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K12小学初中高中 第2讲 动能定理及其应用

知识点一 动能

1.定义：物体由于 而具有的能.

2.公式：E k ＝ .

3.单位： ，1 J ＝1 N·m＝1 kg·m 2/s 2.

4.标矢性：动能是 ，只有正值，动能与速度的方向 .

5.动能的变化：物体 与 之差，即ΔE k ＝ .

答案：1.运动 2.12

mv 2 3.焦耳 4.标量 无关 5.末动能 初动能

知识点二 动能定理

1.内容：在一个过程中合力对物体所做的功，等于物体在这个过程中 .

2.表达式：W ＝ΔE k ＝E k2－E k1＝ .

3.物理意义： 的功是物体动能变化的量度.

4.适用条件

(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于 .

(2)既适用于恒力做功，也适用于 做功.

(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以 作用.

答案：1.动能的变化 2.

3.合力

4.(1)曲线运动 (2)变力 (3)分阶段

(1)运动的物体具有的能量就是动能. ( )

(2)一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化.

( )

(3)处于平衡状态的物体动能一定保持不变. ( )

(4)做自由落体运动的物体，动能与下落时间的二次方成正比. ( )

(5)物体在合外力作用下做变速运动，动能一定变化.( )

(6)物体的动能不变，所受的合外力必定为零. ( )

答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)×

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K12小学初中高中 考点 动能定理的理解

1.合外力做功与物体动能的变化间的关系

(1)数量关系：合外力做的功与物体动能的变化具有等量代换关系，但并不是说动能变化就是合外力做功.

(2)因果关系：合外力的功是引起物体动能变化的原因.

(3)量纲关系：单位相同，国际单位都是焦耳.

2.标量性：动能是标量，功也是标量，所以整个动能定理是一个标量式，不存在方向的选取问题.当然动能定理也就不存在分量的表达式.例如，以相同大小的初速度不管以什么方向抛出，在最终落到地面速度大小相同的情况下，所列的动能定理的表达式都是一样的.

3.相对性：高中阶段动能定理中的位移和速度必须相对于同一个参考系，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系.

4.动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功.因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选

.

考向1 对动能定理的理解

[典例1] (多选)如图所示，一块长木板B 放在光滑的水平面上，在B 上放一物体A ，现以恒定的外力拉B ，由于A 、B 间摩擦力的作用，A 将在B 上滑动，以地面为参考系，A 、B 都向前移动一段距离，在此过程中 (

)

A.外力F 做的功等于A 和B 动能的增量

B.B 对A 的摩擦力所做的功，等于A 的动能增量

C.A 对B 的摩擦力所做的功，等于B 对A 的摩擦力所做的功

D.外力F 对B 做的功等于B 的动能的增量与B 克服摩擦力所做的功之和

[解析] A 物体所受的合外力等于B 对A 的摩擦力，对A 物体运用动能定理，则有B 对A 的摩擦力所做的功等于A 的动能的增量，即B 对；A 对B 的摩擦力与B 对A 的摩擦力是一对作用力与反作用力，大小相等、方向相反，但是由于A 在B 上滑动，A 、B 相对地的位移不等，故二者做功不等，C 错；对B 应用动能定理W F －W Ff ＝ΔE k B ，即W F ＝ΔE k B ＋W F f ，就是外力F 对B 做的功，等于B 的动能增量与B 克服摩擦力所做的功之和，D 对；由前述讨论知B 克服摩擦力所做的功与A 的动能增量(等于B 对A 的摩擦力所做的功)不等，故A 错.

[答案] BD

[变式1] 如图所示，人用手托着质量为m 的苹果，从静止开始沿水平方向运动，前进距离L 后，速度为v (苹果与手始终相对静止)，苹果与手掌之间的动摩擦因数为μ，则下列说

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K12小学初中高中 法正确的是(

)

A.手对苹果的作用力方向竖直向上

B.苹果所受摩擦力大小为μmg

C.手对苹果做的功为12

mv 2 D.苹果对手不做功

答案：C 解析：苹果受手的支持力F N ＝mg 、静摩擦力F f ，合力即手对苹果的作用力，方向斜向上，A 错误；苹果所受摩擦力为静摩擦力，不等于μmg ，B 错误；由动能定理可得，手

对苹果的静摩擦力做的功W ＝12

mv 2，C 正确；苹果对手做负功，D 错误. 考向2 应用动能定理求变力做功

[典例2] (2015·海南卷)如图所示，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g .质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为 (

)

A.14mgR

B.13

mgR C.12mgR D.π4

mgR [解析] 在Q 点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，

所以有F N －mg ＝m v 2R ，F N ＝2mg ，联立解得v ＝gR .下滑过程中，根据动能定理可得mgR －W f ＝12

mv 2，解得W f ＝12mgR ，所以克服摩擦力做功为12mgR ，C 正确.

