(2011届模拟题)

《2012年高考数学总复习系列》——高中数学选修2-1

第一章 常用逻辑用语

******特别注意：本章历来不做重点，只需知道“且”“或”“非”的特点即可 一、基础知识【理解去记】

1.充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若A B，则x A是x B的充分条件；若A B，则x A是x B的必要条件；若A B且A B即A B，则x A是x B的充要条件.

2.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲 乙）”与“甲的充分条件是乙（乙 甲）”，是两种不同形式的问题. 3.掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假. 有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.

4. 会用集合的子集的方法判断充要条件：

①A是B的充分条件（或B是A的必要条件）即A B A B ②A是B的充分不必要条件A B A B ③A是B的充要条件A B A B

二、基础例题【必会】

注意在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。 例1.（2009全国高考卷）已知函数f x ax3 3x2 x 1是减函数，求a的取值范围。

【分析】f x 0x a,b 是f x 在 a,b 内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充

32

要条件，如f x x在R上递减，但f x 3x 0。

【解析】：求函数的导数f x 3ax 6x 1（1）当f x 0时，f x 是减函数，则

2

a 02

故解得a 3。（2）当a 3时，f x 3ax 6x 1 0 x R

0

1 8

f x 3x3 3x2 x 1 3 x 易知此时函数也在R上是减函数。（3）当a 3时，在R上存

3 9

在一个区间在其上有f x 0，所以当a 3时，函数f x 不是减函数，综上，所求a的取值范围是

3

, 3 。

【知识归类点拔】若函数f x 可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①f (x) 0

3

与f(x)为增函数的关系:f (x) 0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x) x在( , )

上单调递增，但f (x) 0，∴f (x) 0是f(x)为增函数的充分不必要条件。②f (x) 0时，f (x) 0与f(x)为增函数的关系:若将f (x) 0的根作为分界点，因为规定f (x) 0，即抠去了分界点，此时

f(x)为增函数，就一定有f (x) 0。∴当f (x) 0时，f (x) 0是f(x)为增函数的充分必要条件。③f (x) 0与f(x)为增函数的关系:f(x)为增函数，一定可以推出f (x) 0，但反之不一定，因为f (x) 0，即为f (x) 0或f (x) 0。当函数在某个区间内恒有f (x) 0，则f(x)为常数，函数不具有单调性。∴f (x) 0是f(x)为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是

(2011届模拟题)

高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

因此本题在第一步后再对a 3和a 3进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。

【练习】是否存在这样的K值，使函数f x kx

2

4

231

x kx2 2x 在 1,2 上递减，在 2, 上32

递增？ 答案：k

1

。（提示据题意结合函数的连续性知f 2 0，但f 2 0是函数在 1,2 上递减，在2

2, 上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由f 2 0求出K值后要检验。）

注意：易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。 例2.（2010年高考数学江苏卷，）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.

3

(Ⅰ)若首项a1 ，公差d 1，求满足S2 (Sk)2的正整数k；

2k(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有S

易根据条件“对于一切正整数k都有S条件。还应进一步的由特殊到一般。

【解析】：（I）当a1 由S

k

2

k2

(Sk)2成立.

【分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)时极

k2

(Sk)2成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数列的首

项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分

3n(n 1)3n(n 1)12

,d 1时Sn na1 d n n n 22222

(Sk)2,得

14131k k2 (k2 k)2，即 k(k 1) 0 又k 0,所以k 4.

422

2

（II）设数列{an}的公差为d，则在Sn2 (Sn)中分别取k=1,2,得

S1 (S1)

, 2

S (S)2 4

2

a1 a12,（1）

即 4 32 12

d (2a1 d)（2） 4a1 22

由（1）得 a1 0或a1 1.当a1 0时,代入(2)得

d 0或d 6,

若a1 0,d 0,则an 0,Sn 0,从而Sk (Sk)2成立 ,

2

若a1 0,d 6,则an 6(n 1),由S3 18,(S3)2 324,Sn 216知s9 (S3),故所得数列不符合题意.当a1 1时,代入(2)得4 6d (2 d)2,解得d 0或d 2

若a1 1,d 0,则an 1,Sn n,从而Sk2 (Sk)2成立;

若a1 1,d 2,则an 2n 1,Sn 1 3 (2n 1) n2,从而S (Sn)2成立. 综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：

①{an} : an=0，即0，0，0， ；②{an} : an=1，即1，1，1， ；③{an} : an=2n－1，即1，3，5， ，

第二章 圆锥曲线与方程

一、基础知识【理解去记】

(2011届模拟题)

1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c).

