2009年河北省中考数学试题清晰呈现答案完整

图3

2009年河北省初中毕业生升学文化课考试

数 学 试 卷

本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．

卷Ⅰ（选择题，共24分）

注意事项：1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上；考试

结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答在试卷上无效．

一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的） 1．3

(1)-等于（ ）

A ．－1

B ．1

C ．－3

D ．3

2．在实数范围内，x 有意义，则x 的取值范围是（ ）

A ．x ≥0

B ．x ≤0

C ．x ＞0

D ．x ＜0

3．如图1，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对 角线AC 等于（ ） A ．20 B ．15

C ．10

D ．5

4．下列运算中，正确的是（ ）

A ．34=-m m

B ．()m n m n --=+

C ．236m m =（）

D ．m m m =÷22

5．如图2，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、

B 、O 是小正方形顶点，⊙O 的半径为1，P 是⊙O 上的点， 且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于（ ） A ．30° B ．45°

C ．60°

D ．90°

6．反比例函数1

y x =（x ＞0）的图象如图3所示，随着x 值的

增大，y 值（ ） A ．增大 B ．减小

C ．不变

D ．先减小后增大

7．下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A ．某个数的绝对值小于0 B ．某个数的相反数等于它本身 C ．某两个数的和小于0

D ．某两个负数的积大于0

8．图4是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其

中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点

B

A

C D

图1

A 图2

图4

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4=1+3 9=3+6

16=6+10

图7

…

C 上升的高度h 是（ ）

A

m

B ．4 m C

． m

D ．8 m

9．某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s ）之间满足二次函数2

120

y x （x ＞0），若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为（ ） A ．40 m/s B ．20 m/s C ．10 m/s

D ．5 m/s

10．从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方

体，得到一个如图5所示的零件，则这个零件的表面积是（ ） A ．20 B ．22 C ．24

D ．26

11．如图6所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图

象应为（ ）

12．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、

9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1

的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ） A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21

D ．49 = 18+31

A

D

C

B

图6

图5

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数 学 试 卷

卷Ⅱ（非选择题，共96分）

注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚．

2．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案

写在题中横线上）

13．比较大小：－6 －8．（填“＜”、“=”或“＞”）

14．据中国科学院统计，到今年5月，我国已经成为世界第四风力发电大国，年发电量约 为12 000 000千瓦．12 000 000用科学记数法表示为 ． 15．在一周内，小明坚持自测体温，每天3次．测量结果统计如下表：

则这些体温的中位数是 ℃．

16．若m 、n 互为倒数，则2(1)mn n --的值为 ． 17．如图8，等边△ABC 的边长为1 cm ，D 、E 分别是AB 、

AC 上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A ' 处，且点A '在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长 为 cm ．

18．如图9，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中

加入水后，一根露出水面的长度是它的1

3

，另一根露

出水面的长度是它的1

5

．两根铁棒长度之和为55 cm ，

此时木桶中水的深度是 cm ． 三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分8分）

图

9

图8

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电视机月销量扇形统计图

第一个月 15%

第二个月 30% 第三个月 25%

第四个月

图11-1

已知a = 2，1-=b ，求2221a b a ab --+÷1

a

的值．

20．（本小题满分8分）

图10是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ， OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 12

13

．

（1）求半径OD ；

（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，

则经过多长时间才能将水排干？

21．（本小题满分9分）

某商店在四个月的试销期内，只销售A 、B 两个品牌的电视机，共售出400台．试销结束后，只能经销其中的一个品牌，为作出决定，经销人员正在绘制两幅统计图，如图

11-1和图11-2．

（1）第四个月销量占总销量的百分比是 ； （2）在图11-2中补全表示B 品牌电视机月销量的

折线；

（3）为跟踪调查电视机的使用情况，从该商店第

四个月售出的电视机中，随机抽取一台，求 抽到B 品牌电视机的概率；

（4）经计算，两个品牌电视机月销量的平均水平相

同，请你结合折线的走势进行简要分析，判断 该商店应经销哪个品牌的电视机．

O

图10

月 图11-2

第一 第二 第三 第四 电视机月销量折线统计图

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（3）直．接．

写出使该抛物线开口向下的t 的一个值．

23．（本小题满分10分）

如图13-1至图13-5，⊙O 均作无滑动滚动，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4均表示⊙O 与线

段AB 或BC 相切于端点时刻的位置，⊙O 的周长为c ．

阅读理解：

（1）如图13-1，⊙O 从⊙O 1的位置出发，沿AB 滚动到

⊙O 2的位置，当AB = c 时，⊙O 恰好自转1周． （2）如图13-2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在

∠ABC 外部沿A -B -C 滚动，在点B 处，必须由 ⊙O 1的位置旋转到⊙O 2的位置，⊙O 绕点B 旋

转的角∠O 1BO 2 = n °，⊙O 在点B 处自转360n

周．

实践应用：

（1）在阅读理解的（1）中，若AB = 2c ，则⊙O 自

转 周；若AB = l ，则⊙O 自转 周．在 阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O 在点B 处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O 在点B 处自转 周． （2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=

1

2

c ．⊙O 从 ⊙O 1的位置出发，在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动 到⊙O 4的位置，⊙O 自转 周．

图12

图13-1

A 图13-2

图13-3

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拓展联想：

（1）如图13-4，△ABC 的周长为l ，⊙O 从与AB 相切于点D

的位置出发，在△ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由．

（2）如图13-5，多边形的周长为l ，⊙O 从与某边相切于

点D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多 边形滚动，又回到与该边相切于点D 的位置，直接．．写 出⊙O 自转的周数．

