勾股定理课堂实录

发布时间：2024-11-21

苏教版高一必修(一),一次函数的完整教案

勾股定理教案1

精品源自化学科学习目标:

1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程,进一步发展学生的合情推理意识,主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系,进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

学习重点:了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。

学习难点:勾股定理的发现。

学习过程:

一.学前准备:

阅读课本第44页到46页。完成下列问题:

(1) 观察课本第44页几幅图回答:

①观察这枚邮票图案小方格的个数,你有什么发现?

②你能分别计算以BC、AC、AB为边的正方形的面积吗?你有什么发现?

(2)在课本第45页方格纸上完成在方格纸上,画一个顶点都在格点上的直角三角形;并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形,仿照上面的方法计算以直角边、斜边为一边的正方形的面积. 你又有什么发现?

(3)勾股定理的文字表述和式子表述。

(4)说说勾股定理的作用。

二.自学、合作探究:

(一)自学、相信自己:

完成课本第46页练习1、2

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(二)思索、交流:

例1、如图,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O的距离为3m,梯子的顶端A向外移动到A',使梯子的底端A'到墙根O的距离等于4m,同时梯子的顶端B下降至B',求BB'的长(梯子AB的长为5 m)。

例2、已知:Rt△ABC中,AB=4,AC=3,则BC2的长为 .

例3、一盒子长,宽,高分别是4米,3米和12米,盒内可放的棍子最长有多长?(画出示意图并求解)

(三)应用、探究:

1、如图, 折叠长方形的一边AD,点D落在BC边点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,

(1)你能说出图中哪些线段的长?

(2)求EC的长.

2、有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米.在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,需要爬行的的最短路程是多少?(π的值取3).

(1)同学们可自己做一个圆柱,尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线,你觉得哪条路线最短呢?

(2)如图,将圆柱侧面剪开展开成一个长方形,从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?

(3)蚂蚁从A点出发,想吃到B点上的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?

我们知道,圆柱的侧面展开图是一长方形 ,用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图). 我们不难发现,刚才几位同学的走法:

(1)A→A′→B; (2)A→B′→B;(3)A→D→B; (4)A-→B.

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哪条路线是最短呢?你画对了吗?

三.学习体会:

四.自我测试:

1、在Rt△ABC中,∠C=90°(1)若a=5,b=12,则c=________;(2)b=8,c=17,则S△ABC=________。

2、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。(注:下列各图中的三角形均为直角三角形)

答:A=________,y=________,B=________。

3、已知甲往东走了4km,乙往南走了3km,这时甲、乙俩人相距

4、如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2。

5、在Rt△ABC中,∠C=90,周长为60,斜边与一条直角边之比为13∶5,则这个三角形三边长分别是 ( )

A、5、4、3、; B、13、12、5; C、10、8、6; D、26、24、10

6、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是 ( )

A.20cm; B.10cm; C.14cm; D.无法确定.

7、若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( )

A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm

8、如图,在⊿ABC中,∠ACB=900,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB与D,

求:(1),AC的长; (2)⊿ABC的面积; (3)CD的长。

9、如图,在四边形中,∠ ,∠ , ,求 .

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10、要登上8m高的建筑物,为了安全需要,需使梯子底端离建筑物6m,至少需要多长的梯子?(画出示意图)

五.自我提高:

1、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少?(画出示意图并求解)

2、如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?

3、甲、乙两位探险者,到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00,甲、乙两人相距多远?

4、如图,有一个高1.5米,

半径是1米的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔,从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分是0.5米,问这根铁棒应有多长?

5、4个直角三角形拼成右边图形,你能根据图形面积得到勾股定理吗?

