第一章 矩阵的概念与运算

矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。矩阵

的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在

矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些

基本规则与技巧。

一、矩阵的基本概念 二、矩阵的线性运算 三、矩阵的乘法

四、初等变换与初等矩阵

§1.1矩阵的基本概念

一、矩阵概念的引入1、某班级同学早餐情况姓名 张三 李四 王五 馒头 4 0 4 包子 2 0 9 鸡蛋 2 0 8 粥 1 0 6

为了方便，常用下面的数表表示 4 2 2 1 0 0 0 0 4 9 8 6 这个数表反映 了学生的早餐 情况.

2、某航空公司在A,B,C, D四城市之间的航线图 成都 北京 广州

上海 为了方便，常用下面的数表表示

其中√ 表示有航班.到站

北京 发站 成都 广州 上海

北京 成都 广州 上海 为了便于计算,把表 0 1 1 0 1 1 中的√ 改成1,空白 0 1 0 地方填上0,就得到一 1 1 0 0 1 0 1 个数表: 0 1 0 0 1 0 这个数表反映 了四城市间交 通联接情况.

的解取决于

a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a x a x a x b 22 2 2n n 2 3. 线性方程组 21 1 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn 系数 aij i , j 1,2, , n ,常数项

bi i 1,2 , , n

线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 a11 a 21 a n1 b1 a 22 a 2 n b2 a n 2 a nn bn a12 a1 n

对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.

类似的矩形数表在许多问题中都存在着，经过科 学的抽象就形成一个重要的数学概念——矩阵.

二、矩阵的定义由 m n 个数 aij i 1,2, , m; j 1,2, , n 排成的 m行 n列的数表 a11 a12 a1n 元素 a a22 a2 n 21 行标 A 列标 am 1 am 1 amn 称为 m n型矩阵.简称 m n 矩阵.

记作： A ( aij )m n

A ( aij )

Am n

元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.

例如

1 0 3 5 是一个 2 4 实矩阵, 9 6 4 3

1 2 是一个 3 1 矩阵, 4 2 3 5 9 4 是一个 1 1 矩阵. 是一个 1 4 矩阵,

13 6 2i 是一个 3 3 复矩阵, 2 2 2 2 2 2

负矩阵定义 由矩阵 A [ aij ]m n 元素的相反数构成的矩阵

a11 a21 am1

a12 a22 am 2

a1n a2 n ( aij )m n am

n

称为矩阵A的负矩阵，记作-A

转置矩阵定义 由矩阵 A [ aij ]m n 的各行换成序号相同的列， n m 同时把各列换成同序号的行，所得到的 矩阵

a11 a12 a 1n

a21 a22 a2n

am 2 amn n m

am1

a11 a21 A am 1

a12 a22 am 2

a1n a2 n amn

称为矩阵A的转置矩阵，记作

A

T

或

A

三、几种特殊矩阵(1)行数与列数都等于n的矩阵A,称为n阶 方阵.也可记作 An .

例如

13 6 2i 2 2 2 2 2 2

是一个3 阶方阵.

主对角线

a11 a21 方阵 A 副对角线 an1

a12 a1n a22 a2 n an1 ann

(2)只有一行的矩阵 A a1 , a2 , , an ,称为行矩阵(或行向量). 只有一列的矩阵 a1 a2 B , 称为列矩阵(或列向量). a n