．xarctan1lnx 2 C； 12。 e2

82

三 (1) F(x)不是f(x)在( , )内的一个原函数，因为F(0)

1

F(0 0) 0， 2

1x2

e C,x 0 2

F(x)在( , )内不连续. (2) f(x)dx

11 x2 C,x 0

22

四．lim

x 0

f(x)sixn

y Ce 2(1 sixn ) 1 五．

x2

xx

六．由已知条件知f (x) f(x) 2e，解出f(x) sinx cosx e，

从而可求出

g(x)f(x) 1 e

. dx 2 1 x(1 x)1

g(x)

不动），然后让另一个等价变形（朝着1 x

Note：求积分时，可采取保持一个不动（比如

保持不动的那一项方向等价变形）。当然还有别的方法，如凑微分等。

东南大学高数期末试卷

a3a1 七．(1) S(a) S1(a) S2(a) (ax x)dx (x ax)dx

0 a323

a

2

1

2

12是最小值 (2)

V S x3061 cosx2cos(x 1)2 1(x 1)2 u 八．提示：令u t

，则f(x) x2

2 xx 1 4

2

1 11 1(x 1)21

f(x) u 2 xx 1 4 x2x

2008级高等数学（A）（上）期末试卷答案

一. 1． 0, ； 2．3； 3．(2, 5)； 4．y

8．

1 4

2143

x ； 5．Axe2x；6．； 7. ；

e334

12

； 9. sin1

21

2

二. 10.； 11. 12.sinx (xcosx 1 sinx)lnx C

331

13. a , b 0, c 2 14. ln2

221xx

三． y sinx cosx e

22

x1x

四．

由题意得 f(t)dt ，x

0， f(t)dt

0x0

3

f(0)2记f(x) y，则两端对x

求导知y y

y2，解得f(x)

x1

2

。

22k4k21 k k k

五.(1) 设Qk(xk,yk)，则由题意得xk ,yk 2,Sk 1 yk 2 1 2

nn2 n n n11n 11n 1 k k212

(2) lim Sk 2lim 1 2 2 (1 x)xdx

0n nn nn n6k 1k 1

12

x) x 1六. 设f(x) ln(1 x) x x （或f(x) ln(1）， 由函数单调性可得

2

1 ln1 Note：也有别的解法，而且解法很多

七．法1：

2

20

f(x)dx

20

f(x)d(x 1) (x 1)f(x) (x 1)f (x)dx

20

2

x dxmaxf (x) maxf (x)

0 x 2

0 x 2