6、在一张纸上画两个全等的直角三角形,并把它们拼成如图形状,请用两种方法表示这个梯形的面积。利用你的表示方法,你能得到勾股定理吗

勾股定理课堂实录

文章来源于 3 e d u 教育网课堂实录(片断)

一、引入探究

师:请同学们在方格纸上三角形ABC外,画一个以AC为一边的正方形,画一个以BC为边的正方形;再求出这两个正方形的面积。(如图1--1)

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一名学生上黑板画图,教师巡视、指导。学生画好后

师:怎样画以AB为边的正方形呢?(学生思考,部分学生窃窃私语)试一试!

师:哪位同学愿意上来画?(少数同学欲举手,但还犹豫)

师:请×××上黑板画一下;

教师巡视中发现:许多同学画"以AB为边的正方形"时,正方形的另外两个顶点不是格点,使求面积发生困难。

师:请同学们思考:以AB为边的正方形的另两个顶点是不是格点?为什么?

如图1--2,作△ADE≌△BCA,则AE=AB,AE⊥AB,同样可作△EGF≌△ADE,得到

EF=AE,EF⊥AE,连结BE,四边形AEFB就是以AB为边的正方形,所以,它另外两个顶点E、F一定是格点.

学生遇到困难,教师及时点拔、指导,这是学生自主学习过程中不可忽缺的,也是学生自主探究活动取得实效,教师应做的工作。

师:如图2--1,P、Q是两格点,你能快速画出以PQ为一边的正方形吗?试一试!请×××上黑板画.

教师巡视,指导有困难的学生画图

师:请同学们思考:怎样求出图1中,以AB为一边的正方形的面积?

由于不知道边长,学生"冷场"

师:请每组前后两桌四位同学为一小组讨论,然后我们一起交流!

课堂气氛活跃、热烈起来。约一分钟后有学生举手,教师和他进行了个别交流,随后举手的同学又有一些。

师:请同学们来交流思路与方法。

生甲:我用割补法。

师:请把你的方法用图展示一下。

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生甲走上讲台,教师用展示平台投影出该生的示意图(如图3)。

师:实际上,该同学是用横、竖网格线将正方形分割成四个直角三角形加中间一个小正方形(如图3),非常漂亮。

学生赞叹

生乙:我用补形法,在正方形各边上补一个直角三角形在形外,变成一个大的正方形。师:请把你的方法用图展示一下。

生乙走上讲台,教师用展示平台投影出该生的示意图(如图4)

师:实际上,该同学是用横、竖网格线(过原正方形的顶点)将正方形补成一个大正方形(如图4),原正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积的差。非常漂亮!结果是多少?

生丙:等于25

师:图2--2中,以PQ为一边的正方形的面积等于多少?

生:等于4× ×4×2+22=20

师:图1中,三个正方形的面积有什么关系?

二、定理探索

师:请同学们在图5中,考察各直角三角形周围的三个正方形的面积之间的关系。学生独立操作,教师巡视.

师:同桌的同学相互讨论一下,(约半分钟后)谁来讲一讲考察结果?(有许多同学举手)请×××同学……

生甲:大正方形减小正方形等于第三个正方形

生乙:两个小正方形相加等于大正方形

生丙:两个小正方形面积相加等于大正方形面积

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……

师:同学们都发现了其中的关系,×××讲得最好;由此你能说出这些直角三角形三边之间的关系吗?

生甲:两边平方和等于第三边的平方

生乙:两直角边的平方和等于斜边的平方

师:你真棒!这就是在数学史上具有里程碑意义、非常著名的勾股定理(板书课题),即:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.(投影)但这仅仅是在几个直角三角形(有具体数值)中发现的,在任意一个直角三角形(斜边为c、两直角边为a、b)中是否仍成立(a2+b2=c2)呢?(投影)

师;……(简介勾股定理的历史及我国古代数学家对勾股定理的贡献)

师:请同学们用课前准备好的四个全等的直角三角形在桌面上拼图,围成一个正方形可以吗?

教师巡视

师:比一比,谁的图形漂亮?

教师继续巡视

师:谁愿把自己拼(围)得到的优美图案与大家共享?