第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即

|PF|

e(0<e<1). d

第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且a≠b。从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x

轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标

参数方程为

x

acos

（ 为参数）。

y bsin

x轴上的椭圆

2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上

的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.

5.补充知识点： 几个常用结论：

1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为

x0xy0y

2 1； 2ab

2）斜率为k的切线方程为y kx a2k2 b2； 3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为

(2011届模拟题)

2ab2

l 2。

a c2cos2

6．双曲线的定义，第一定义：

满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F

2|, a>0)的点P的轨迹；

第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 x轴上的双曲线方程为

x asec

参数方程为 （ 为参数）。

y btan

x轴上的双曲线

则称为等轴双曲线。 9．补充知识点： 双曲线的常用结论，

x2y2

1）焦半径公式，对于双曲线2 2 1，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任

ab

一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.

2ab2

2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是2。

a c2cos2

抛物线常用结论：若P(x0, y0)为抛物线上任一点，

(2011届模拟题)

1）焦半径|PF|=x

p； 2

2p

。 2

1 cos

2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)； 3）过焦点倾斜角为θ的弦长为

12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）

二、基础例题【必会】

1．与定义有关的问题

x2y2

1的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最例1 已知定点A（2，1），F是椭圆

2516

小值时，求点P的坐标。

[解] 见图11-1，由题设a=5, b=4, c=52 42=3,e

c325

.椭圆左准线的方程为x ，又因为a53

41

1，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。由定2516

义知

5|PF|3

e ，则|PF|=|PQ|。

3|PQ|5

所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+

5

|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM 左准线于M)。 3

所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得x

5，又4

x<0，所以点P坐标为(

5,1) 4

x2y2

例2 已知P，P'为双曲线C：2 2 1右支上两点，PP'延长线交右准线于K，PF1延长线交双曲线

ab

于Q，（F1为右焦点）。求证：∠P'F1K=∠KF1Q.

[证明] 记右准线为l，作PD l于D，P'E l于E，因为P'E//PD，则

|PK||P'K|

，又由定义|PD||P'E|

|PF1||P'F1||PF1||PD||PK|

，所以，由三角形外角平分线定理知，F1K为∠PF1P的 e

|PD||P'E||P'F1||P'E||P'K|

外角平分线，所以∠P'F1K=∠KF1Q。

(2011届模拟题)

2．求轨迹问题

例3 已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。

[解法一] 利用定义，以椭圆的中心为原点O，焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆方程：

1x2y2

F'AF'OP//AF'。所以 =1（a>b>0）.F坐标为(-c, 0).设另一焦点为。连结，OP，则22 2ab

|FP|+|PO|=

1

(|FA|+|AF'|)=a. 2

c

,0)平移，得到中心2

所以点P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆（因为a>|FO|=c），将此椭圆按向量m=(

x2y2

在原点的椭圆：2 2 1。由平移公式知，所求椭圆的方程为

ab44

c

4(x )22

4y 1. a2b2

[解法二] 相关点法。设点P(x,y), A(x1, y1)，则x

x1 cy

,y 1，即x1=2x+c, y1=2y. 又因为点A在椭22

2

c

4x

x12y12x2y24y22 圆2 2 1上，所以2 2 1.代入得关于点P的方程为 2 1。它表示中心为2

ababab

c

,0 ，焦点分别为F和O的椭圆。 2

例4 长为a, b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。

[解] 设P(x, y)为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A(x-2

aabb,0), B(x+,0), C(0, y-), D(0, y+), 2222

a2b2a2 b2222

. y 记O为原点，由圆幂定理知|OA| |OB|=|OC| |OD|，用坐标表示为x ，即x y

444

当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；

当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线； 当a<b时，轨迹为焦点在y轴上的两条等轴双曲线。

，AB边在直线l: x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。 3

[解] 设∠xOB=θ,并且B在A的上方，则点A，B坐标分别为B(3, 3tanθ),A(3,3tan(θ-)),设外心为

3

例5 在坐标平面内，∠AOB=P(x,y)，由中点公式知OB中点为M

33 ,tan 。 22

(2011届模拟题)

