第二章随机变量

2.1X2P1/36

31/18

∞

41/12

51/9

65/36

∞

71/6

k

85/36

91/9

101/12

111/18

121/36

2.2解：根据∑P(X=k)=1，得∑ae

k=0

k=0

ae 1

=1，即=1。

1 e 1

故

a=e 1

2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7)用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数,Y~B(2,0.4)(1)两人投中的次数相同

P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=

0202111120200.70.3×0.40.6+0.70.3×0.40.6+0.70.3×0.40.6=0.3124C2C2C2C2C2C2

1

1

2

2

(2)甲比乙投中的次数多

P{X>Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=

C20.710.31×C20.400.62+C20.720.30×C20.400.62+C20.720.30×C20.410.61=0.5628

2.4解:（1）P{1≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=1+2+3=2

151515

5

102021

P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+P{X=2}=1+2=1(2)(2)P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+

1515

5

11[1 ()k]

1111=12.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=2+4+6+L2k=klim

→∞1222231

4

（2）P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}-P{X=2}=1 =

121414

2.6解：设Ai表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0，1，2

P{X=0}=P{1234}=P(1)P(2|1)P(3|12)P(4|123)=1817161512×××=2019181719

P{X=1}=P{A1A2A3A4}+P{A1A2A3A4}+P{A1A2A3A4}+P{A1A2A3A4}

218171618217161818216181716232=×××+×××+×××+×××=2019181720191817201918172019181795P{X=2}=1 P{X=0} P{X=1}=1

12323 =199595

2.7解：(1)设X表示4次独立试验中A发生的次数，则X~B(4,0.4)

P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=C40.430.61+C40.440.60=0.1792

3

4

(2)设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则Y~B(5,0.4)

P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C50.430.62+C50.440.61+C50.450.60=0.31744

3

4

5

2.8（1）X～P(λ)=P(0.5×3)=P(1.5)P(λ

1.50 1.5 1.5P{X=0}=e=e

0!

λ)=P(0.5×4)=P(2)P(λ（2）X～P(

20 221 2

P{X≥2}=1 P{X=0} P{X=1}=1 e e=1 3e 2

0!1!

2.9解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为

X，则X~B(180,0.01)。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即

P(X≤m)≥0.99，也即

P(X≥m+1)≤0.01

因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为

λ=180×0.01=1.8的泊松分布。

查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。故应至少配备6名设备维修人员。

2.10解：一个元件使用1500小时失效的概率为

100010001

P(1000≤X≤1500)=∫= =

1000x2x10003

1500

1500

设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则Y~B(5,)。所求的概率为

1280

P(Y=2)=C52(2×()3=5=0.329

333

1

3

2.11解：(1)P(X<2)=F(2)=ln2

P(0<X<3)=F(3) F(0)=1 0=1

P(2<X≤2.5)=F(2.5) F(2)=ln2.5 ln2=ln1.25 x 11≤x<e

f(x)=F′(x)=

其它 0

(2)

2.12解：(1)由F(+∞)=1及limF(x)=F(0)，得 x→0

x

2

f(x)=F′(x)= xe

0

2

a=1

，故a+b=0

a=1,b=-1.

(2)

x≥0

x<0

(3)P(ln4<X<ln16)=F(ln16) F(4)

=(1 e

ln162

) (1 e

ln42

)=

1

=0.254

2.13（1）

假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

P{0.8<X≤1}=∫12x(1 x)2dx=(6x2 8x3+3x4)|=0.0272

0.8

0.8

1

1

（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

P{0.9<X≤1}=∫12x(1 x)2dx=(6x2 8x3+3x4)|=0.0037

0.9

0.9

1

1

2.14解:要使方程x2+2Kx+2K+3=0有实根则使

=(2K) 4(2K+3)≥0

2

解得K的取值范围为[ ∞, 1]U[4,+∞],又随机变量K~U(-2,4)则有实根的概率为

p=

[ 1 ( 2)+4 3]1

=

4 ( 2)3

λ)=P(1)2.15解：X~P(X~P(λ

200

(1)P{X≤100}=∫0

100

111

x100 1 200

200

edx=e=1 e2|0200

113

x∞ 1 200

（2）P{X≥300}=∫300edx=e200|=e2

300200

∞

（3）P{100≤X≤300}=∫100

300

1113 x300 1 200

20022

edx=e|100=e e200

P{X≤100,100≤X≤300}=P{X≤100}P{100≤X≤300}=(1 e)(e

12

12

e)

32

2.16解：设每人每次打电话的时间为X，X~E(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为

P(X>10)=∫0.5e 0.5xdx= e 0.5x

10+∞

+∞10

=e 5

又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则

Y~B(282,e 5)。

因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为λ=282×e 5≈1.9的泊松分布。

所求的概率为

P(Y≥2)=1 P(Y=0) P(Y=1)

