★2013年5月20日★

命题人：李慧荣 审题人：邵庆成（总分：150分 时间：120分钟）

第I卷(选择题 共60分)

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1

．复数（其中i为虚数单位）的虚部等于 ( )

2

A． i B． 1 C．1 D．0

2．若全集为实数集R，集合A x|log1 2x 1 0 ，则CRA （ ）

2

A．(, ) B．(1, ) C．[0,] [1, )

2

2

11

D( ,] [1, )

2

1

3

．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h ( )

A

B

．

．

4．阅读下面程序框图，则输出结果s的值为 ( ) A．

12

B．

32

C． 3 D．3

2

5．已知某次月考的数学考试成绩 ～N 90, (

0),统计结果显

示p 70 110 0.6，则P 70 ( )

A． 0.2 B．0.3 C．0.1 D．0.5

1

6．设f(x)是 x2 展开式的中间项，若f(x) mx在区间

2x

2

, 2

2 上 恒成立，则实数m

6

的取值范围是 ( )

（第4题）

（2） ,5 B． ,5 C． 5, D． 5, 7．函数y 2cos x 0 且

上单调递增，且函数值从 2

增大,在区间 ,

36

2

到2，那么函数图像与y轴交点的纵坐标为 （ ）

2

A. 1 B. 2 C. 3

0恒成立，则

8．设f x 是定义在R上的奇函数，且f 2 0,当x 0时，有

xf (x) f(x)

x

不等式x2f(x) 0的解集是 （ ） A． 2,0 2, C． , 2 2,

B． 2,0 0,2

D． , 2 0,2

x y1

9. 已知向量a (x1,y1),b (x2,y2)，若|a| 2,|b| 3,a b 6,则1的值为（ ）

x2 y2

A．

23

B．

56

C．

23

D．

56

10. 点A、B、C、

D在同一个球的球面，AB BC

大值为A.

23

,AC 2,若四面体ABCD体积的最

，则这个球的表面积为 （ ）

B. 8

a11a10

125 6

C.

25 4

D.

25 16

11．已知数列{an}为等差数列，若 1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使

Sn 0的n的最大值为 （ ）

A. 19 B. 11 C. 20 D. 21

12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P， PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF1 10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2 1的取值范围是 （ ） A．（1， ） B．（

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

（1） 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案答在指定的位置上）

x 2y 2 0

13．已知a 2cosxdx，若x、y满足不等式组 y ax 1 0, 则z 2x y的取值范

6 x 2

43

， ） C．（

65

， ） D．（

109

，+ ）

围是 ．

14．将甲、乙、丙3名志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参

15

1 0仅有一解，则实数a的取值范围上 ．

16．如右图，它满足：

（1）第n行首尾两数均为n；

（2）表中的递推关系类似杨辉三角，

则第n行 n 2 第2个数是

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.）

1

2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6

x)满足f f 0 . (1)2 3

17.（12分）设 R,f(x) cosx( sinx cosx) cos2(

求函数f(x)的单调递增区间；

（2）设 ABC三内角A,B,C所对边分别为a,b,c且

a c ba b c

2

2

2

2

22

c2a c

，求f(x)在

0,B 上的值域．

18．（12分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间T（单位：年）有关，若T 1，则销售利润为0元；若1 T 3，则销售利润为100元，若T 3,则销售利润为200元.设每

1 T 3，T 3这三种情况发生的概率分别为P,P,P台该种电器的无故障使用时间T 1，，123

2

,P2为方程25x 15x a 0的两根,且P P又知P. 123

(1)求P的值； ,P,P123

（2）记 表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求 的分布列及数学期望.

19. (12分）如图所示的几何体中，四边形PDCE为矩形,ABCD 为直角梯形，且 BAD = ADC= 90°，平面PDCE 平面

(1)若M为PA的中点，求证:AC 平面MDE； (2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．

20．（12分）如图，已知直线l与抛物线x 4y相切于点P 2,1 ，且与

x

轴交于点A，O为坐

2

标原点，定点B的坐标为 2,0 .

（1） 若动点M

满足AB BM

0，求点M的轨迹C；

（2）若过点B的直线l'（斜率不等于零）与（1）中的轨迹C交于 不同的两点E、F（E在，试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围. B、F之间）

21.（12分）已知函数f(x) axsinx cosx，且f(x)在x

（1）求a的值，并讨论f(x)在[ , ]上的单调性； （2）设函数g(x) 1n(mx 1)

1 x1 x

,x 0，其中m 0，若对任意的xi 0, 总存在

4

．

，使得g(xi) f(xj)成立，求m的取值范围． xj 0,

2

22．(10分)如图，四边形ACED是圆内接四边形，延长AD与的延长线CE交于点B，且AD DE， AB 2AC.

(1)求证:BE 2AD；

(2)当AC 2,BC 4时，求AD的长.

