2010年全国各地高考理科数学试题及答案(word版)

绝密★启用前 解密时间：2010年6月7日17：00 【考试时间：6月7日15：00—17：

00】

2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（理工农医类）

数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）在等比数列{an}中，a2010 10a2007，则公比q的值为（ ）

A、2

B、3

C、4

D、8

（2）已知向量a,b满足a b 0,|a| 1,|b| 2，则|2a b| （ ） A、0 （3）lim

B、22

C、4

D、8

1 4

（ ）

x 2x2 4x 2

B、

A、 1

1

4

C、

1 4

D、1

y 0,

（4）设变量x,y满足约束条件 x y 1 0,则z 2x y的最大值为（ ）

x y 3 0,

A、 2

B、4

C、6

D、8

4x 1

（5）函数f(x) 的图象（ ） x

2

A、关于原点对称

B、关于直线y x对称

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C、关于x轴对称

D、关于y轴对称

（6）已知函数y sin( x )( 0,| | 的部分图象如题（6）图所示，则（ ）

A、 1, C、 2,

2

6

B、 1, D、 2,

6

6

6

（7）已知x 0,y 0,x 2y 2xy 8，则x 2y的最小值是（ ）

A、3

B、4

C、

9 2

D、

11 2

3 x 3 3cos ,

( [0,2 ))交于A、B两 （8）直线y x 2与圆心为D的圆

3 y 1 3sin ,

点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（ ）

A、

7 6

B、

5 4

C、

4 3

D、

53

（9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）

A、504种

B、960种

C、1008种

D、1108种

（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）

A、直线

B、椭圆

C、抛物线

D、双曲线

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知复数z 1 i,则

2

z ____________. z

2

（12）设U {0,1,2,3},A {x U|x mx 0}，若CUA {1,2}，则实数

m _________.

（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为

16

，则该队员每次罚球的命中率为_____________. 25

2

（14）已知以F为焦点的抛物线y 4x上的两点A、B满足AF 3FB，则弦AB的中

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点到准线的距离为___________. （15）已知函数f(x)满足：f(x)

1

,4f(x)f(y) f(x y) f(x y)(x,y R)，则4

f(2010) __________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.）

设函数f(x) cos(x

2x

) 2cos2,x R. 32

（Ⅰ）求f(x)的值域；

（Ⅱ）记 ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若

f(B) 1,b 1,c ，求a的值.

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）

在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在

一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2， ，6），求：

（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数 的分布列与期望.

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（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）

（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

如题（19）图，四棱锥P ABCD为矩形，PA 底面ABCD，PA AB 已知函数f(x)

x 1

ln(x 1)，其中实数a 1. x a

（Ⅰ）若a 2，求曲线y f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）若f(x)在x 1处取得极值，试讨论f(x)的单调性.

6，点

E是棱PB的中点.

（Ⅰ）求直线AD与平面PBC的距离；

（Ⅱ）若AD 3，求二面角A EC D

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（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

已知以原点O为中心，F(,0)为右焦点的双曲线C的离心率e （Ⅰ）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（Ⅱ）如题（20）图，已知过点M(x1,y1)的直线l1:x1x 4y1y 4与过点N(x2,y2)

5

. 2

（其中x2 x1）的直线l2:x2x 4y2y 4线分别交于G、H两点，求 OGH的面积.

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（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

在数列{an}中，a1 1,an 1 can cn 1(2n 1)(n N )，其中实数c 0. （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）若对一切k N有a2k a2k 1，求c的取值范围.

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数学试题（理工农医类）答案

一．选择题：每小题5分，满分 50分. （1）A （7）B

（2）B （8）C

（3）C （9）C

（4）C （10）D

（5）D

（6）D

二．填空题：每小题5分，满分25分. （11） 2i

（12） 3

（13）

3 5

（14）

8 3

（15）

1 2

三．解答题：满分75分. （16）（本题13分）

解：（Ⅰ）f(x) cosxcos

22

sinxsin cosx 1 33

1cosx sinx cosx 1 22

13cosx sinx 1 22

5

) 1， 6

sin(x

因此f(x)的值域为[0,2].

（Ⅱ）由f(B) 1得sin(B

故B

55

) 1 1，即sin(B ) 0，又因0 B ， 66

6

.

2222

解法一：由余弦定理b a c 2accosB，得a 3a 2 0，解得a 1或

2.

解法二：由正弦定理

当C

bc3 2

,C 或，得sinC . sinBsinC323

322 当C 时，A ，又B ，从而a b 1.

366

故a的值为1或2.