=1 e 1.9 1.9e 1.9=1 2.9e 1.9=0.56625

2.17解：(1)P(X≤105)=Φ(105 110)=Φ( 0.42)=1 Φ(0.42)

12

=1 0.6628=0.3372

(2)P(100≤X≤120)=Φ(120 110 Φ(100 110)

12

12

=Φ(0.83) Φ( 0.83)=2Φ(0.83) 1=2×0.7967 1=0.5934

2.18解：设车门的最低高度应为a厘米，X~N(170,62)

P{X≥a}=1 P{X≤a}≤0.01

a 170

P{X≤a}=Φ(≥0.99

6a 170

=2.336a≈184厘米

2.19解：X的可能取值为1,2,3。

C426

因为P(X=1)=3==0.6；

C510P(X=2)=1 0.6 0.1=0.3

P(X=3)=

11==0.1；3

C510

所以X的分布律为

X123

P

X的分布函数为

0.60.30.1

x<1 0

0.61≤x<2 F(x)=

0.92≤x<3 1x≥3

2.20(1)

π

P{Y=0}=P{X==0.2

2

P{Y=π2}=P{X=0}+P{X=π}=0.3+0.4=0.7

3π

P{Y=4π2}=P{X==0.1

2

Y

qi

00.2

π2

4π20.1

0.7

(2)

P{Y= 1}=P{X=0}+P{X=π}=0.3+0.4=0.7

π3π

P{Y=1}=P{X=+P{X==0.2+0.1=0.3

22

Y

qi

-10.7

10.3

2.21（1）

当 1≤x<1时，F(x)=P{X= 1}=0.3

当1≤x<2时，F(x)=P{X= 1}+P{X=1}=0.3+P{X=1}=0.8

P{X=1}=0.8 0.3=0.5

当x≥2时，F(x)=P{X= 1}+P{X=1}+P{X=2}=0.8+P{X=2}=1

P{X=2}=1 0.8=0.2

XP（2）

-10.3

10.5

20.2

P{Y=1}=P{X= 1}+P{X=1}=0.3+0.5=0.8P{Y=2}=P{X=2}=0.2

Y

qi

10.8

2

20.2

x2

2.22QX~N(0,1)∴fX(x)=（1）设FY(y)

，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

FY(y)=P{Y≤y}=P{2X 1≤y}=P{X≤

y+1

=∫2

y+12 ∞

x22

dx

对FY(y)求关于y的导数，得

y∈( ∞,∞)

fY(y)=y+12

) 2(

(y+1) y+1()′=8

22

（2）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

当y≤0时，FY(y)=P{Y≤y}=P{e X≤y}=P{ }=0当y>

0时，有

FY(y)=P{Y≤y}=P{e X≤y}=P{ X≤lny}=P{X≥ lny}=∫

∞

lny

x2

dx2

对FY(y)求关于y的导数，得

(lny) ( lny) 2( lny)′=2 fY(y)= 0

2

2

y>0y≤0

（3）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

当y≤0时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}=P{ }=0

当y>0

时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}=P{≤X≤=

x22

dx

对FY(y)求关于y的导数，得

fY(y)= 0

′′=

(lny)2

2

y>0y≤0

2.23∵X U(0,π)∴

1

fX(x)= π

0

0<x<π其它

（1）

当2lnπ<y<∞时

FY(y)=P{Y≤y}=P{2lnX≤y}=P{lnX2≤y}=P{ }=0当

∞<y≤2lnπ时

y

FY(y)=P{Y≤y}=P{2lnX≤y}=P{lnX2≤y}=P{X2≤ey}=P{X≤=∫

yy

1212

e (e)′=

fY(y)= π2π

0

e2

1π

对FY(y)求关于y的导数，得到

∞<y≤2lnπ2lnπ<y<∞

（2）

当y≥1或 y≤-1时，FY(y)=P{Y≤y}=P{cosX≤y}=P{ }=0当 1<y<1时,FY(y)=P{Y≤y}=P{cosX≤y}=P{X≥arccosy}=∫

1arccosyπ

π

对FY(y)求关于y的导数，得到

1′ (arccosy)=

fY(y)= π 0

1<y<1其它

（3）当y≥1或 y≤0时FY(y)=P{Y≤y}=P{sinX≤y}=P{ }=0

当0<y<1时，

FY(y)=P{Y≤y}=P{sinX≤y}=P{0≤X≤arcsiny}+P{π arcsiny≤X≤π}arcsiny1π1=∫+∫0π arcsinyππ

对FY(y)求关于y的导数，得到

1 1′′arcsiny (π arcsiny)= πfY(y)= π 0

0<y<1其它

第三章随机向量

3.1—F(2,3)=P{1<X≤2,3<Y≤5}=F(2,5)+F(1,3)--F(1,5)5}=F(2,5)+F(1,3)--F(1,5)—

3

128

3.2

Y

X

2

33

12

1

=3c5

3

245

22

3

3.4（1）a=1

9

=2c5

245

（2）（3）

512

P{(X,Y)∈D}=∫dy∫

1 y1111

x y)dx=∫[(6 y)x x2]|dy

0009902

11111111188=∫(y2 6y+5dy=(y3 3y2+5y)|=×=902296209327

1

1 y

3.5解：（1）

F(x,y)=∫

y0

∫

x

yx

2e (2u+v)dudv=∫e vdv∫2e 2udu=( e v|0)( e 2u|0)=(1 e y)(1 e 2x)

