第一章 函数与极限

第一节 映射与函数

一、 集合

1、集合概念

（1） 通常用大写拉丁字母A、B、C……表示集合（简称集），用小写拉丁字母a、

b、c……表示元素（简称元）。

（2） 含有有限个元素的集合为有限集，不是有限集的集合成为无限集。

（3） 表示集合的方法通常有列举法和描述法。

（4） 习惯上，全体非负整数即自然数的集合记作N，全体正整数的集合为N ，

全体整数的集合记作Z，全体有理数的集合记作Q，全体实数的集合记作R。

（5） 设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B

的子集，记作A B或B A。如果A B且B A，则称集合A与集合B 相等，记作A B。

（6） 若A B且A B，则称A是B的真子集，记作A B

（7） 不含任何元素的集合成为空集。

2、集合的运算

（1） 集合的基本运算有并、交、差。

A B={x/x A或x b}

A B={x/x A且x B}

A\B={x/x A且x B}

（2） 若集合I为全集或基本集，称I/A为A的余集或补集，记作AC

（3） 集合的并、交、余运算满足交换律、结合律、分配律、对偶律。

3、区间和邻域

（1） 开区间、闭区间、半开区间都称为有限区间，此外还有无限区间。

（2） 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U（a）。

（3） 点a 的 邻域记作U(a， )，点a 称为这邻域的中心， 称为这邻

域的半径。

（4） 点a 的去心 邻域记作UO(a， )。

二、 映射

1、映射概念

（1）映射定义：设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每

个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则

称f为从X到Y的映射，记作 f：X Y

（2）设f是从集合X到Y上的映射，若Rf=Y，则称f为X到Y上的映射或满射；

若对X中任意两个不同元素的像不相等，则称f为X到Y上的单射；若映射f既是单射又是满射，则称f为一一映射或双射。

2、逆映射与复合映射

（1）只有单射才存在逆映射

（2）若g：X Y1，f：Y2 Z ，则这个映射称为映射g和f构成的复合映

射，记作f g 即f g：X Z 。

三、函数

1、函数概念

（1）设数集D R，则称映射f：D R为定义在D上的函数，通常简记为 y=f(x) ， x D

其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，即Df=D

（2）构成函数的要素是定义域和对应法则。

（3）函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函

数，另一种是对抽象地用算式表达的函数。

（4）表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法）。

2、函数的几种特性

（1）函数的有界性

（2）函数的单调性

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数

（3）函数的周期性

对于函数f(x)的定义域为D，若存在正数l，使得

f(x+l)=f(x)

恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期。L一般指最小正周期。

（4） 函数的奇偶性

设函数f的定义域关于原点对称，

若对于任一x D，f(-x)=f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数；

若对于任一x D，f(-x)=-f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数。

偶函数的图形关于y轴是对称的。

奇函数的图形关于原点是对称的。

3、反函数与复合函数

（1）对于函数f 来说，y=f 1(x)为其反函数，f(x)称为直接函数。直接函

数与反函数的图形关于直线y=x是对称的。

（2）设函数y=f(u)的定义域为Df，函数u=g(x)的定义域为Dg，且其值域

Rg Df，则由下式确定的函数

Y=f【g(x)】 ，x D

称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数，变量u极为中间变

量。

4、函数的运算（和差商积）

5、初等函数

（1） 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统

称为基本初等函数。

（2） 有常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合

步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

第二节 数列的极限

一、

二、 数列极限的定义 收敛数列的性质

定理一（极限的唯一性）如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一。

定理二（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 定理三（收敛数列的保号性）如果数列{xn}存在极限且极限大于零（或小于

零），那么存在正整数N 0，当n N 时，都有xn 0（或xn 0）

定理四（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的

任一子数列也收敛，且极限也是a

第三节 函数的极限

一、 函数极限的定义

1、自变量趋于有限值时函数的极限

2、自变量趋于无穷大时函数的极限

二、 函数极限的性质

定理一（函数极限的唯一性）如果函数存在极限，那么这极限唯一。

定理二（函数极限的局部有界性）如果函数的极限为a，那么存在常数M 0和

0，使得当0 x x0 时，有f(x) M。

定理三（函数极限的局部保号性）

定理四（函数极限与数列极限的关系）

第四节 无穷小与无穷大

一、无穷小的定义

二、无穷大的定义

三、若函数f(x)为无穷大，则1为无穷小； f(x)

1为无穷大。 …… 此处隐藏：1404字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……