图形的相似

一、线段的比

1、比例线段的概念：在四条线α、b、c、d中，如果其中两条线段的比例等于另外两条线段的比，即

ac

(或a:b c:d)，那么这四条线段α、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 bd

ab

2、线段的比例中项：在比例式 （或a:b b:c）中，b叫做α和c的

bc

3、比例的性质

ac

ad bc(bd 0):内项之积等于外项之积。 bdaca bc d

②合比性质： 。

bdbd

①基本性质：③等比性质：4. 黄金分割

如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果

acma c ma (b d n 0)。 bdnb d nb

ACBC

,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线

ABAC

段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. AC:AB 课堂练习

1、已知正数a、b、c，且 的坐标是（ ） A. (1，

1

0.618:1 2

_ A

_ 图1

_ C

_ B

abc

k ，则下列四个点中在正比例函数y=kx图象上的点b cc aa b

11

) B. (1，2) C. (1，- ) D.(1，-1) 22

2、① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，则它的实际长度约为______Km。

a2a b= 则 =__________ b3ba 2b9③ 若 = 则 a：b=__________

2a b5abc

④ 已知: == 且3a+2b-c=14 ,则 a+b+c 的值为_____

235

② 若 3、已知

2a c 7eace52a c

则 =_________， =___________。

2b d 7fbdf72b d

x y z

=________。

x y z

4、已知x：y：z=3：4：5，则

二、相似三角形的判定与性质 1、相似三角形的定义

三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 2、相似三角形的判定方法

1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________．

2. 两个角对应相等的两个三角形__________．

3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 4. 三边对应成比例的两个三角形___________．

1、对应角相等 1、两角对应相等 2、对应边成比例 2、两边对应成比例，且夹角相等

性质： 判定：

3、对应周长比等于相似比 3、三边对应成比例 4、对应面积比等于相似比的平方 4、直角三角形 两边对应成比例

（1）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且

大小也 相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。全等三角形是相似三角形的特例。 （2）相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。

②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。 ③三边对应成比例，两三角形相似。

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似

（3）相似三角形的性质：①相似三角形的对就角相等。

②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。 ③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

课堂练习

1、在△ABC中，若∠A＝∠C＝

1

∠B，则∠A＝ ，∠B＝ ，这个三角形3

是 .

2、已知三角形的三边长分别为3、8、x，若x的值为偶数，则x的值有（ ）

A. 6个 B. 5个 C. 4 个 D. 3个

3、已知一个三角形三个内角度数的比是1:5:6，则其最大内角度数为（ ）

A.60° B.75° C.90° D.120°

4、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）

5、如右图所示，D是△ABC的边AC上的点，过D作直线DE，与AB交于点E，若△ADE 与△ABC相似，则这样的直线DE最多可作_______条．

6、小明家的园子里有一三角形的花圃，将它的大小按1：100画在纸上，如图18-4。现量得所画图 形中BC边长为3.5cm，高AD为2cm，求花圃的面积。

B D

7、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE=DF，∠EDF=∠A．

（1）求证：

DEAB

．(2)证明： BDE与 EFC相似。

EFBC

AE

F

8、如图，已知△ABC中CE⊥AB于E,BF⊥AC于F,求证：△AFE∽△ABC

B

C

9、已知，如图，CD是Rt ABC斜边上的中线，DE AB交BC于F，交AC的延长线于E， 说明：⑴ ADE∽ FDB； ⑵CD DE DF．

2

E

C

FD

B

A

1、如果

xyz

,且x y z 5,那么x y z 234

2、已知4x－5y=0，则(x+y)∶(x－y)的值为（ ）

A、1∶9 B、－9 C、9 D、－1∶9 3、已知

ac

那么下列各式中一定成立的是（ ） bdadcaca 2bc 2da 1c 1A、 B、 C、 D、

cbbbdbdbd

4、P为正△ABC的边CB延长线上一点，Q是BC延长线上的点，∠PAQ=1200，求证：BC2=PB·CQ

A

P

B

CQ

5、已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F，求证：CF GF EF。

2

B

6、如图ΔABC中,∠C=90°, BC = 8cm, AC = 6cm,点P从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点Q从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若P、Q分别同时从B、C出发,经过多少时间ΔCPQ与ΔCBA相似?

7、如图，△ABC中D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连结AE.求证：(1) ED=DA；(2)∠EBA＝∠EAB；(3) BE2=AD·AC

C

D

A