2011年高考数学总复习系列知识点与方法》——高中数学选修2-1

(2011届模拟题)

《2012年高考数学总复习系列》——高中数学选修2-1

第一章 常用逻辑用语

******特别注意：本章历来不做重点，只需知道“且”“或”“非”的特点即可 一、基础知识【理解去记】

1.充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若A B，则x A是x B的充分条件；若A B，则x A是x B的必要条件；若A B且A B即A B，则x A是x B的充要条件.

2.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲 乙）”与“甲的充分条件是乙（乙 甲）”，是两种不同形式的问题. 3.掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假. 有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.

4. 会用集合的子集的方法判断充要条件：

①A是B的充分条件（或B是A的必要条件）即A B A B ②A是B的充分不必要条件A B A B ③A是B的充要条件A B A B

二、基础例题【必会】

注意在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。 例1.（2009全国高考卷）已知函数f x ax3 3x2 x 1是减函数，求a的取值范围。

【分析】f x 0x a,b 是f x 在 a,b 内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充

32

要条件，如f x x在R上递减，但f x 3x 0。

【解析】：求函数的导数f x 3ax 6x 1（1）当f x 0时，f x 是减函数，则

2

a 02

故解得a 3。（2）当a 3时，f x 3ax 6x 1 0 x R

0

1 8

f x 3x3 3x2 x 1 3 x 易知此时函数也在R上是减函数。（3）当a 3时，在R上存

3 9

在一个区间在其上有f x 0，所以当a 3时，函数f x 不是减函数，综上，所求a的取值范围是

3

, 3 。

【知识归类点拔】若函数f x 可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①f (x) 0

3

与f(x)为增函数的关系:f (x) 0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x) x在( , )

上单调递增，但f (x) 0，∴f (x) 0是f(x)为增函数的充分不必要条件。②f (x) 0时，f (x) 0与f(x)为增函数的关系:若将f (x) 0的根作为分界点，因为规定f (x) 0，即抠去了分界点，此时

f(x)为增函数，就一定有f (x) 0。∴当f (x) 0时，f (x) 0是f(x)为增函数的充分必要条件。③f (x) 0与f(x)为增函数的关系:f(x)为增函数，一定可以推出f (x) 0，但反之不一定，因为f (x) 0，即为f (x) 0或f (x) 0。当函数在某个区间内恒有f (x) 0，则f(x)为常数，函数不具有单调性。∴f (x) 0是f(x)为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是

(2011届模拟题)

高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

因此本题在第一步后再对a 3和a 3进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。

【练习】是否存在这样的K值，使函数f x kx

2

4

231

x kx2 2x 在 1,2 上递减，在 2, 上32

递增？ 答案：k

1

。（提示据题意结合函数的连续性知f 2 0，但f 2 0是函数在 1,2 上递减，在2

2, 上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由f 2 0求出K值后要检验。）

注意：易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。 例2.（2010年高考数学江苏卷，）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.

3

(Ⅰ)若首项a1 ，公差d 1，求满足S2 (Sk)2的正整数k；

2k(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有S

易根据条件“对于一切正整数k都有S条件。还应进一步的由特殊到一般。

【解析】：（I）当a1 由S

k

2

k2

(Sk)2成立.

【分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)时极

k2

(Sk)2成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数列的首

项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分

3n(n 1)3n(n 1)12

,d 1时Sn na1 d n n n 22222

(Sk)2,得

14131k k2 (k2 k)2，即 k(k 1) 0 又k 0,所以k 4.

422

2

（II）设数列{an}的公差为d，则在Sn2 (Sn)中分别取k=1,2,得

S1 (S1)

, 2

S (S)2 4

2

a1 a12,（1）

即 4 32 12

d (2a1 d)（2） 4a1 22

由（1）得 a1 0或a1 1.当a1 0时,代入(2)得

d 0或d 6,

若a1 0,d 0,则an 0,Sn 0,从而Sk (Sk)2成立 ,

2

若a1 0,d 6,则an 6(n 1),由S3 18,(S3)2 324,Sn 216知s9 (S3),故所得数列不符合题意.当a1 1时,代入(2)得4 6d (2 d)2,解得d 0或d 2

若a1 1,d 0,则an 1,Sn n,从而Sk2 (Sk)2成立;

若a1 1,d 2,则an 2n 1,Sn 1 3 (2n 1) n2,从而S (Sn)2成立. …… 此处隐藏：11569字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……