第七章 推理与证明第2课时

直接证明与间接证明

1. 已知向量m＝(1，1)与向量n＝(x，2－2x)垂直，则x＝________． 答案：2 解析：m·n＝x＋(2－2x)＝2－x. ∵ m⊥n，∴ m·n＝0，即x＝2.

33

2. 用反证法证明命题“如果a>b，那么a>b”时，假设的内容应为______________． 答案：a＝或b

解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即a＝b或a<b. 3. (选修12P44练习题3改编)6－225－7的大小关系是______________． 6－22>5－7

解析：由分析法可得，要证－2－，只需证＋＋2，即证13＋242>13＋41010.因为42>40，所以6－5－7成立．

4. 定义集合运算：A·B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sinα，cosα}，则集合A·B的所有元素之和为________．

答案：0

π

解析：依题意知α≠kπ＋，k∈Z.

4

23π2

①α＝kπ＋(k∈Z)时，B＝ ，

42 2 22

A·B＝ 0， ；

22

π

②α＝2kπ或α＝2kπ＋∈Z)时，B＝{0，1}，A·B＝{0，1，－1}；

2π

③α＝2kπ＋π或α＝2kπ－(k∈Z)时，B＝{0，－1}，A·B＝{0，1，－1}；

2

kπ3π

④α≠α≠kπ＋∈Z)时，B＝{sinα，cosα}，A·B＝{0，sinα，cosα，－sinα，

24

－cosα}．

综上可知A·B中的所有元素之和为0.

11

5. (选修12P44练习题4改编)设a、b为两个正数，且a＋b＝1≥μ恒成立

ab

的μ的取值范围是________．

答案：(－∞，4]

11 11ba＝2＋≥2＋2解析：∵ a＋b＝1，且a、b为两个正数，∴ ＋＝(a＋b) ab ababab

11

＝4.要使得≥μ恒成立，只要μ≤

4.

ab

1. 直接证明

(1) 定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法． (2) 一般形式

本题条件

已知定义已知公理已知定理ÞAÞBÞ

C 本题结论．

(3) 综合法

① 定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．

② 推证过程

已知条件Þ

Þ

Þ结论

(4) 分析法

① 定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法称为分析法．

② 推证过程

结论

Ü Ü Ü

已知条件

2. 间接证明

(1) 常用的间接证明方法有 (2) 反证法的基本步骤

① 反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．

② 归谬——从反设和已知出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果． ③ 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立． [备课札记]

题型1 直接证明(综合法和分析法)

例1 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝

S

(1) 数列 n 是等比数列；

n＋2

(n＝1，2，3， )，证明： nn

(2) Sn＋1＝4an.

n＋2

(n＝1，2，3， )，∴ (n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)， nn

Sn＋1S整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴ ，

nn＋1

Sn＋1n＋1 S 即2，∴ 数列 n是等比数列．

S n

Sn＋1Sn－1Sn－1

(2) 由(1)知：＝(n≥2)，于是Sn＋1＝4·(n＋4an(n≥2)．又a2＝3S1

n＋1n－1n－1

＝3，∴ S2＝a1＋a2＝1＋3＝4a1，

∴ 对一切n∈N*，都有Sn＋1＝4an.

例2 设a、b、c均为大于1的正数，且ab＝10，求证：logac＋logbc≥4lgc.

lgclgc

证明：(分析法)由于a>1，b>1，c>1，故要证明logac＋logbc≥4lgc，只要证明lgalgb

lga＋lgb1

4lgc，即≥4，因为ab＝10，故lga＋lgb＝1.≥4，由于a>1，b>1，故

lgalgblga·lgb

lga＋lgb 2 1211

lga>0，lgb>0，所以0<lgalgb≤ ＝ 2，即4成立．所以原不等式成立．

4lgalgb 2

变式训练

设首项为a1的正项数列{an}的前n项和为Sn，q为非零常数，已知对任意正整数n、m，Sn＋m＝Sm＋qmSn总成立．求证：数列{an}是等比数列．

证明：因为对任意正整数n、m，Sn＋m＝Sm＋qmSn总成立，令n＝m＝1，得S2＝S1＋qS1，则a2＝qa1.令m＝1，得Sn＋1＝S1＋qSn ①， 从而Sn＋2＝S1＋qSn＋1 ②，②－①得an＋2＝qan＋1(n≥1)，综上得an＋1＝qan(n≥1)，所以数列{an}是等比数列．

题型2 间接证明(反证法)

证明：(1) ∵ an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝

例3 证明：2，3，5不能为同一等差数列中的三项．

证明：假设2，3，5为同一等差数列的三项，则存在整数m、n满足 3＝2＋md ①，

＝2＋nd ②，

①×n－②×m3n5m＝2(n－m)，两边平方得3n2＋5m2－15mn＝2(n－m)2，左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠不能为同一等差数列的三项．

备选变式（教师专享）

已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，其中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．

解：若方程没有一个实数根，则

16a－4（3－4a）<0， 3

（a－1）2－4a2<0，解之得－2－1. 4a2＋8a<0，

3

a≥－1或a≤ . 故三个方程至少有一个方程有实数根的a的取值范围是 a 2

2

1. 用反证法证明命题“a·b(a、b∈Z)是偶数，那么a、b中至少有一个是偶数．”那么反设的内容是__________________________________．< …… 此处隐藏：2487字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……