由外心性质知y

3 tan tan . 再由PM OB得 2 3

3

y tan ³tanθ=-1。结合上式有 3x 2

tan(

2 3

) tanθ= x . ① 33 2

又 tanθ+tan(

3

)=

2

y. ② 3

又

tan

tan . 33

(x 4)2y2

1。即所以tanθ-tan( )= 1 tan tan 两边平方，再将①，②代入得

34123

为所求。

3．定值问题

x2y2

例6 过双曲线2 2 1(a>0, b>0)的右焦点F作B1B2 x轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点

ab

F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。求证：H的横坐标为定值。

[证明] 设点B，H，F的坐标分别为(asecα,btanα), (x0, 0), (c, 0)，则F1，B1，B2的坐标分别为(-c, 0), (c,

b2b2 ), (c, )，因为F1，H分别是直线B2F，BB1与x轴的交点，所以

aac

abab acsin

,x0 . ①

2asin bcos asin bcos

a2b(b csin )所以 cx0 2222

2asin absin cos bcos

a2b(b csin )

2 asin2 absin cos b2 c2sin2

a2b(b csin )

。

asin (asin bcos ) (csin b)(csin b)

由①得asin bcos

a(b csin )

,

x0

(2011届模拟题)

代入上式得cx0

a2b

a2sin(csin b)x0

,

a2

即 x （定值）。

c

例7 设抛物线y=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC//x轴。证明：直线AC经过定点。

2

y12 y2 y12pp

[证明] 设A ,y2 ，焦点为F ,0 ，所以OA (,y1)， 2p,y1 ,B 2p,y2 ，则C 2p 2 2 2

y2 py12p p ,y ,y2 ， ( ,y1)， 2 。由于//，所以 2p2 2 2p2

2

2

y1y2p y12y2yyppp

y2-y2 =0。因为y1 y2，所以12 0。所y1 y1=0，即(y1 y2) 2p22p22p22p2

y1y2p y12 p 以 ，即y y 0 y1 0。所以//，即直线AC经过原点。 2 2p 1

2p2 2

x2y211

例8 椭圆2 2 1上有两点A，B，满足OA OB，O为原点，求证：为定值。 22

ab|OA||OB|

[证明] 设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=θ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由A，B在椭圆上有

2

，则点A，B的坐标分别为A(r1cosθ, r1sin

r12cos2 r12sin2 r22sin2 r22cos2 1, 1. a2b2a2b2

1cos2 sin2 即 2 ①

r1a2b2

1sin2 cos2 . ② 222r2ab

①+②得

1111

（定值）。 2222

|OA||OB|ab

4．最值问题

22

例9 设A，B是椭圆x+3y=1上的两个动点，且OA OB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。 [解] 由题设a=1，b=

r11,记|OA|=r1,|OB|=r2,1 t，参考例8可得2 2=4。设3r1r2r2

(2011届模拟题)

m=|AB|=r1 r2

2

22

121111(r1 r222 2) (2 t2 2), 44r1r2t

1111cos2 sin2 1a2 b2222

因为2 ，且a>b，所以，所以b≤r1≤a，同理 sin

a2r12b2r1a2b2a2a2b2ba1 b2

b≤r2≤a.所以 t 。又函数f(x)=x+在 2

abx a

即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当t

a2

,1 上单调递减，在 1,2 上单调递增，所以当t=1 b

ba2或时，|AB|取最大值。 ab3

322

，若圆C：x (y ) 1上点与这椭圆上

22

例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为

点的最大距离为1 ，试求这个椭圆的方程。

[解] 设A，B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为 0, ，半径|CA|=1，因为|AB|≤

3 2

|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A，B，C共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值1 7，所以|BC|最大值为7.

x2y2因为e ；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,3t,t，椭圆方程为2 2 1，

24tt

3 2222

并设点B坐标为B(2tcosθ,tsinθ)，则|BC|=(2tcosθ)+ tsin =3tsinθ-3tsinθ

2

91222

+4t=-3(tsinθ+)+3+4t. 42

1922

若t ，则当sinθ=-1时，|BC|取最大值t+3t+ 7，与题设不符。

42

11222

若t>,则当sinθ= 时，|BC|取最大值3+4t，由3+4t=7得t=1.

22t

+

2

x2

y2 1。 所以椭圆方程为4

5．直线与二次曲线

2

例11 若抛物线y=ax-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。

2

[解] 抛物线y=ax-1的顶点为(0,-1)，对称轴为y轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P(x1,y1)，P'(-y1,-x1)，满足y1=ax1 1且-x1=a(-y1)-1，相减得x1+y1=a(x1 y1),因为P不在直线

2

222

(2011届模拟题)

x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+所以ay1 y1

2

1. a

113

1 0.此方程有不等实根，所以 1 4a( 1) 0，求得a ，即为所求。 aa4

x2

y2 1相交，（1）求b的范围；（2）当截得弦长最大时，求b的值。例12 若直线y=2x+b与椭圆 4

[解] 二方程联立得17x+16bx+4(b-1)=0.由Δ>0，得 <b<；设两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2)，由