[答案] C

[变式2] (2015·新课标全国卷Ⅰ)如图所示，一半径为R 、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ 水平.一质量为m 的质点自P 点上方高度R 处由静止开始下落，恰好从P 点进入轨道.质点滑到轨道最低点N 时，对轨道的压力为4mg ，g 为重力加速度的大小.用W 表示质点从P 点运动到N 点的过程中克服摩擦力所做的功.则( )

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A.W ＝12

mgR ，质点恰好可以到达Q 点 B.W >12

mgR ，质点不能到达Q 点 C.W ＝12

mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离 D.W <12

mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离 答案：C 解析：设质点到达N 点的速度为v N ，在N 点质点受到轨道的弹力为F N ，

则F N －mg ＝mv 2N R ，已知F N ＝F ′N ＝4mg ，则质点到达N 点的动能为E k N ＝12mv 2N ＝32

mgR .质点由开始至N 点的过程，由动能定理得mg ·2R ＋W f ＝E k N －0，解得摩擦力做的功为W f ＝－12

mgR ，即克服摩擦力做的功为W ＝－W f ＝12

mgR .设从N 到Q 的过程中克服摩擦力做功为W ′，则W ′<W .从N 到Q 的过程，由动能定理得－mgR －W ′＝12mv 2Q －12mv 2N ，即12mgR －W ′＝12

mv 2Q ，故质点到达Q 点后速度不为0，质点继续上升一段距离.选项C 正确

.

应用动能定理求变力做功时应注意的问题

(1)所求的变力做的功不一定为总功，故所求的变力做的功不一定等于ΔE k .

(2)合外力对物体所做的功对应物体动能的变化，而不是对应物体的动能.

(3)若有多个力做功时，必须明确各力做功的正负，待求的变力做的功若为负功，可以设克服该力做的功为W ，则表达式中应用－W ；也可以设变力做的功为W ，则字母W 本身含有符号. 考点 应用动能定理解决多过程问题

1.应用动能定理解题的步骤

(1)选取研究对象，明确它的运动过程.

(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况.

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(3)明确物体在过程始末状态的动能E k1和E k2.

(4)列出动能定理的方程W 合＝E k2－E k1及其他必要的解题方程进行求解.

2.利用动能定理求解多过程问题的基本思路

(1)弄清物体的运动由哪些过程组成.

(2)分析每个过程中物体的受力情况.

(3)各个力做功有何特点，对动能的变化有无影响.

(4)从总体上把握全过程，表达出总功，找出初、末状态的动能.

(5)对所研究的全过程运用动能定理列方程

.

[典例3] (2015·浙江卷)如图所示，用一块长L 1＝1.0 m 的木板在墙和桌面间架设斜面，桌子高H ＝0.8 m ，长L 2＝1.5 m.斜面与水平桌面的倾角θ可在0～60°间调节后固定.将质量m ＝0.2 kg 的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数μ1＝0.05，物块与桌面间的动摩擦因数为μ2，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失.(重力加速度取g ＝10 m/s 2

；最大静摩擦力等于滑动摩擦力

)

(1)当θ角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；(用正切值表示)

(2)当θ角增大到37°时，物块恰能停在桌面边缘，求物块与桌面间的动摩擦因数μ2；(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

(3)继续增大θ角，发现θ＝53°时物块落地点与墙面的距离最大，求此最大距离x m .

[解析] (1)为使小物块下滑，应有mg sin θ≥μ1mg cos θ①

θ满足的条件tan θ≥0.05.②

即当θ＝arctan 0.05时物块恰好从斜面开始下滑.

(2)克服摩擦力做功W f ＝μ1mgL 1cos θ＋μ2mg (L 2－L 1cos θ)③

由动能定理得mgL 1sin θ－W f ＝0④

代入数据得μ2＝0.8.⑤

(3)由动能定理得mgL 1sin θ－W f ＝12

mv 2⑥

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K12小学初中高中 结合③式并代入数据得v ＝1 m/s ⑦

由平抛运动规律得H ＝12

gt 2，x 1＝vt 解得t ＝0.4 s ⑧

x 1＝0.4 m ⑨

x m ＝x 1＋L 2＝1.9 m.⑩

[答案] (1)arctan 0.05 (2)0.8 (3)1.9 m

[变式3] (2017·四川成都高三月考)如图所示，斜面的倾角为θ，质量为m 的滑块距挡板P 的距离为x 0，滑块以初速度v 0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力.若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，滑块经过的总路程是(

)

