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第3章逻辑函数运算规则及化简

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3.1 概 述逻辑函数的表示方法如下： 设输入逻辑变量为A、B、C、 …,输出逻辑变量为F。 当A、B、C、 …的取值确定后，F的值就被唯一的确定下来，则称F 是A、B、C、… 的逻辑函数， 记为： F=f(A,B,C, …) 逻辑变量和逻辑函数的取值只能是0或1,没有其它中间值。 真值表 逻辑函数逻辑表达式 逻辑图 波形图和卡诺图

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3.2 逻辑代数的运算规则3.2.1 逻辑代数基本公理公理1: 设A为逻辑变量，若A≠0,则A=1;若A≠l,则A=0。这个公理 决定了逻辑变量的双值性。在逻辑变量和逻辑函数中的0和1,不是数 值的0和1,而是代表两种逻辑状态。 公理2: 0 0 0 ; 1 1 1 。式中点表示逻辑与，在用文字表述 时常省略；加号表示逻辑或。 公理3: 1 1 1 ; 0 0 0 。 公理4: 0 1 0 ; 1 0 1 。 1 0 0 ; 0 1 1 。 公理5: 0 1 ; 1 0 。

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3.2.2 逻辑代数的基本定律

(1)0-1律： (2)自等律： (3)重叠律： (4)互补律： (5)还原律： (6)交换律： (7)结合律：

A 0 0 ; A 1 1 A 1 A ; A 0 A A A A; A A 1 A A 0; A A 1A A 。

。 。 。 。

A B B A; A B B A 。

A(B C)(A B)C ; A B C)(A B) C 。 (

以上各定律均可用公理来证明，方法是将逻辑变量分别用0和1 代入，所得的表达式符合公理2至公理5。

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3.2.2 逻辑代数的基本定律

( ( (8)分配律： A(B C) AB AC ; A B C)(A B) A C)加(逻辑或)对乘(逻辑与)的分配律证明如下：

A ( B C ) A(1 B C ) BC A AB AC BC AA AB AC BC A( A B) C ( A B) ( A B)( A C )

(利用0 1律和自等律) (利用乘对加的分配律) ( 利用重叠律) (利用乘对加的分配律) (利用乘对加的分配律)

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3.2.2 逻辑代数的基本定律

(9)吸收律： A AB A;A(A B) A证明： A AB A 1 B) A 1 A (

A(A B) AA AB A AB A 1 B) A (

(10) 等同律： A AB A B;A(A B) AB证明：

A AB A 1 B) AB A AB AB A B A A A B ( ( )

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3.2.2 逻辑代数的基本定律

(11)反演律(摩根定理) A B A B; A B AB采用真值表法证明，反演律成立。 A 0 0 1 B 0 1 0

A ·B1 1 1

A B1 1 1

A B1 0 0

A B1 0 0

1

1

0

0

0

0

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3.2.2 逻辑代数的基本定律

(12)包含律：

AB AC BCD AB AC

证明：AB AC BCD AB AC BCD( A A) AB AC

ABCD ABCD ( AB ABCD) ( AC ABCD) AB(1 CD) AC (1 CD) AB AC

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3.2.3 摩根定理

(1)逻辑变量“与”运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的“或”运算。 用公式表示如下：

AB A B

(2)逻辑变量“或”运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的“与”运算。 用公式表示如下：

A B AB

上述两个定理也适用于多个变量的情形，如：

ABC A B C A B C ABC

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3.2.3 摩根定理

【例3-1】 应用摩根定理化简逻辑函数 解：反复应用摩根定理可得：

F ( AB C )( A BC )

F AB C A BC ABC ABC ( A B )C A( B C ) AC BC AB AC A BC

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3.2.4 逻辑代数的基本规则

1.代入规则

任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都 代之以同一个逻辑函数F,则等式仍然成立。 例: A(B+C)=AB+AC,等式中的C都用(C+D)代替， 该逻辑等式仍然成立，即 A(B+(C+D))=AB+A(C+D)

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3.2.4 逻辑代数的基本规则2.反演规则

对于任何一个逻辑表式F,若将其中所有的与“·”变成或“+”, “+”换成“·”,“0”换成“1”,“1”换成“0”,原变量换成反变量， F 反变量换成原变量，则得到的结果就是 。 原则： (1) 注意保持原函数中的运算符号的优先顺序不变。

【例3-2】 已知逻辑函数 F A B (C DE ) ,试求其反函数。 解：

F A( B C ( D E ))

而不应该是

F AB CD E

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2.反演规则

原则： (2) 不属于单个变量上的反号应保留不变。或不属于单个变量上的 反号下面的函数当一个变量处理。 【例3-3】 已知 F A B C D E , 求 F 解法一：

。

F A B C D E A B CDE F A( B CDE ) AB ACDE

解法二：

F A B C D E A B …… 此处隐藏：1323字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……