2

2

4 b2

韦达定理得|PQ|= k|x1 x2| 。所以当b=0时，|PQ|最大。

17

2

三、趋近高考【必懂】

1.（2010湖南文）5. 设抛物线y2 8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B

x2y2

2.（2010浙江理）（8）设F1、F2分别为双曲线2 2 1(a＞0,b＞0)的左、右焦点.若在双曲线右支

ab

上存在点P，满足PF2 FF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方12，且F2到直线PF程为

（A）3x 4y 0 （B）3x 5y 0 （C）4x 3y 0 （D）5x 4y 0

解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题 3.（2010陕西文）9.已知抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）＋y＝16相切，则p的值为

（C）2

（D）4

2

2

2

（A）

1

2

（B）1

【答案】 C

解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系

2

法一：抛物线y＝2px（p>0）的准线方程为x

p22

，因为抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2

＋y＝16相切，所以3

2

p

4,p 2 2

2

2

2

法二：作图可知，抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）＋y＝16相切与点（-1,0）

(2011届模拟题)

所以

p

1,p 2 2

4.（2010辽宁文）（9）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

（A

（B

（C

【答案】D

（D

x2y2

解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：2 2 1(a 0,b 0)，

ab

则一个焦点为F(c,0),B(0,b) 一条渐近线斜率为：

bbbb

，直线FB的斜率为： ， ( ) 1， b2 ac acac

c2 a2 ac

0，解得e

c

a5.（2010辽宁文）（7）设抛物线y2 8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA l，A为垂

足，如果直线AF

斜率为PF

（A

）（B） 8 （C）

（D） 16 【答案】 B

解析：选B.利用抛物线定义，易证 PAF为正三角形，则|PF|

4

8

sin30

6.（2010辽宁理） (9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

【答案】D

11

(D) 22

x2y2

【解析】设双曲线方程为2 2 1(a 0,b 0)，则F（c,0）,B(0,b)

ab

直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=

bbb

x垂直，所以 1，即b2=ac aca

所以c-a=ac,即e-e-1=0,

所以e

222

或e （舍去）

(2011届模拟题)

7.（2010辽宁理）(7)设抛物线y=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF

的斜率为那么|PF|=

(A)

【答案】B

【解析】抛物线的焦点F（2，0），直线AF

的方程为y x

2)，所以点A(

、P，从而|PF|=6+2=8

2

x2y28.（2010全国卷2文）（12）已知椭圆C：2 2 1（a>b>0

）的离心率为，过右焦点F且斜率为

ab2

k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若AF 3FB。则k =

（A）1 （B

（C

（D）2 【答案】B

e

A(x1,y1),B(x2,y2)，∵ AF 3FB，∴ y1 3y2， ∵

，设a 2t,c ，b t，【解析】

222222

x 4y 4t 0x sy(s 4)y t 0，∴

x∴ ，直线AB

方程为。代入消去，∴

t2y1 y2 y1y2 2

s 4，

1t22

s2

2y2 2, 3y2 2

2，k s 4s 4，解得

x2y2

9.（2010浙江文）（10）设O为坐标原点，F1,F2是双曲线2 2 1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双

ab

曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，∣OP∣

,则该双曲线的渐近线方程为 （A）x

（B

±y=0 （C）x

=0 （D

±y=0 【答案】 D

【解析】：选D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题

(2011届模拟题)

10.（2010重庆理）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是

A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 【答案】 D

解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B

11.（2010山东文）（9）已知抛物线y2 2px(p 0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 （A）x 1 (B)x 1 (C)x 2 (D)x 2 【答案】B

x2y2

12.（2010四川理）（9）椭圆2 2 1(a b )的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆

ab

上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 （A

）

1 1

1,1 （D） ,1 （B） 0, （C）

2 2

【解析】：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F， 即F点到P点与A点的距离相等

a2b2

c 而|FA|＝cc

|PF|∈[a－c,a＋c]

b2

于是∈[a－c,a＋c]

c

即ac－c≤b≤ac＋c

2

2

2

ac c2 a2 c2 ∴ 2 22

a c ac c

c 1 a

cc1 1或 a2 a

又e∈(0,1) 故e∈ ,1

1

2

(2011届模拟题)

【答案】D

13.（2010江苏卷）18、（本小题满分16分）

x2y2

1的左、在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（t,m）95

的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y1 0,y2 0。 （1）设动点P满足PF PB 4,求点P的轨迹； （2）设x1 2,x2