时，A

，从而a b2 c2 2；

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（17）（本题13分）

解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.

（Ⅰ）设A表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则A表示“甲、乙的序号为偶

数”，由等可能性事件的概率计算公式得

C3214

P(A) 1 P(A) 1 2 1 .

55C6

（Ⅱ） 的所有可能值为0，1，2，3，4，且

P( 0)

514431

， ,P( 1) ,P( 2) 622

C23C615C652211

. ,P( 4) 22

1515C6C6

P( 3)

从而知 有分布列

所以，

141214

E 0 1 2 3 4 .

315515153

（18）（本题13分）

解：（Ⅰ）f(x)

/

x a (x 1)1a 11

. 22

x 1(x a)x 1(x a)

12 117

f(0) ，而，因此曲线

2(0 2)20 14

/

当a 1时，f(0)

17

y f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y ( ) (x 0)即7x 4y 2 0.

24

/

（Ⅱ）a 1，由（Ⅰ）知f(x)

a 1111

， 2

1 1a 12(1 a)

11

0，解得a 3. a 12

x 1

ln(x 1)，其定义域为( 1,3) (3, )，且 此时f(x)

x 3

即

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f/(x)

21(x 1)(x 7)/

，由 f(x) 0得x1 1,x2 7.当 22

x 1(x 3)(x 1)(x 3)

1 x 1或x 7时，f/(x) 0；当1 x 7且x 3时，f/(x) 0.

由以上讨论知，f(x)在区间( 1,1],[7, )函数.

（19）（本题12分）

解法一：

（Ⅰ）如答（19）图1 ，在矩形ABCD中，AD//平面故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC因PA 底面ABCD，故，由PA AB知 PAB形，又点E是棱PB 中点，故AE PB.又在矩形中，BC AB，而AB是PB在底面ABCD三垂线定理得BC PB，从而BC 平面PAB，故

BC AE.从而AE 平面PBC，故AE之长即为直线AD

与平面PBC的距离.

（Ⅱ）过点D作DF CE，交CE于F，过点F作FG CE，交AC于G，则 DFG

为所求的二面角的平面角.

由（Ⅰ）知BC 平面PAB，又AD//BC，得AD 平面PAB，故AD AE，从而

DE AE2 AD2 6.

在Rt CBE中，CE

所以 CDE为等边三角形，BE2 BC2 6.由CD 6，

故F为CE的中点，且DF CD sin

3

32

. 2

1AE，从而FG ，22

因为AE 平面PBC，故AE CE，又FG CE，知FG//且G点为AC的中点.

连接DG，则在Rt ADC中，DG

113

AC AD2 CD2 . 222

DF2 FG2 DG2 所以cosDFG .

2 DF FG3

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解法二：

（Ⅰ）如答（19）图2，以A为坐标原点，射线AB、AD轴正半轴，建立空间直角坐标系A xyz.

设D(0,a,0)，则B(6,0,0),C(,a,0)，

P(0,0,),E(

66

,0,). 22

因此AE (

,0,BC (0,a,0),PC (6,0, )22

则 0, 0，所以AE 平面PBC. 又由AD//BC知AD//平面PBC，故直线AD与平面 PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为|| . （Ⅱ）因为||

，则D(0,,0),C(6,3,0).

设平面AEC的法向量n1 (x1,y1,z1)，则n1 AC 0,n1 AE 0.

6x1 y1 0,

6

又 (6,3,0), ( ,0,，故 22x1 z1 0,

2 2

所以y1 2x1,z1 x1. 可取z1 2，则 ( 2,2,2). 设平面DEC的法向量n2 (x2,y2,z2)，则n2 0,n2 0. 又 (6,0,0), (所以x2 0,z2 故cos n1,n2

66

, ,，故 22

2y2. 可取y2 1，则n2 (0,1,2).

12 . 3

所以二面角A EC D的平面角的余弦值为（20）（本题12分）

6

. 3

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x2y2

解：（Ⅰ）设C的标准方程为 1(a 0,b 0)，则由题意

c ,e

c，

a2

因此a 2,b

c2 a2 1，

x

y2 1. 4

12

2

C的标准方程为

C的渐近线方程为y x，即

x 2y 0和x 2y 0.

（Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点

E(xE,yE)在直线l1:x1x 4y1y 4和

l2:x2x 4y2y 4上，因此有x1xE 4y1yE 4，x2xE 4y2yE 4，

故点M、N均在直线xEx 4yEy 4上，因此直线MN的方程为xEx 4yEy 4. 设G、H分别是直线MN与渐近线x 2y 0及x 2y 0的交点，

xEx 4yEy 4, xEx 4yEy 4,

由方程组 及

x 2y 0x 2y 0,

解得yG

22

. ,yH

xE 2yExE 2yE

4

（易知xE

设MN与x轴的交点为Q，则在直线xEx 4yEy 4中，令y 0得xQ

2

2

xE 0). 注意到xE 4yE 4，得

2|xE|14114

S OGH |OQ| |yG yH| | | 2

2|xE|xE 2yExE 2yE|xE||xE2 4yE2|

.

解法二：设E(xE,yE)，由方程组

x1x 4y1y 4,4(y2 y1)x1 x2

解得， x ,y EE

x1y2 x2y1x1y2 x2y1 x2x 4y2y 4,

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因x2 x1，则直线MN的斜率k

y2 y1x

E.

x2 x14yE

故直线MN的方程为y y1

xE

(x x1)， 4yE

注意到x1xE 4y1yE 4，因此直线MN的方程为xEx 4yEy 4. 下同解法一. （21）（本题12分）

（Ⅰ）解法一：由a1 1,a2 ca1 c2 3 3c2 c (22 1)c2 c，

a3 ca2 c3 5 8c3 c3 (32 1)c3 c2， a4 ca3 c4 7 15c4 c3 (42 1)c4 c3，

猜测an (n2 1)cn cn 1,n N . 下用数学归纳法证明. 当n 1时，等式成立；

假设当n k时，等式成立，即ak (k2 1)ck ck 1，则当n k 1时，

ak 1 cak ck` 1(2k 1) c[(k2 1)ck ck 1] ck 1(2k 1)

(k2 2k)ck 1 ck [(k 1)2 1]ck 1 ck，

综上， an (n2 1)cn cn 1对任何n N都成立. 解法二：由原式得

an 1an

n (2n 1). n 1

cc

令bn

an1b ,bn 1 bn (2n 1)，因此对n 2有 ，则1

ccn

bn (bn bn 1) (bn 1 bn 2) (b2 b1) b1

(2n 1) (2n 3) 3 n 1

2

1

c

1， c

因此an (n2 1)cn cn 1，n 2.

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又当n 1时上式成立.

因此an (n2 1)cn cn 1,n N . （Ⅱ）解法一：由a2k a2k 1，得

[(2k)2 1]c2k c2k 1 [(2k 1)2 1]c2k 1 c2k 2，

因c

2k 2

0，所以(4k2 1)c2 (4k2 4k 1)c 1 0.

解此不等式得：对一切k N，有c ck或c ck，其中

/

ck

(4k2 4k 1) (4k2 4k 1)2 4(4k2 1)

2(4k 1)

(4k2 4k 1) (4k2 4k 1)2 4(4k2 1)

2(4k2 1)

2

，

知

ck

/

.

易知limck 1，

k

又由

(4k2 4k 1)2 4(4k2 1) (4k2 1)2 4(4k2 1) 4 4k2 1，

(4k2 4k 1) 4k2 18k2 4kck 1， 22

2(4k 1)8k 2

因此由c ck对一切k N成立得c 1.

又ck

/

2

(4k2 4k 1) (4k2 4k 1)2 4(4k2 1)

0，易知ck单调递增，

/

故

/

///

ck c1对一切k N 成立，因此由c ck对一切k N 成立得

c c1

1 . 6

1 ) [1, ). 6

从而c的取值范围为( ,

解法二：由a2k a2k 1，得

[(2k)2 1]c2k c2k 1 [(2k 1)2 1]c2k 1 c2k 2，

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因c

2k 2

0，所以4(c2 c)k2 4ck c2 c 1 0对k N 恒成立.

记f(x) 4(c2 c)x2 4cx c2 c 1，下分三种情况讨论.

2

（ⅰ）当c c 0即c 0或c 1时，代入验证可知只有c 1满足要求.

2

（ⅱ）当c c 0时，抛物线y f(x)开口向下，因此当正整数k充分大时，

f(x) 0

不符合题意，此时无解.

2

（ⅲ）当c c 0即c 0或c 1时，抛物线y f(x)开口向上，其对称轴

x

1

必在直线x 1的左边. 因此，f(x)在[1, )上是增函数.

2(1 c)

所以要使f(k) 0对k N恒成立，只需f(1) 0即可. 由f(1) 3c2 c 1 0解得c

1 1 或c . 66

结合c 0或c 1得c

1 或c 1. 6

1 ) [1, ). 6

综合以上三种情况，c的取值范围为( ,