高中理科数学数列通项解题方法

递推数列通项公式的解题方法

一．求递推数列的常用方法和技巧 特殊方法： 1.公式法 2.累差法 3.累乘法 4.迭代法 5.倒数代换法 6.对数代换法 7.待定系数法 8待定函数法

8.特征方程法（含不动点法） 9.解方程组法 10.数学归纳法 11.换元法(含三角代换) 12．分解因式法 (大神级方法) 13.函数迭代法

二．高考数学递推数列的常见类型 类型1.f(Sn,an) 0型的 类型2.递推公式为类型3.递推公式为类型4.递推公式为

（其中p，q均为常数，

）。

类型5. 递推公式为an 1 pan f n 类型6递推公式为

an 1 p(n)an q(n)(p(n) 0)

a1 a(a为常数）

q

类型7.递推公式为an 1 pan an 0

类型8. 递推公式为an 2 pan 1 qan（其中p，q均为常数）。

an 1

类型9.递推公式为

2an p

类型10.an 1 型

2an q

pan q

ran h 型（特别的情形是：a

n 1

an

） pan 1

类型11. 双数列型

an 1 pan qbn

递推公式为 确定an,bn.

b sa tbnn n 1

2

qan r q2 4pr 2q 类型12. 递推公式为an 1 pan

类型13.其他类型 类型14..循环数列

类型1.f(Sn,an) 0型的

S1 (n 1)

这种类型一般利用an 与an Sn Sn 1 f(an) f(an 1)

S S (n 2)n 1 n

消去Sn (n 2)或与Sn f(Sn Sn 1)(n 2)消去an进行求解。 例题1． 已知数列 an 的前n项和Sn满足Sn 2an ( 1)n,n 1.

(Ⅰ)写出数列 an 的前3项a1,a2,a3; (Ⅱ)求数列 an 的通项公式;

分析：Sn 2an ( 1)n,n 1.---------------① 由a1 S1 2a1 1,得a1 1.----------------②

由n 2得，a1 a2 2a2 1，得a2 0--------------③ 由n 3得，a1 a2 a3 2a3 1，得a3 2---------④ 用n 1代n得 Sn 1 2an 1 ( 1)n 1-----------⑤ ①—⑤：an Sn Sn 1 2an 2an 1 2( 1)n

即an 2an 1 2( 1)n----------------------------⑥

an 2an 1 2( 1)n 22an 2 2( 1)n 1 2( 1)n 22an 2 22( 1)n 1 2( 1)n 2n 1a1 2n 1( 1) 2n 2( 1)2 2( 1)n

2n 2

2 ( 1)n 1---------------------------⑦ 3

解法二： an 2an 1 2( 1)n--------------------------------○1

an 2an 1 2( 1)n

an 2an 1 2( 1)n

anan 11n

2( )2n2n 12ananan 1an 1an 2a2a1a1 (n n 1) (n 1 n 2) ... (2 1) 1n22222222

n

an1k1 2( ) n222k 22

an [2n 2 ( 1)n 1]

3

解法三： an 2an 1 2( 1)n--------------------------------○1

an ( 1)n 2[an 1 ( 1)n 1]，比较系数得到

2

3

2

{an ( 1)n}，就是等比数列了，而且公比是2，轻易算得：

32

an [2n 2 ( 1)n 1]

3

类型2.递推公式为

解法：把原递推公式转化为an 1 an f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。 例题2:已知数列 an 满足a1 解：由条件知：an 1 an

11，an 1 an 2，求an。 2n n

1111 2

n nn(n 1)nn 1

分别令n 1,2,3, ,(n 1)，代入上式得(n 1)个等式累加之，即

(a2 a1) (a3 a2) (a4 a3) (an an 1)

1111111 (1 ) ( ) ( ) ( )

22334n 1n

1

所以an a1 1

n

11131 a1 ， an 1

22n2n

类型3.递推公式为

解法：把原递推公式转化为

an 1

f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

2n

an，求an。 ，an 1

3n 1

例题3:已知数列 an 满足a1 解：由条件知累乘之，即

an 1n

，分别令n 1,2,3, ,(n 1)，代入上式得(n 1)个等式

ann 1

aaa2a3a4123n 11

n n

na1a2a3an 1234a1n

又 a1

22

， an 33n

类型4.递推公式为（其中p，q均为常数，）。

q

，1 p

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an 1 t p(an t)，其中t 再利用换元法转化为等比数列求解。

例题4:已知数列 an 中，a1 1，an 1 2an 3，求an.

解：设递推公式an 1 2an 3可以转化为an 1 t 2(an t)即

an 1 2an t t 3.故递推公式为an 1 3 2(an 3),令bn an 3，则b1 a1 3 4,且

bn 1an 1 3

2.所以 bn 是以b1 4为首项，2为公比的等比bnan 3

数列，则bn 4 2n 1 2n 1,所以an 2n 1 3. 解法二：

a1 1，an 1 2an 3

an 2(an 1 )，比较系数得 3

an 3 2(an 1 3) 解法三：

a1 1，an 1 2an 3

an 1an3

2n 12n2n

ananan 1an 1an 2a2a1a1

( ) ( ) ... ( ) 2n2n2n 12n 12n 2222121

类型5. 递推公式为an 1 pan f n

解法：方法一：变形

an 1anf n n n 1转化为类型2求解； n 1

ppp

方法二：待定系数法解法：只需构造数列 bn ，消去f n 带来的差异。 例题5．设数列 an ：a1 4,an 3an 1 2n 1,(n 2)，求数列 an 的通项公式。 解：设bn an An B，则an bn An B，将an,an 1代入递推式，得

bn An B 3 bn 1 A(n 1) B 2n 1 3bn 1 (3A 2)n (3B 3A 1)

A 3A 2

B 3B 3A 1

A 1

B 1

（１）则bn 3bn 1,又b1 6，故bn 6 3n 1 2 3n 取bn an n 1…

代入（１）得an 2 3n n 1

2

b a An Bn C; f(n)nnn说明：（1）若为的二次式，则可设

(2)本题也可由an 3an 1 2n 1 ,an 1 3an 2 2(n 1) 1（n 3） 两式相减得an an 1 3(an 1 an 2) 2转化为bn pbn 1 q求之.

类型6递推公式为

an 1 p(n)an q(n)(p(n) 0)

a a(a为常数）1

解法：添加辅助数列 p n ,使p n

h n

,代入an 1 p n an q n ，得

hn 1h n

an 1 an q n , h n 1 an 1 h n an h n 1 q n ，令b n h n an，

hn 1 bn 1 bn h n 1 q n 转化为类型2

例题6.已知数列 an 满足a1 1,且an 1 n 1 an n 2 !，求an 解：令

h n h n n 1 ! n 1, 由类型3可求得 hn 1hn 1n!

an 1

n 1 !a

n!

n n 2 !

aan 1a

n n 2 ，记bn n

n!n 1!n!

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