2

2

1

，求点T的坐标； 3

与m无

（3）设t 9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标关）。 【解析]】

（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。 由PF PB 4，得(x 2)2 y2 [(x 3)2 y2] 4, 化简得x 故所求点P的轨迹为直线x （2）将x1 2,x2

2

2

9。 2

9。 2

15120分别代入椭圆方程，以及y1 0,y2 0得：M（2，）、N（， ） 3339

1y 0x 3

直线MTA方程为：，即y x 1，

3 02 33

55y 0x 3

直线NTB 方程为：，即y x 。

62 0 393

x 7

联立方程组，解得： 10，

y 3

所以点T的坐标为(7,

10)。 3

（3）点T的坐标为(9,m)

y 0x 3m

(x 3)， ，即y m 09 312y 0x 3m

直线NTB 方程为：，即y (x 3)。 m 09 36

直线MTA方程为：

x2y2 1联立方程组，同时考虑到x1 3,x2 3，

分别与椭圆95

(2011届模拟题)

3(80 m2)40m3(m2 20)20m

,)N(, )。 解得：M(、

80 m280 m220 m220 m2

20m3(m2 20)

y x 22

（方法一）当x1 x2时，直线MN方程为： 22

40m20m3(80 m)3(m 20) 2

80 m20 m280 m220 m2

令y 0，解得：x 1。此时必过点D（1，0）；

当x1 x2时，直线MN方程为：x 1，与x轴交点为D（1，0）。 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。

240 3m23m2 60 （方法二）若x1 x2，则由及m

0，得m

80 m220 m2

此时直线MN的方程为x 1，过点D（1，0）。

若x1

x2，则m MD的斜率kMD

40m

210m

， 2 2

240 3m40 m

1

80 m2

直线ND的斜率kND

20m

210m，得kMD kND，所以直线MN过D点。

3m2 6040 m2

12

20 m

因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。

第三章 空间向量与立体几何

一、基础知识【理解去记】

公理1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内．则这条直线在这个平面内，记作：a a．

公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。

公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面． 推论l 直线与直线外一点确定一个平面． 推论2 两条相交直线确定一个平面． 推论3 两条平行直线确定一个平面．

公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．

定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．

定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．

定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直． 定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．

(2011届模拟题)

定理2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．

定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．

定理4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离．

定义4 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角．

结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．

定理4 ******【常考】(三垂线定理)若d为平面。的一条斜线，b为它在平面a内的射影，c为平面a内的一条直线，若c b，则c a．逆定理：若c a，则c b．

定理5 直线d是平面a外一条直线，若它与平面内一条直线b平行，则它与平面a平行 定理6 若直线。与平面α平行，平面β经过直线a且与平面a交于直线6，则a//b． 结论2 若直线。与平面α和平面β都平行，且平面α与平面β相交于b，则a//b．

定理7 (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等． 定义5 平面与平面的位置关系有两种：平行或相交．没有公共点即平行，否则即相交． 定理8 平面a内有两条相交直线a，b都与平面β平行，则α//β. 定理9 平面α与平面β平行，平面γ∩α=a，γ∩β=b，则a//b．

定义6 (二面角)，经过同一条直线m的两个半平面α,β(包括直线m，称为二面角的棱)所组成的图形叫二面角，记作α—m—β，也可记为A—m一B，α—AB—β等．过棱上任意一点P在两个半平面内分别作棱的垂线AP，BP，则∠APB(≤900)叫做二面角的平面角． 它的取值范围是[0，π]．

特别地，若∠APB＝900，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即α β. 定理10 如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

定理11 如果两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内． 定理12 如果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直．

定义7 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边(称为侧棱)都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．两个互相平行的面叫做底面．如果底面是平行四边形则叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是矩形的直棱柱叫做长方体．棱长都相等的正四棱柱叫正方体．

定义8 有一个面是多边形(这个面称为底面)，其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．

定理13 【了解】(凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则 V+F-E=2．

定义9 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面．球面所围成的几何体叫做球．定长叫做球的半径，定点叫做球心．

定理14 如果球心到平面的距离d小于半径R，那么平面与球相交所得的截面是圆面，圆心与球心的连线与截面垂直．设截面半径为r，则d2+r2＝R2．过球心的截面圆周叫做球大圆．经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离．

定义10 【了解】 (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线．纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度．用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线，经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度，根据位置不同又分东经和西经．

定理15 【了解】(祖 原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

定理16 【了解】 (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角．其中任