同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集(成都大学诗叶子制作)

同济版工程数学-线性代数第五版答案全集第一章行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: 2 0 1 (1) 1 4 1; 1 8 3解 2 0 1 1 4 1 1 8 3=2×( 4)×3+0×( 1)×( 1)+1×1×8 0×1×3 2×( 1)×8 1×( 4)×( 1)= 24+8+16 4= 4. a b c (2) b c a; c a b解 a b c b c a c a b=acb+bac+cba bbb aaa ccc=3abc a3 b3 c3. 1 1 1 (3) a b c; a 2 b2 c 2解 1 1 1 a b c a 2 b2 c 2

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同济版工程数学-线性代数第五版答案全集=bc2+ca2+ab2 ac2 ba2 cb 2=(a b)(b c)(c a). x y x+ y (4) y x+ y x . x+ y x y解 x y x+ y y x+ y x x+ y x y=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx y3 (x+y)3 x3=3xy(x+y) y3 3x2 y x3 y3 x3= 2(x3+y3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;解解解解逆序数为 0逆序数为 4:逆序数为 5:逆序数为 3: 41, 43, 42, 32. 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. 2 1, 4 1, 4 3. (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n);

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同济版工程数学-线性代数第五版答案全集解逆序数为 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) (2n 1)2, (2n 1)4, (2n 1)6, , (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3解 (2n 1) (2n) (2n 2) 2.

n(n 1): 2

逆序数为 n(n 1): 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) (2n 1)2, (2n 1)4, (2n 1)6, , (2n 1)(2n 2) (n 1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) (2n)2, (2n)4, (2n)6, , (2n)(2n 2) (n 1个)

3.写出四阶行列式中含有因子 a11a23的项.解含因子 a11a23的项的一般形式为 ( 1)ta11a23a3ra4s,

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同济版工程数学-线性代数第五版答案全集其中 rs是 2和 4构成的排列,这种排列共有两个,即 24和 42.所以含因子 a11a23的项分别是 ( 1)ta11a23a32a44=( 1)1a11a23a32a 44= a11a23a32a44, ( 1)ta11a23a34a42=( 1)2a11a23a34a 42=a11a 23a34a42. 4.计算下列各行列式: 4 1 (1) 10 0解 1 2 5 1 2 0 2 1 1 2 5 1 4 2 0; 7 2 0 2 1 4 c2 c3 4 2 1 0======10 7 c4 7c3 0 1 2 3 0 2 0 2 1 10 4 1 10 2 4+3 1 14= 10 2 2× ( 1) 3 14 0

4 1 10 0

4 1 10 c2+ c3 9 9 10= 1 2 2====== 0 0 2= 0 . 10 3 14 c1+ 1 c3 17 17 14 2 2 3 (2) 1 5解 1 1 2 0 2 3 1 5 4 2 3 6 1 1; 2 2 4 2 3 6 1 c4 c2 2 1===== 3 1 2 5 21 1 2 0 4 2 3 0 1 1 2 0 4 2 3 6 0 r4 r2 2 2===== 3 0 1 2 2 1 1 2 1 4 2 3 4 0 2 0 0

1 1 2 0

r4 r1 2 3===== 1 0

0 2 0=0. 0

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同济版工程数学-线性代数第五版答案全集 ab ac ae (3) bd cd de; bf cf ef解 ab ac ae b c e bd cd de= adf b c e bf cf ef b c e 1 1 1= adfbce 1 1 1= 4abcdef . 1 1 1a 1 (4) 0 0 1 b 1 0 0 1 c 1 0 0 1. d 0 r1+ ar2 0 1+ ab 1 b 0 1==