同学们纷纷举手.

师:同学们自由上台展示(可一起上台)

教师拿出课前准备的"双面胶"供学生在黑板上粘贴。

师:如图6、图7的图案真漂亮,图7还是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽呢!请同学们计算一下图6的大正方形面积.

学生思考、演算

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生甲:面积为c2+2ab

师:介绍一下算法.

生甲:中间小正方形的面积为c2,再加四个直角三角形的面积就行了.

师:还有什么不同方法呢?

生乙:大正方形的边长就是a+b,所以大正方形的面积就等于(a+b)2

师:很好!两位同学的结果,形式不一样.但同一图形的面积值是相等的.由此你可得出什么结果?

生甲:c2+2ab=(a+b)2

师:能简化吗?

生甲:能,结果是c2=a2+b2

同学:哇!就是勾股定理哎.

学生的脸上流露出欣喜、愉悦的表情.这就是成就感!是教师课堂教学的最大成功.

师:刚才我们通过图5的面积计算,验证了勾股定理;能否在图7中,通过面积计算,验证勾股定理?

……

图7中,大正方形的面积=c2或4( ab)+(a-b)2.步骤类似于图5中的验证过程.

师:至此,我们已用两种方法证明了勾股定理,从勾股定理的发现到今,已有了400多种证明方法,同学们课后有兴趣可查阅有关资料.

三、应用举例、练习(略)

注:本方案后面的定理应用举例、练习都没能进行,下课了!

谈课堂教学中学生活动的实效性

本案例-----勾股定理的探索研究,是许多公开课、大型教研活动中,选取的课题.传统的

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教学设计,都是用四个全等的直角三角形拼图、求面积、归纳、抽象获得结论,这种活动是很有效的,学生动手制作全等直角三角形、拼图,观察、思考、计算图形面积(且用了两种方法),调动了学生的各种感觉器官,学生兴趣高涨,记忆深刻

,设计了"在网格上探求以直角三角形的各边为边长的三个正方形面积之间关系"的情境,让学生充分经历了定理的产生过程,试图充分呈现知识发生、发展的过程,理念非常新,一改勾股定理教学的传统面孔,使人耳目一新.通过教学实践,我认为几个问题要处理好:

1、画图费时、费力.如案例图1--1中画以AB为边的正方形,有难度,说明另两顶点是格点,是本方案取得实效的关键;否则,怎么获得准确面积值?近似的画图、度量、计算、猜想,怎么培养学生严谨的数学思维?数学上总不能"像什么就是什么"吧,少了"为什么"的思考就不是数学了。不经大脑理性思考的猜想是瞎想,不经大脑理性思考的发言是信口开河,而这往往在许多公开课上都受到上课教师的表扬,这是曲解了课堂人文关怀的意义,在一定程度上强化了学生好大喜功的表现欲,致使现在一些学生内心浮躁,思维缺乏深度,这也是为什么有些公开课场面漂亮、气氛热烈,课后作业却不会做的原因所在。所以选用这种方案就一定要舍得在画图方法及道理上花时间,讲清楚(包括后面用割、补法求正方形的面积).教师要讲解画法及道理,涉及到正方形的判定,但正方形的判定还没有学过,妥当否?我认为只要讲清两边为什么垂直且相等就行,事实上,学生有对正方形感性认识的基础,是不难理解的。

2、这种方案如此费时费力,意义何在?我也困惑,直接用四个全等的直角三角形拼图、求面积、归纳、抽象获得结论.是否可行?我想按新课程理念,在活动中获取知识(做中学)是对的,在培养学生的探究能力、和自主学习的习惯上是有效的,判断课堂活动的合理性和必要性,应以学生是否获得"实效"为标准,这里的"实效"应包括:活动情境催化了新知识的产生,通过活动促进了新知识的发展,活动启迪了学生的思维,活动为教学难点突破搭建了台阶,活动丰富了学生数学(思维)内涵和素养.苏科版的这种方案从具体个例的研究,通过不完全归纳获得猜想,

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再用传统方法予以证明,旨在让学生充分经历知识发生、发展的过程,学生的活动操作性强,思维含量高.因此,我认为是可行的,有效的.至于课堂安排内容末完成的问题,我认为一节课上,经历了案例中这一系列的活动、归纳、猜想及证明,构建成勾股定理,只要每一步、每一环都是实实在在且有效,内容已够丰富.定理的应用完全可在下一节课进行,本节课就作为数学活动课又何妨?