yx

（2）

P(Y≤X)=∫

x

∫

∞

2e

(2x+y)

dxdy=∫2e

∞

2x

x

dx∫edy=∫2e 2x( e y|0)dx0

x

v

∞

∞∞221∞∞

=∫2e 2x(1 e x)dx=∫(2e 2x 2e 3x)dx=( e 2x|0)+e 3x|0=1 =00333

1r3.6解：P(x2+y2≤a2)=∫∫=dθ222∫0∫0π(1+r2)2drπ(1+x+y)x+y≤a

2π

a

222

=∫dθ∫

2πa

a11111a22

d(1+r)= ×2π×|=1 1+a2=1+a2

π(1+r2)2π2(1+r2)0

3.7参见课本后面P227的答案3.8fX(x)=∫0

2

1

323y31x

f(x,y)dy=∫xydy=x|=

022302

12

fy(y)=∫f(x,y)dx=∫

32312

xydx=y2x2|=3y22220

3y20≤y≤1

fY(y)=

0其它

x0≤x≤2 ,

fX(x)= 2

0,其它

3.9解：X的边缘概率密度函数fX(x)为：①当x>1或x<0时，f(x,y)=0，

11111fY(y)=∫4.8y(2 x)dx=4.8y[2x x2]|=4.8y[1 2y+y2]

yy222

fX(x)=0y>1或y<0

0≤y≤1

fX(x)=∫4.8y(2 x)dy=2.4y2(2 x)|=2.4x2(2 x)

xx

②当0≤x≤1时，fX(x)=∫04.8y(2 x)dy=2.4y(2 x)|0=2.4x2(2 x)

2

xx

Y的边缘概率密度函数fY(y)为：

1

当y>1或y<0时，f(x,y)=0，fY(y)=0

当0≤y≤1时，

11111

fY(y)=∫4.8y(2 x)dx=4.8y[2x x2]|=4.8y[1 2y+y2]

yy222

=2.4y(3 4y+y2)

3.10（1）参见课本后面P227的答案（2）

x

6dy

fX(x)= ∫x2

0

xx）0≤x≤

10≤x≤1 6（1-=

其它其它 0

dx0≤y≤

1 6y）0≤y≤1

= fY(y)= y

其它其它 0 0

3.11参见课本后面P228的答案3.12参见课本后面P228的答案3.13（1）

0≤x≤1 220≤x≤1 22xy

(x+)dy 2x+x

fX(x)= ∫0=33

其它其它 0 00≤y≤2 1y 12xy(x+dx +

fY(y)= ∫0=3 36

其它 0 0

0≤y≤2其它

对于0≤y≤2时，fY(y)>0，

2xy

x+f(x,y)

fX|Y(x|y)== +fY(y) 36

0

6x2+2xy

0≤x≤1 0≤x≤1

2+y = 其它其它0

所以

对于0≤x≤1时，fX(x)>0

2xy x+f(x,y)

fY|X(y|x)== 2x2+2fX(x) 3

0

0≤y≤2

3x+y 6x+2 = 0

0≤y≤2

所以

其它其它

P{Y<

111

|X==∫fY|X(y|)dy=∫222

1

20120

113×+y+y13×7=∫2=

015406×+2

2

3.14Y

13Y的边缘分

布

由表格可知P{X=1;Y=2}=0.25≠P{X=1}P{Y=2}=0.3225故P{X=xi;Y=yi}≠P{X=xi}P{Y=yi}所以X与Y不独立3.15

0.150.050.2

0.250.180.43

0.350.020.37

2

5

X的边缘分

布0.750.251

Y12

Y的边缘分布

123X的边缘分布

161312

19118131

+a+b3

18

aa+1

9

bb+1

1

由独立的条件P{X=xi;Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yi}则

P{X=2;Y=2}=P{X=2}P{Y=2}P{X=2;Y=3}=P{X=2}P{Y=3}

∑P{X=i}=1

可以列出方程

11

(+a+b)(+a)=a3911

(+b)(+a+b)=b18311

++a+b=133

a≥0,b≥0

解得a=2,b=1

9

9