=== 0 1 d 0 0 a 1 c 1 0 0 1 d

解

a 1 0 0

1 b 1 0

0 1 c 1

1+ ab a 0 c3+ dc2 1+ ab a ad= ( 1)( 1) 1 c 1===== 1 c 1+ cd 0 1 d 0 1 02+1

ad= ( 1)( 1)3+21+ ab 1+ cd=abcd+ab+cd+ad+1. 15.证明:

a2 ab b2 (1) 2a a+ b 2b=(a b)3; 1 1 1证明

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同济版工程数学-线性代数第五版答案全集a2 ab b2 c2 c1 a2 ab a2 b2 a2 2a a+ b 2b===== 2a b a 2b 2a 0 0 1 1 1 c3 c1 1= ( 1)3+1 ab a b a2

b2 a2= (b a)(b a) a b+ a=(a b)3 . 1 2 2b 2a

ax+ by ay+ bz az+ bx x y z 3 3 (2) ay+ bz az+ bx ax+ by= (a+ b ) y z x; az+ bx ax+ by ay+ bz z x y证明 ax+ by ay+ bz az+ bx ay+ bz az+ bx ax+ by az+ bx ax+ by ay+ bz x ay+ bz az+ bx y ay+ bz az+ bx= a y az+ bx ax+ by+ b z az+ bx ax+ by z ax+ by ay+ bz x ax+ by ay+ bz x ay+ bz z y z az+ bx 2= a y az+ bx x+ b z x ax+ by z ax+ by y x y ay+ bz2

x y z y z x 3=a y z x+b z x y z x y x y z3

x y z x y z 3=a y z x+b y z x z x y z x y3

x y z= (a+ b ) y z x . z x y3 3

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同济版工程数学-线性代数第五版答案全集(a+1)2 (b+1)2 (c+1)2 (d+1)2 (a+ 2)2 (b+ 2)2 (c+ 2)2 (d+ 2)2 (a+ 3)2 (b+ 3)2=0; (c+ 3)2 (d+ 3)2 (a+ 3)2 (b+ 3)2 (c c, c c, c c得) (c+ 3)2 4 3 3 2 2 1 (d+ 3)2

a2 2 (3) b2 c d2

证明 a2 b2 c2 d2 (a+1)2 (b+1)2 (c+1)2 (d+1)2 (a+ 2)2 (b+ 2)2 (c+ 2)2 (d+ 2)2

a2 2= b2 c d2 a2 2= b2 c d21 a (4) a2 a4 1 b b2 b4

2a+1 2b+1 2c+1 2d+1 2a+1 2b+1 2c+1 2d+11 c c2 c4 1 d d2 d4

2a+ 3 2b+ 3 2c+ 3 2d+ 3 2 2 2 2

2a+ 5 2b+ 5 (c c, c c得) 2c+ 5 4 3 3 2 2d+ 5

2 2=0 . 2 2

=(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a+b+c+d);证明1 a a2 a4 1 b b2 b4 1 c c2 c4 1 d d2 d4

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同济版工程数学-线性代数第五版答案全集1 1 1 1 0 b a c a d a= 0 b(b a) c(c a) d (d a) 2 2 2 2 2 2 0 b (b a ) c (c a ) d 2(d 2 a2)

1 1 1= (b a)(c a)(d a) b c d b2(b+ a) c2(c+ a) d 2(d+ a) 1 1 1= (b a)(c a)(d a) 0 c b d b 0 c(c b)(c+ b+ a) d (d b)(d+ b+ a)

1= (b a)(c a)(d a)(c b)(d b) c(c+1+ a) d (d+ b+ a) b=(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a+b+c+d).x 0 (5) 0 an 1 x 0 an 1 0 1 0 an 2 0 0 0 0 n n 1 =x+a1x+ +an 1x+an . x 1 a2 x+ a1

证明

用数学归纳法证明.

x当 n=2时, D2= a x 1= x2+ a1x+ a2,命题成立.+ a1 2

假设对于(n 1)阶行列式命题成立,即 Dn 1=xn 1+a1 xn 2+ +an 2x+an 1,则 Dn按第一列展开,有 Dn= xDn 1+ an ( 1)n+1

1 0 0 0 x 1 0 0 1 1 x 1

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同济版工程

数学-线性代数第五版答案全集=xD n 1+an=xn+a1xn 1+ +an 1x+an .因此,对于 n阶行列式命题成立. 6.设 n阶行列式 D=det(aij),把 D上下翻转、或逆时针旋转 90°、或依副对角线翻转,依次得an1 ann D1= , a11 a1n ann a1n a1n ann D2= , D3= , an1 a11 a11 an1

证明 D1= D2= ( 1)证明

n(n 1) 2

D, D3=D .

