22.1 二次函数的图象和性质22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质

回顾反思y=a(x-h)2+k

顶点式a>0 a<0

开口方向顶点坐标 对称轴 增 减 性

向上 (h ,k) x=h

向下 (h ,k) x=h

倍 极值 速 x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 课 时 2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 抛物线 y=a(x-h) 学 练 得到的。 x:左加右减

当x<h时, 当x<h时， y随着x的增大而减小。y随着x的增大而增大。 当x>h时， 当x>h时， y随着x的增大而增大。y随着x的增大而减小。

y:上加下减

课前练习顶点坐标

对称轴

最值

y=-2x2 y=-2x2-5

y轴 (0,0) (0,-5) y轴(-2,0) 直线x=-2 (-2,4) (4,3) ? ? 直线x=-2 直线x=4

y=-2(x+2)2y=-2(x+2)2-4倍 速 课 时 学 练

0 -5 0 -4 3 ? ?

y=(x-4)2+3y=-5x2+3x y=3x2+x-6

??

函数y=ax²+bx+c的图象 怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h)2+k的形式?

y 3x 6 x 5 配方: 5 2 3 x 2 x 3 5 2 3 x 2 x 1 1 倍 3 速 课 2 老师提示: 2 3 x 1 时 3 学 配方后的表达 练 2 式通常称为配 3 x 1 2.2

提取二次项系数 配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号

方式或顶点式

函数y=3x2-6x+5的图象特征 根据配方式(顶点式)确定开口方向, 对称轴,顶点坐标.

y 3 x 1 2.2倍 速 课 时 学 练

∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).

我们来画

y

2 y ax bx c a 0 二次函数

1 2 x 6 x 21 的图象，并讨论一般地怎样画 2的图象.

倍 速 课 时 学 练

我们知道，像 y a x h k 这样的函数，容易确定相应抛物线的 1 2 y x 6 x 21 也能化成这样的形式吗？ 顶点为(h,k),二次函数 22

配方可得

1 2 1 y x 6 x 21 x 6 2 3 2 21 2 x 6 x 21 的顶点是(6,3),对称轴 2

由此可知，抛物线 y 是直线 x = 6

接下来，利用图象的对称性列表(请填表) x · · · 3 4 5 6 7 8 9· · ·

倍 速 课 时 学 练

1 y y x 2 6 x 21 · · · 2 105

7.5

5 3.5

3

3.5

5 7.5

· · ·

1 2 y x 6 x 21 2

O

5

10 x

函数y=ax²+bx+c的顶点式 一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用 配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.

倍 速 课 时 学 练

例.求二次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶 点坐标.

2 b 4 ac b y a x . 2a 4a

2

函数y=ax²+bx+c的顶点式 例.求次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标.

配方:

y ax2 bx cc 2 b a x x a c 2提取二次项系数

倍 速 老师提示: 课 时 这个结果通常 学 称为求顶点坐 练

2 b b b 2 c 配方:加上再 a x x 减去一次项系 数绝对值一半 a 2 a 2 a a 的平方 2 2 b 4ac b a x 整理:前三项化为平方形 2 2a 4a 式,后两项合并同类项b 4ac b 2 a x . 化简:去掉中括号 2a 4a 2

标公式.

归纳总结 一般地，我们可用配方求抛物线y=ax2+bx+c的 顶点坐标和对称轴。y ax2 bx c b 2 4ac b a( x ) 2a 4a倍 速 课 时 学 练2

因此，抛物线y=ax2+bx+c 的 b 4ac b 2 ) 顶点坐标是： ( , 2a 4a b 对称轴是：直线 x 2a

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)

配方

b 4ac b2 y a x 2a 4a

2

b 4ac b2 h, =k 令 所以，有y=a(x-h)2+k 2a 4a

因此，任何一个二次函数都可以通过将y=ax2进行平移得到 当h>0向左平移h个单位， 当h<0向右平移|h|个单位， 当k>0时，向上移k个单位， 倍 速 课 时 学 练 当k<0时，向下移k个单位， 就可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像. 例如，y=2x2-8x+12,通过配方 得y=2(x-2)2+4就可以通过平移 -4 y=2x2得到，如演示所示8 6

