高等教育出版社,袁德美主编的概率论与数理统计习题二的答案

2.1 某人投篮两次,设A={恰有一次投中},B={至少有一 次投中},C={两次都投中},D={两次都没投中},又设随 机变量X为投中的次数,试用X表示事件A,B,C,D.进一步 问A,B,C,D中哪些是互不相容事件?哪些是对立事件? B { X 1} 解 A { X 1}

C { X 2}

D { X 0}

显然A C , A D , B

D , C

D ,

∴A与C互不相容;A与D互不相容;B与D互不相容;C与 D互不相容

B

D ,

∴B与D是对立事件.

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2.2 指出下列函数是否是分布函数?

x 0 0, (1)F1 ( x ) 0.5 , 0 x 1 1, x 1 解

1 0 F1 ( x) 1°

2 对 x1 x2 , 都有F1 ( x1 ) F1 ( x2 )°

0 0 3 F1 ( ) lim F1 ( x ) xlim ° x

F1 ( ) lim F1 ( x ) lim 1 1x x

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2.2 指出下列函数是否是分布函数?

x 0 0, (1)F1 ( x ) 0.5 , 0 x 1 1, x 1

解 4°除了分段点以外,都是初等函数,故在每一点都 连续,且右连续 对于分段点:x 1x 0

lim F1 ( x ) lim 0.5 0.5 F1 (0)x 0

lim F1 ( x ) lim 1 1 F1 (1) x 1

F1 ( x)处处右连续. F1 ( x)是分布函数.

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2.2 指出下列函数是否是分布函数?

x 0 0 , 0.2 , 0 x 1 (2)F2 ( x ) 1 x 2 0.3 , x 2 1解x 1

lim F ( x ) lim 0.3 0.3 F (1) 2 2 x 1

F2 ( x)在x 1处不右连续. F2 ( x)不是分布函数.

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2.2 指出下列函数是否是分布函数?

x 0, (3)F3 ( x ) cos x , x 0 1, x 0 解

F3 ( ) 1 F3 ( x)不是分布函数.

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0.5e x , x 0 2.4 设随机变量X的分布函数 F ( x ) 0.8 , 0 x 1 1, x 1 求(1)P{X=0};(2)P(X<0);(3)P(0<X≤1.5);(4)P(X>3) 解 (1) P{ X 0} F (0) lim F ( x )x 0

0.8 lim 0.5e x 0.3x 0

(2) P{ X 0} lim F ( x ) lim 0.5e 0.5xx 0

x 0

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0.5e x , x 0 2.4 设随机变量X的分布函数 F ( x ) 0.8 , 0 x 1 1, x 1 求(1)P{X=0};(2)P(X<0);(3)P(0<X≤1.5);(4)P(X>3) 解 (3) P{0 X 1.5} F (1.5) F (0) 0.2

(4) P{ X 3} 1 P{ X 3} 1 F (3) 0

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2.5 掷一枚骰子,用X表示掷出的点数,求X的分布列及 分布函数

解 X所有的取值为1,2,3,4,5,6

1 且P{ X i} , i 1, 2,3, 4,5, 6 6∴分布列为 X P 1 2 3 4 5 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

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2.5 掷一枚骰子,用X表示掷出的点数,求X的分布列及 分布函数 x 1 0 , 1 解 分布函数为 , 1 x 2 6 1 , 2 x 3 3 1 F ( x) , 3 x 4 2 2 4 x 5 3 , 5 , 5 x 6 6 x 6 1,

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2.6 一批零件中有8个正品和2个次品,安装机器时从这 批零件中任取一个.如果每次取出的次品不

再放回去, 用X表示在取得正品以前已取出的次品数,求X的分布列 及分布函数. 解 X所有的取值为0,1,2 8 4 2 8 8 P{ X 0} P{ X 1} 10 5 10 9 452 1 8 1 P{ X 2} 10 9 8 45

∴分布列为

X

04 5

18 45

21 45

P

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2.6 一批零件中有8个正品和2个次品,安装机器时从这 批零件中任取一个.如果每次取出的次品不再放回去, 用X表示在取得正品以前已取出的次品数,求X的分布列 及分布函数. x 0 0 , 4 , 解 0 x 1 5 F ( x ) 分布函数为 44 , 1 x 2 45 1, x 2

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2.8 已知离散型随机变量X只取-1,0,1,2四个值,相应的

1 1 1 概率依次为 , , , c ,确定常数c,并计算条件概率 3 4 5P{X<1|X≠0}

1 1 1 解 由正则性, c 1 3 4 5

P{ X 1 X 0} P{ X 1} P{ X 1 X 0} P{ X 0} 1 P{ X 0}

13 c 60

4 9

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2.9

0 , 0.3 , 设离散型随机变量X的分布函数为 F ( x ) 0.7 , 1,

x 1 1 x 2 2 x 3 x 3

求X的分布列. 解 分布列为 X P -1 2 3

0.3

0.4

0.3

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2.10 一条自动化生产线上产品的一级品率为0.8,现随 机检查4件,求至少有两件一级品的概率. 解 设X为随机检查的4件产品中的一级品的个数. 则X~B(4,0.8) 则所求概率为

P ( X 2) 1 P ( X 0) P ( X 1)

1 C 0.8 0.2 C 0.8 0.2 0 4 0 4 1 4

3

0.9728

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2.11 某车间有20部同型号机床,每部机床开动的概率 为0.8,若假定各机床是否开动彼此独立,每部机床开动 时消耗的电能为15个单位,求这个车间消耗电能不少于 270个单位的概率 解 设X为20部机床开动的台数, 则X~B(20,0.8) 由于每部机床开动时消耗的电能为15个单位 则要使车间消耗电能不少于270个单位,则至少要 开动270/15=18台机床 故所求概率为

P( X 18)

C 0.8 0.2 C 0.8 0.2 C 0.8 18 20 18 2 19 20 19 20 20

20

0.206

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2.13设X服从泊松分布,且已知P(X=1)=P(X=2),求P(X=2), 解 设X~P(λ)

P( X 1) P( X 2)

1

1!

e

2

2!

e

2

2 2 2 P( X 2) e 2e 2!

2