A.1μ⎝ ⎛⎭

⎪⎫v 2

02g cos θ＋x 0tan θ B.1μ⎝ ⎛⎭

⎪⎫v 202g sin θ＋x 0tan θ C.2μ⎝ ⎛⎭

⎪⎫v 202g cos θ＋x 0tan θ D.2μ⎝ ⎛⎭

⎪⎫v 202g cos θ＋x 0cot θ 答案：A 解析：滑块最终要停在斜面底部，设滑块经过的总路程为x ，对滑块运动的全

程应用功能关系，全程所产生的热量为Q ＝12mv 20＋mgx 0sin θ，又由全程产生的热量等于克服摩擦力所做的功，即Q ＝μmgx cos θ，解以上两式可得x ＝1μ⎝ ⎛⎭

⎪⎫v 2

02g cos θ＋x 0tan θ，选项A 正确

.

1.运用动能定理解决问题时，选择合适的研究过程能使问题得以简化.当物体的运动过程包含几个运动性质不同的子过程时，可以选择一个、几个或全部子过程作为研究过程.

2.当选择全部子过程作为研究过程，涉及重力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意运用它们的功能特点：①重力的功取决于物体的初、末位置，与路径无关；②大小恒定的阻力或摩擦力做的功等于力的大小与路程的乘积. 考点 动能定理和图象的综合应用

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1.解决物理图象问题的基本步骤

2.四类图象所围面积的含义

考向1 动能定理和v ­t 图象的综合应用

[典例4] (2017·安徽合肥一模)A 、B 两物体分别在水平恒力F 1和F 2的作用下沿水平面运动，先后撤去F 1、F 2后，两物体最终停下，它们的v ­t 图象如图所示.已知两物体与水平面间的滑动摩擦力大小相等.则下列说法正确的是( )

A.F 1、F 2大小之比为1∶2

B.F 1、F 2对A 、B 做功之比为1∶2

C.A 、B 质量之比为2∶1

D.全过程中A 、B 克服摩擦力做功之比为2∶1

[问题探究] (1)两个物体的总位移相同吗？摩擦生热相同吗？拉力做的功相同吗？

(2)如何计算二者的质量关系？

(3)如何计算拉力关系？

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K12小学初中高中 [提示] (1)由v ­t 图可知总位移相同，又已知摩擦力大小相等，所以摩擦生热相同，拉力做的功也相等.

(2)根据匀减速阶段可求出质量关系.

(3)利用全过程动能定理可得出拉力关系.

[解析] 由速度与时间图象可知，两个匀减速运动的加速度之比为1∶2，由牛顿第二定律可知：A 、B 受摩擦力大小相等，所以A 、B 的质量关系是2∶1，由速度与时间图象可知，A 、B 两物体加速与减速的位移相等，且匀加速位移之比为1∶2，匀减速运动的位移之比为2∶1，由动能定理可得：A 物体的拉力与摩擦力的关系，F 1·x －f 1·3x ＝0－0；B 物体的拉

力与摩擦力的关系，F 2·2x －f 2·3x ＝0－0，因此可得：F 1＝3f 1，F 2＝32

f 2，f 1＝f 2，所以F 1＝2F 2.全过程中摩擦力对A 、B 做功相等，F 1、F 2对A 、B 做功大小相等.故A 、B 、D 错误，C 正确.

[答案] C

考向2 动能定理和F ­x 图象的综合应用

[典例5] 如图甲所示，在倾角为30°的足够长的光滑斜面AB 的A 处连接一粗糙水平面OA ，OA 长为4 m.有一质量为m 的滑块，从O 处由静止开始受一水平向右的力F 作用.F 只在水平面上按图乙所示的规律变化.滑块与OA 间的动摩擦因数μ＝0.25，取g ＝10 m/s 2

，试求：

甲 乙

(1)滑块运动到A 处的速度大小； (2)不计滑块在A 处的速率变化，滑块冲上斜面AB 的长度是多少？

[问题探究] (1)滑块从O 点开始运动到滑块冲上斜面这段过程中怎样运动？

(2)F ­x 图象的面积表示什么？

[提示] (1)如图所示

(2)力F 对物体所做的功.

[解析] (1)由题图乙知，在前2 m 内，F 1＝2mg 做正功，在第 3 m 内，F 2＝－0.5mg ，做负功，在第4 m 内，F 3＝0，滑动摩擦力F f ＝－μmg ＝－0.25mg ，始终做负功，对于滑块在OA

上运动的全过程，由动能定理得：F 1x 1＋F 2x 2＋F f x ＝12

mv 2A －0 即2mg ×2 m－0.5mg ×1 m－0.25mg ×4 m＝12

mv 2A －0

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K12小学初中高中 解得v A ＝5 2 m/s.

