(新)高数第二章导数与微分知识点与习题

你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个目标就不会太远。 看人生峰高处，唯有磨难多正果。 1 高数第二章导数与微分知识点总结

第一节 导数

1．基本概念

（1）定义

0000000000

()()()()

()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy

df x y f x dx dx x x x x ==∆→∆→→+∆--∆====∆∆-或

注：可导必连续，连续不一定可导.

注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.

（2）左、右导数

0'000000

()()()()

()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---∆→→+∆--==∆-.

0'000000

()()()()

()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++∆→→+∆--==∆-.

0'()f x 存在'

'

00()()f x f x -+⇔=.

（3）导数的几何应用

曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：000

1

()()'()y f x x x f x -=--.

2．基本公式

（1）'0C = （2）'1()a a x ax -=

（3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1

(log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠

（5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =-

（7）2(tan )'sec x x = （8）2(cot )'csc x x =-

你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个目标就不会太远。

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 2 （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =-

（11

）(arcsin )'x = （12

）(arccos )'x =

（13）21(arctan )'1x x =+ （14）2

1(arccot )'1x x =-+ （

15[ln(x +=

3．函数的求导法则

（1）四则运算的求导法则

()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2''()'u u v uv v v

-= （2）复合函数求导法则--链式法则

设(),()y f u u x ϕ==，则(())y f x ϕ=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ϕϕϕ=.

例5 求函数21

sin x y e =的导数.

（3）反函数的求导法则

设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则

11'()'()'(())

g y f x f g y ==. （4）隐函数求导

设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法'''x y

F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数

4．高阶导数

二阶以上的导数为高阶导数.

常用的高阶求导公式：

你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个目标就不会太远。

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 3 （1）()()ln (0)x n x n a a a a => 特别地，(n)()x x e e =

（2） ()(sin )

sin()2n n kx k kx n π=+ （3）()(cos )cos()2

n n kx k kx n π=+ （4）()1(1)(1)

n n n n x x --+=-+ （5）()()(1)(2)

(1)k n k n x k k k k n x -=---+

（6）莱布尼茨公式：()()()0

()n n k n k k n k uv C u v -==∑，其中(0)(0),u u v v ==

第二节 微分

1．定义

背景：函数的增量()()y f x x f x ∆=+∆-.

定义：如果函数的增量y ∆可表示为()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 是与x ∆无关的常数，则称函数()y f x =在点0x 可微，并且称A x ∆为x ∆的微分，记作dy ，则dy A x =∆.

注：,y dy x dx ∆≠∆=

2．可导与可微的关系

一元函数()f x 在点0x 可微，微分为dy A x =∆⇔函数()f x 在0x 可导，且0'()A f x =.

3．微分的几何意义

4．微分的计算

（1）基本微分公式'()dy f x dx =.

（2）微分运算法则

②四则运算法则

()d u v du dv ±=± duv vdu udv =+ 2

()u vdu udv d v v -=

你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个目标就不会太远。

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 4 ②一阶微分形式不变

若u 为自变量，(),'()'()y f u dy f u u f u du ==∆=；

若u 为中间变量，()y f u =，()u x ϕ=，'()'()'()dy f u x dx f u du ϕ==.

练习题

1、求下列函数的导数。

（1）223)1(-=x x y ； （2）x x

y sin =； （3）bx e y ax sin =；

（4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x

x x y )1(+=。

2、求下列隐函数的导数。

（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。

3、求参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数22dx y

d 。

4、求下列函数的高阶导数。

（1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。

5、求下列函数的微分。

（1）)0(,>=x x y x ； （2）21arcsin x x

y -=。

6、求双曲线12222=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。

7、用定义求)0(f '，其中⎪⎩⎪⎨⎧

=,0,1sin )(2x

x x f .0,

0=≠x x 并讨论导函数的连续性。

答案：

1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y

]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x

x x x x x 2)1(2)1(323222⋅-+-=

)37)(1(222--=x x x 。

（2）解：2sin cos )sin (x x

x x x x y -

='='。

（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='='

你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个 …… 此处隐藏：4777字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……