24．（10分）函数f(x) |x 1| |x 2|

（1）画出函数y f(x)的图象；

（2）若不等式|a b| |a b| |a|f(x)(a 0,a,b R) 恒成立，求实数x的范围.

2013-05-14理科数学三考答案：

1—6 B D B D A D 7—12 A D C C A B

2

9．C 解析：∵|a| 2,|b| 3,a b 6,∴向量a与b平行，且a b,

3

10. C

∵AB BC AC 2，∴

x1 y1x2 y2

x1x2

y1y2

23

ABC是直角三角形，

∴ ABC的外接圆的圆心是边AC的中点O1，如图所示，若使四面体ABCD体积的最大值只需使点D到平面ABC的距离最大，又OO1 平面ABC，所以点D是直线OO1与球的交点设球的半径为R，则由体积公式有：O1D 2在Rt AOO1中，R 1 (2 R)， 解得：R

54

2

2

S球O的表面积

25 4

，故选C

2

13、[ 6, 1] 14、20 15、 16、

n n

2

2

(2)

a c ba b c

2

2

2

2

22

c

2accosB

2a c,由余弦定理可变形为2abcosC

c

2a c，由正弦定理为

cosB

12 B

3

x (0,

3

]

6

2x

6

2

f(x) ( 1,2]

………12分

P1 P2 P3 1 18. 解： 3 P P 12

(Ⅰ)由已知得 : 5 P2 P3

解得:=,=,=.

（Ⅱ） 的可能取值为0，100，200，300，400.

15

15

P( =0)=

=

25

125

P( =100)= 2

15

25

=

25

425

P( =200)= 2 P( =400)=

25

15

+

4

25

25

=

825

P( =300)= 2

25

=

825

25

=

25

425

随机变量 的分布列为

所求的数学期望为E =0

125

+100

425

+200

825

+300

825

+400 =240(元)

19．（Ⅰ）证明：连结PC,交DE与N,连结MN，

PAC中，M,N分别为两腰PA,PC的中点 , ∴MN//AC.………2分

因为MN 面MDE,又AC 面MDE，所以AC//平面MDE. …………4分

DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 P(0,0,

2),B(1,1,0),C(0,2,0)

（Ⅱ）解：设平面PAD与PBC所成锐二面角的大小为 ，以D为空间坐标系的原点，分别以

，PB (1,1, 2),BC ( 1,1,0).

设平面PAD的单位法向量为n1则可设n1 (0,1,0) ……………………………7分

.

设面PBC的法向量n2 (x,y,1)，应有 n2 PB (x,y,1) (1,1, 2) 0,

n2 BC (x,y,1) ( 1,1,0) 0.

即：

x y

2 0,

x y 0.

x 解得： ，所以n2 .……………………………10分

y

2

cos 22 12

， 60 ..……………………………12分

（II）如图，由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=k(x－2)(k≠0)① 将①代入

x

2

2

y

2

1，整理，得

(2k 1)x 8k x (8k 2) 0，

2222

由△>0得0<k<则

2

12

. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)

② 令

8k2

x , x12

2k2 1

8k2 2

xx . 122

2k 1

S OBES OBF

,则

|BE||BF|

，由此可得

x1 2x2 2

,且0 1.

BE BF,

由②知(x 2) (x 2)

12

4

, 2

2k 1

22k 1

2

（x1 2) (x2 2) x1x2 2(x1 x2) 4

.

2k2 14 12

,即

k

82(1 )2(1 )2

14 11, 0 ,2222(1 )

解得3 3

0 k2

又 0 1, 3 1

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3－22， 1）

(Ⅱ)当x [0,

2

]时，f(x)单调递增，

∴f(x)min f(0) 1 则依题g(x) 1在x 0, 上恒成立

2

)mg (x) ,(x 0,m 0) 2

(mx 1)(x 1)

m(x

m 2

①当m 2时，

m 2m

0，∴g (x) 0在 0, 上恒成立，即g(x)在 0, 上单调递增，

又g(0) 1，所以g(x) 1在x 0, 上恒成立，即m 2时成立

②当0 m

2时，当x 时，g (x) 0，此时g(x)单调递减，

∴g(x) g(0) 1，故0 m 2时不成立，综上m 2

22解：(Ⅰ) 因为四边形ACED为圆的内接四边形,所以 BDE BCA,………（1分） 又 DBE CBA,所以△BDE∽△BCA，则

BEBA

DECA

.…………………………（3分）

而AB 2AC，所以BE 2DE.…………………………………………………………（4分） 又AD DE，从而BE 2AD.…………………………………………………………（5分） (Ⅱ)由条件得 AB 2AC 4.…………………………………………………………（6分） 设AD t，根据割线定理得 BD BA BE BC，即(AB AD) BA 2AD 4, 所以(4 t) 4 2t 4，解得 t

43

,即AD

43

.…………………………………（10分）

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