(2)对于滑块冲上斜面的过程，由动能定理得

－mgL sin 30°＝0－12

mv 2A 解得L ＝5 m

所以滑块冲上斜面AB 的长度L ＝5 m.

[答案] (1)5 2 m/s (2)5 m

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1.[对动能定理的理解](多选)关于动能定理的表达式W ＝E k2－E k1，下列说法正确的是

( )

A.公式中的W 为不包含重力的其他力做的总功

B.公式中的W 为包含重力在内的所有力做的功，也可通过以下两种方式计算：先求每个力的功再求功的代数和或先求合外力再求合外力的功

C.公式中的E k2－E k1为动能的增量，当W >0时动能增加，当W <0时动能减少

D.动能定理适用于直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做动，但不适用于变力做功

答案：BC 解析：公式中W 指总功，求总功的方法有两种，先求每个力做的功再求功的代数和或先求合力再求合外力的功，故选项B 正确，A 错误；当W >0时，末动能大于初动能，动能增加，当W <0时，末动能小于初动能，动能减少，故C 正确；动能定理不仅适用于直线运动，也适用于曲线运动，不仅适用于恒力做功，也适用于变力做功，故D 错误.

2.[应用动能定理求变力做功]一个质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平拉力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移动到Q 点，此时轻绳与竖直方向夹角为θ，如图所示，则拉力F 所做的功为(

)

A.mgL cos θ

B.mgL (1－cos θ)

C.FL sin θ

D.FL cos θ

答案：B 解析：从P 缓慢拉到Q ，由动能定理得：W F －W G ＝0(因为小球缓慢移动，速度可视为零)，即W F ＝W G ＝mgL (1－cos θ).

3.[变力做功的计算]如图所示，质量为m 的物体与水平转台间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R ，物体随转台由静止开始转动.当转速增至某一值时，物体即将在转台上滑动，此时转台开始匀速转动(设物体的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力).则在这一过程中摩擦力对物体做的功是(

)

A.0

B.2μmgR

C.2πμmgR

D.μmgR 2

答案：D 解析：物体即将在转台上滑动但还未滑动时，转台对物体的最大静摩擦力恰好

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K12小学初中高中 提供向心力，设此时物体做圆周运动的线速度为v ，则有μmg ＝mv 2R

，① 在物体由静止到获得速度v 的过程中，物体受到的重力和支持力不做功，只有摩擦力对

物体做功，由动能定理得W ＝12

mv 2－0，② 联立①②解得W ＝12

μmgR . 4.[应用动能定理解决多过程问题](多选)一物体从斜面底端以初动能E 滑向斜面，返回到斜面底端的速度大小为v ，克服摩擦力做的功为E 2

，若物体以初动能2E 滑向斜面，则( ) A.返回斜面底端时的动能为E

B.返回斜面底端时的动能为3E 2

C.返回斜面底端时的速度大小为2v

D.返回斜面底端时的速度大小为2v

答案：AD 解析：设斜面倾角为θ，斜面对物体的摩擦力为f ，物体以初动能E 滑向斜面时，在斜面上上升的最远距离为L 1，则根据动能定理，在物体沿斜面上升的过程中有－GL 1sin θ－fL 1＝0－E ，在物体沿斜面下降的过程中有GL 1sin θ－fL 1＝E 2

，联立解得G sin θ＝3f .同理，当物体以初动能2E 滑向斜面时，在物体沿斜面上升的过程中有－GL 2sin θ－fL 2＝0－2E ，在物体沿斜面下降的过程中有GL 2sin θ－fL 2＝E ′，联立解得E ′＝E ，故A 正确，B 错误；由E 2＝12mv 2，E ′＝12

mv ′2，得v ′＝2v ，故C 错误，D 正确. 5.[动能定理和摩擦力做功的计算]如图所示，ABCD 是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC 的连接处都是一段与BC 相切的圆弧，BC 是水平的，其距离d ＝0.50 m.盆边缘的高度为h ＝0.30 m.在A 处放一个质量为m 的小物块并让其从静止开始下滑.已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC 面与小物块间的动摩擦因数为μ＝0.10.小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停的地点到B 的距离为(

)

A.0.50 m

B.0.25 m

C.0.10 m

D.0

答案：D 解析：设小物块在BC 段通过的总路程为s ，由于只有水平面上存在摩擦力，则小物块从A 点开始运动到最终静止的整个过程中，摩擦力做功为－μmgs ，而重力做功与路径无关，由动能定理得：mgh －μmgs ＝0－0，代入数据可解得s ＝3 m.由于d ＝0.50 m ，所以，

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小物块在BC段经过3次往复运动后，又回到B点. K12小学初中高中