3、本方案运用得好就像上所说的,处理得不好很容易流于形式,比如:有的教师课堂上也让学生画一画,但回避画法及依据,也让学生探究,但由于图形不准确(关键是所画正方形的顶点不都在格点上),求面积时,割补法用不上,只能去量边长(近似值),也让学生猜想(是教师的反复暗示下的学生曲意迎合与信口开河),这种低级(小学生都会)的、无实效(缺乏数学理性思维)的"探究活动"就是形式、走过场,是骗人(外行)的.所以我认为数学课不应太关注课堂数学活动的形式及气氛,而要注重活动的数学内涵,关注活动的实效性

勾股定理教学设计2

文章来源 www. 3edu.n et 教学

目标 1. 经历探索、验证勾股定理内容的过程,了解勾股定理的证明,掌握勾股定理的内容,初步会用它进行有关计算。

2. ?通过勾股定理的应用,培养学生的逻辑思维能力。

3.介绍勾股定理的发现,引导学生积极探索,注意观察生活,体验生活中的数学。重点难点勾股定理的应用是重点,

勾股定理的证明是难点.

教具学具 1.多媒体教学

2.方格纸

预习要求 1.了解直角三角形的构成要素。

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2.利用课余时间查阅相关勾股定理证明资料。

3.理解割补法计算图形的面积。板书设计板书设计

教师活动内容、方式学生活动内容、方式

情景导入:

1.我国的航天技术堪称世界一流,杨利伟乘坐航天飞机遨游太空,增强了中国人的民族自豪感,在探索宇宙奥秘的进程中,中华民族对世界有重大的贡献,我国数学家华罗庚就曾经建议:向太空发射的探测器中带一个边长为3:4:5的三角形模型,以便于与外星人联系。

2.看历史我们的骄傲:

〈九章算术〉记载的我国研究勾股定理的内容。

3.追索历史

据《周髀算经》记载,西周开国时期(约公园前1千多年)有个叫商高的人对周公说,把一根直尺折成直角,两端连接得一直角三角形,如果勾是3,股是4,弦一定是5.人们还发现,在直角三角形中,勾是5,股是12,弦一定是13等等.而 ,即勾2+股2=弦2,是否所有直角三角形都有这性质?

4. 探索无止境(课本)

勾股定理是几何中几个最重要定理之一,在生产生活实际中用途很大,而且在其他自然科学中也被广泛地应用。而我国古代的学者们能在2000多年前独立发现它,是非常了不起的,还使用了许多巧妙方法证明了它,尤其在勾股定理的应用方面,对其他国家数学的影响很大,这些都是我国人民对人类的重大贡献.现在科学如此发达,我们的学习条件又如此的好,我们更应努力学习,继续去完成前人未完成的事业,而对人类作出贡献.数学实验室

1.拼一拼(如图)得出勾股定理的公式

2. 做一做(课本割补法计算面积)验证勾股定理公式

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3. 展示勾股定理公式推导几种方法(拓宽学生的知识面)

应用举例

例1 在Rt△ABC中,∠C=90°

? (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;

? (3)已知c=25,b=15,求a.

中国古题

? 例2、今有池,方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深几何? 典型例题分析

? 例3 已知:如图5,等边△ABC的边长为6cm.

? 求:(1)高AD的长;(2)△ABC的面积.