42 -2 2 4

1.一般地，我们可以用配方求抛物线 y = ax2 + bx + c (a≠0)的顶点与对 称轴 2

y ax bx c2

b 4ac b 2 a x 2a 4a 因此，抛物线

y ax2 bx c

的对称轴是

倍 速 课 时 学 练

2 b 4 ac b 顶点坐标是 , 2 a 4 a

b x 2a

这是确定抛物 线顶点与对称 轴的公式

2.求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标和对称轴有 两种方法：1.配方法 2.公式法倍 速 课 时 学 练

b 4ac b 顶点： ( , ) 2a 4a2

b 对称轴： x 2a

3.二次函数 y=ax2+bx+c 的增减性 探究：二次函数 y=a(x-h)2+k, 上 ，当 x<h 时，y 随 x 的增大 (1)当 a>0 时，图象开口向____ 减小 ；当 x>h 时，y 随 x 的增大而_______ 增大 . 而______ 倍 速 课 时 学 练 下 ，当 x<h 时，y 随 x 的增大 (2)当 a<0 时，图象开口向____ 减小 . 增大 ；当 x>h 时，y 随 x 的增大而_______ 而______

归纳：二次函数 y=ax2+bx+c, b -b - 减小 ；当 x>______ (1)a>0, 当 x<______ 2a 2a 时，y 随 x 的增大而______ 增大 时，y 随 x 的增大而________ . b -b - 增大 ；当 x>______ (2)a<0, 当 x<______ 2a 时，y 随 x 的增大而______ 2a 倍 速 课 时 学 练 减小 . 时，y 随 x 的增大而________

总结小结顶点坐标 y=ax2 y=ax2+c 对称轴 最值

(0,0) (0,c) (h,0) (h,k)b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a

y轴 y轴 直线x=h 直线x=hb x 2a

0 c 0 k4ac b 2 4a

y=a(x-h)22+k y=a(x-h) 倍 速 课 y=ax2+bx+c 时 学 练

能力训练 1.二次函数y=-2x2-x+1的顶点位于第 二 象限

2.

已知二次函数y=2x2-8x+1,当x= 2,函数有最小 值为 -7 3 3.若函数y=-0.5x2+2x+m有最大值为5,则m___倍 速 课 时 学 练

4.将抛物线y=2x2-4x+5向左平移2个单位长度，再向 下平移3个单位长度得 y=2(x+1)2

探究用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化 而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？ 分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值. s 矩形场地的周长是60m,一边长为l, 60 则另一边长为 l m ,场地的面积 2 200 S=l ( 30-l ) 100 即 S=-l 2 +30l O 5 10 15 20 25 30 ( 0 < l < 30 )

倍 速 课 时 学 练 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是

函数的图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大 值.由公式可求出顶点的横坐标.

S=-l 2 +30l

( 0 < l < 30 )

因此，当

l

b 30 15 时， 2a 2 1

S有最大

4ac b 2 302 225 4a 4 1

值，

倍 速 课 时 学 练

也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大(S=225m2)

一般地，因为抛物线y所以当 x 二次函数 y

ax 2 bx c

的顶点是最低(高)点，

ax bx c 有最小(大)值2

b 时， 2a

4ac b 2 4a

倍 速 课 时 学 练

练习1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.当x为何值时y的 值最小(大)?( 1) y 3 x 2 x2

2 y x 2x ( 2)

(3) y 2 x 8x 82

( 4) y

1 2 x 4x 3 2

解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上

2 1 x顶 2 3 3倍 速 课 时 学 练

22 1 y顶 4 3 3

1 1 顶点坐标为 , 3 3

1 1 当x 时，y最小值=3 3

1 对称轴x 3