24．（本小题满分10分）

在图14-1至图14-3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF

和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．

（1）如图14-1，点E 在AC 的延长线上，点N 与

点G 重合时，点M 与点C 重合， 求证：FM = MH ，FM ⊥MH ；

（2）将图14-1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐

角，得到图14-2，

求证：△FMH 是等腰直角三角形； （3）将图14-2中的CE 缩短到图14-3的情况，

△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必 说明理由）

图13-4

图14-1

A

H

C (M )

D E

B F

G (N )

G

图14-2

A

H

C D

B

F

N

M

A

H

C

D

图14-3

B

F

G M

N 图13-5

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图15

单位：cm

25．（本小题满分12分）

某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm×30 cm ，B 型板材规格是40 cm×30 cm ．现只能购得规格是150 cm×30 cm 的标准板材．一张标准板材

尽可能多地裁出A 型、B 型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意图）

设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x 张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z 张，且所裁出的A 、B 两种型号的板材刚好够用． （1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y 与x 和z 与x 的函数关系式；

（3）若用Q 表示所购标准板材的张数，求Q 与x 的函数关系式，

并指出当x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？

26．（本小题满分12分）

如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与

t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）

（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成

为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．

图16

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数学试题参考答案

一、选择题

二、填空题

13．＞； 14．1.2 × 107； 15．36.4； 16．1；

17．3； 18．20．

三、解答题 19．解：原式=()()

1()

a b a b a a a b +-+

⋅-

=1a b ++． 当a = 2，1-=b 时， 原式 = 2．

【注：本题若直接代入求值，结果正确也相应给分】 20．解：（1）∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24，

∴ED =1

2

CD =12．

在Rt △DOE 中，

∵sin ∠DOE =

ED OD =12

13

， ∴OD =13（m ）．

（2）OE 5．

∴将水排干需：

5÷0.5=10（小时）．

21．解：（1）30%； （2）如图1； （3）802

1203

=；

（4）由于月销量的平均水平相同，从折线的走势看，A 品牌的月销量呈下降趋势，而B 品

/月

图1

第一 第二 第三 第四 电视机月销量折线统计图

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牌的月销量呈上升趋势．

所以该商店应经销B 品牌电视机．

22．解：（1）－3．

t =－6．

（2）分别将（－4，0）和（－3，－3）代入2y ax bx =+，得

0164,393.a b a b =-⎧⎨-=-⎩

解得 1,4.a b =⎧⎨=⎩

向上．

（3）－1（答案不唯一）．

【注：写出t ＞－3且t ≠0或其中任意一个数均给分】

23．解：实践应用

（1）2；l c ．16；13． （2）54

． 拓展联想

（1）∵△ABC 的周长为l ，∴⊙O 在三边上自转了l c

周． 又∵三角形的外角和是360°，

∴在三个顶点处，⊙O 自转了3601360=（周）．

∴⊙O 共自转了（l c

+1）周． （2）l c

+1． 24．（1）证明：∵四边形BCGF 和CDHN 都是正方形，

又∵点N 与点G 重合，点M 与点C 重合，

∴FB = BM = MG = MD = DH ，∠FBM =∠MDH = 90°． ∴△FBM ≌ △MDH ．

∴FM = MH ．

∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°．∴FM ⊥HM ．

（2）证明：连接MB 、MD ，如图2，设FM 与AC 交于点P ． ∵B 、D 、M 分别是AC 、CE 、AE 的中点，

∴MD ∥BC ，且MD = BC = BF ；MB ∥CD ，

且MB =CD =DH ． 图2 A H C D

B F G N M P

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∴四边形BCDM 是平行四边形． ∴ ∠CBM =∠CDM ．

又∵∠FBP =∠HDC ，∴∠FBM =∠MDH ． ∴△FBM ≌ △MDH ． ∴FM = MH ， 且∠MFB =∠HMD ．

∴∠FMH =∠FMD －∠HMD =∠APM －∠MFB =∠FBP = 90°． ∴△FMH 是等腰直角三角形． （3）是．

25．解：（1）0 ，3． （2）由题意，得

2240x y +=， ∴1

1202

y x =-

． 23180x z +=，∴2

603

z x =-

． （3）由题意，得 12

1206023

Q x y z x x x =++=+-+-．

整理，得 1

1806Q x =-．

由题意，得112022603x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩

解得 x ≤90．

【注：事实上，0≤x ≤90 且x 是6的整数倍】

由一次函数的性质可知，当x =90时，Q 最小． 此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．

26．解：（1）1，8

5

；

（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC

，4BC =， 得

45QF t =．∴4

5

QF t =． ∴14(3)2

5

S t t =-⋅， 即22

65

5

S t t =-+．

（3）能．

①当DE ∥QB 时，如图4．

∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°．

图4

P

图3

F

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由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP

AC AB

=

， 即33

5t t -=． 解得9

8

t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．

此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得

AQ AP

AB AC

=

， 即353t t -=． 解得158

t =．

（4）52t =

或45

14

t =． 【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．

方法一、连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6． PC t =，222QC QG CG =+2234

[(5)][4(5)]55

t t =-+--．

由2

2

PC QC =，得2

2234

[(5)][4(5)]55

t t t =-+--，解得52t =．

方法二、由CQ CP AQ ==，得QAC QCA ∠=∠，进而可得

B BCQ ∠=∠，得CQ BQ =，∴52AQ BQ ==

．∴5

2

t =． ②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7． 22234

(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514

t =】

图5