第一章 函数与极限

第一节 映射与函数

一、 集合

1、集合概念

（1） 通常用大写拉丁字母A、B、C……表示集合（简称集），用小写拉丁字母a、

b、c……表示元素（简称元）。

（2） 含有有限个元素的集合为有限集，不是有限集的集合成为无限集。

（3） 表示集合的方法通常有列举法和描述法。

（4） 习惯上，全体非负整数即自然数的集合记作N，全体正整数的集合为N ，

全体整数的集合记作Z，全体有理数的集合记作Q，全体实数的集合记作R。

（5） 设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B

的子集，记作A B或B A。如果A B且B A，则称集合A与集合B 相等，记作A B。

（6） 若A B且A B，则称A是B的真子集，记作A B

（7） 不含任何元素的集合成为空集。

2、集合的运算

（1） 集合的基本运算有并、交、差。

A B={x/x A或x b}

A B={x/x A且x B}

A\B={x/x A且x B}

（2） 若集合I为全集或基本集，称I/A为A的余集或补集，记作AC

（3） 集合的并、交、余运算满足交换律、结合律、分配律、对偶律。

3、区间和邻域

（1） 开区间、闭区间、半开区间都称为有限区间，此外还有无限区间。

（2） 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U（a）。

（3） 点a 的 邻域记作U(a， )，点a 称为这邻域的中心， 称为这邻

域的半径。

（4） 点a 的去心 邻域记作UO(a， )。

二、 映射

1、映射概念

（1）映射定义：设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每

个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则

称f为从X到Y的映射，记作 f：X Y

（2）设f是从集合X到Y上的映射，若Rf=Y，则称f为X到Y上的映射或满射；

若对X中任意两个不同元素的像不相等，则称f为X到Y上的单射；若映射f既是单射又是满射，则称f为一一映射或双射。

2、逆映射与复合映射

（1）只有单射才存在逆映射

（2）若g：X Y1，f：Y2 Z ，则这个映射称为映射g和f构成的复合映

射，记作f g 即f g：X Z 。

三、函数

1、函数概念

（1）设数集D R，则称映射f：D R为定义在D上的函数，通常简记为 y=f(x) ， x D

其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，即Df=D

（2）构成函数的要素是定义域和对应法则。

（3）函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函

数，另一种是对抽象地用算式表达的函数。

（4）表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法）。

2、函数的几种特性

（1）函数的有界性

（2）函数的单调性

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数

（3）函数的周期性

对于函数f(x)的定义域为D，若存在正数l，使得

f(x+l)=f(x)

恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期。L一般指最小正周期。

（4） 函数的奇偶性

设函数f的定义域关于原点对称，

若对于任一x D，f(-x)=f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数；

若对于任一x D，f(-x)=-f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数。

偶函数的图形关于y轴是对称的。

奇函数的图形关于原点是对称的。

3、反函数与复合函数

（1）对于函数f 来说，y=f 1(x)为其反函数，f(x)称为直接函数。直接函

数与反函数的图形关于直线y=x是对称的。

（2）设函数y=f(u)的定义域为Df，函数u=g(x)的定义域为Dg，且其值域

Rg Df，则由下式确定的函数

Y=f【g(x)】 ，x D

称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数，变量u极为中间变

量。

4、函数的运算（和差商积）

5、初等函数

（1） 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统

称为基本初等函数。

（2） 有常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合

步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

第二节 数列的极限

一、

二、 数列极限的定义 收敛数列的性质

定理一（极限的唯一性）如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一。

定理二（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 定理三（收敛数列的保号性）如果数列{xn}存在极限且极限大于零（或小于

零），那么存在正整数N 0，当n N 时，都有xn 0（或xn 0）

定理四（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的

任一子数列也收敛，且极限也是a

第三节 函数的极限

一、 函数极限的定义

1、自变量趋于有限值时函数的极限

2、自变量趋于无穷大时函数的极限

二、 函数极限的性质

定理一（函数极限的唯一性）如果函数存在极限，那么这极限唯一。

定理二（函数极限的局部有界性）如果函数的极限为a，那么存在常数M 0和

0，使得当0 x x0 时，有f(x) M。

定理三（函数极限的局部保号性）

定理四（函数极限与数列极限的关系）

第四节 无穷小与无穷大

一、无穷小的定义

二、无穷大的定义

三、若函数f(x)为无穷大，则1为无穷小； f(x)

1为无穷大。 f(x)若函数f(x)为无穷小，则

第五节 极限运算法则

定理1 有限个无穷小的和也是无穷小

定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小

推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小

定理3 关于无穷小的乘除运算

定理4 两个存在极限的数列之间的乘除运算符合一般乘除运算

定理5 复合函数的极限运算法则

第六节 极限存在准则 两个重要极限

一、 夹逼准则（准则I及准则I’） limx 0sinx 1 x

limcosx 1

x 0

二、 准则II 单调有界数列必有极限

limx 1(1 )x e x

三、 柯西极限存在准则（也叫柯西审敛原理）

第七节 无穷小的比较

一、 高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小

二、 定理一、定理二

第八节 函数的连续性与间断点

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的和、差、积、商的连续性

二、反函数与复合函数的连续性

三、初等函数的连续性

第十节 闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最大值最小值定理

二、零点定理与介值定理

三、一致连续性

第二章 导数与微分

第一节 导数概念

一、导数的定义

单侧导数：左导数和右导数统称为单侧导数

二、导数的几何意义

三、函数可导性与连续性的关系

如果函数y=f(x)在点x处可导，则函数在该点必连续；另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。

第二节 函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则

二、反函数的求导法则

三、复合函数的求导法则

四、基本求导法则与导数公式

1、常数和基本初等函数的导数公式（共十六道，详见95页）

2、函数的和、差、积、商的求导法则（共四道，详见95页）

3、反函数的求导法则

4、复合函数的求导法则

第三节 高阶导数

一般的，（n-1）阶导数的导数叫做n阶导数

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

一、隐函数的导数

可以用函数十字表达的函数叫做显函数

二、由参数方程所确定的函数的导数

三、相关变化率

第五节 函数的微分

一、微分的定义

二、微分的几何意义

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

1、基本初等函数的微分公式（详见116页）

2、函数的和、差、积、商的微分法则（详见117页）

3、复合函数的微分法则

四、微分在近似计算中的应用

1、函数的近似计算

2、误差估计

第三章 微分中值定理与导数的应用

第一节 微分中值定理

一、罗尔定理

二、拉格朗日中值定理

三、柯西中值定理

第二节 洛必达法则

第三节 泰勒公式

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

一、函数单调性的判定法

二、曲线的凹凸性与拐点

第五节 函数的极值与最大值最小值

一、函数的极值及其求法

二、最大值最小值问题

第六节 函数图形的描绘

第七节 曲率

一、弧微分

二、曲率及其计算公式

三、曲率圆与曲率半径

四、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线

第八节 方程的近似解

一、二分法

二、切线法