因为 D=det(aij),所以a11 an1 ann D1= = ( 1)n 1 an1 a11 a1n a21 a1n ann a2n

a11 a21 n 1 n 2= ( 1) ( 1) an1 a31

a1n a2n ann= a3nn(n 1) 2

= ( 1)1+ 2+ +(n 2)+(n 1) D= ( 1)同理可证D2= ( 1)n(n 1) 2

D.

a11 an1 n(n 1) n(n 1) 2 DT= ( 1 ) 2 D. = ( 1) a1n ann

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同济版工程数学-线性代数第五版答案全集D3= ( 1)n(n 1) 2

D2= ( 1)

n(n 1) 2

( 1)

n(n 1) 2

D= ( 1)n(n 1) D= D .

7.计算下列各行列式(Dk为 k阶行列式): (1) Dn=都是 0;解a 0 Dn= 0 0 1 0 a 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 a 0 1 0 0 (按第 n行展开) 0 aa 1 1 a

,其中对角线上元素都是 a,未写出的元素

0 a= ( 1)n+1 0 0n+1

0 0 a 0n

0 0 0 0 a

0 0 0 a

1 a 0 2n+ ( 1) a 0 a (n 1)×(n 1) 0 (n 1)×(n 1)+ an=an an 2=an 2(a2 1).

= ( 1) ( 1)

a (n 2)(n 2)

x a (2) Dn= a

a x a

a a ; x

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同济版工程数学-线性代数第五版答案全集解将第一行乘( 1)分别加到其余各行,得x a a a x x a 0 Dn= a x 0 x a a x 0 0 a 0 0, 0 x a

再将各列都加到第一列上,得

x+ (n 1)a a a x a 0 0 Dn= 0 0 x a 0 0 0an (a 1)n an 1 (a 1)n 1 (3) Dn+1= a a 1 1 1解

a 0 n 1 0=[x+(n 1)a](x a) . 0 x a

(a n)n (a n)n 1; a n 1 1 a n (a n)n 1 (a n)n

根据第 6题结果,有1 1 a 1 n(n+1) a 2 Dn+1= ( 1) an 1 (a 1)n

1 an (a 1)n

此行列式为范德蒙德行列式.

Dn+1= ( 1)= ( 1)

n(n+1) 2

n+1≥i> j≥1

∏[(a i+1) (a j+1)]

n(n+1) 2

n+1≥i> j≥1

∏[ (i j)]

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同济版工程数学-线性代数第五版答案全集= ( 1)=n(n+1) 2

( 1)

n+ (n 1)+ +1 2

n+1≥i> j≥1

∏(i j)

n+1≥i> j≥1

∏(i j) . bn

an

(4) D2n=cn

a1 b1 c1 d1

; dn

解an D2n= cn bn

a1 b1 c1 d1

(按第 1行展开) dn

an 1= an cn 1 0

a1 b1 c1 d1

bn 1 0

dn 1 0 0 dn

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同济版工程数学-线性代数第五版答案全集0 an 1+ ( 1)2n+1bn cn 1 cn bn 1

a1 b1 c1 d 1

.d n 1 0

再按最后一行展开得递推公式 D2n=andnD2n 2 bncnD2n 2,即 D2n=(andn bncn)D2n 2.于是而所以 D2n=∏(aidi bici )D2 .i=2 n

D2=

a1 b1= a d b c, c1 d1 1 1 1 1n i=1

D2n=∏ (ai di bici ) . (5) D=det(aij),其中 aij=|i j|;解 aij=|i j|,0 1 2 Dn= det(aij )= 3 n 1 1 2 3 0 1 2 1 0 1 2 1 0 n 2 n 3 n 4 n 1 n 2 n 3 n 4 0

1 r1 r2 1 ===== 1 r2 r3 1 n 1

1 1 1 1 n 2

1 1 1 1 1 1 1 1 n 3 n 4

1 1 1 1 0

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同济版工程数学-线性代数第五版答案全集 1 c2+ c1 1 ===== 1 c3+ c1 1 n 1 0 0 0 2 0 0 2 2 0 2 2 2 2n 3 2n 4 2n 5 0 0 0 0 n 1

=( 1)n 1(n 1)2n 2.1+ a1 1 (6) Dn= 1 1+ a2 1 1 1 1,其中 a a a≠0. 1 2 n 1+ an

解1+ a1 1 Dn= 1 1+ a2 1 1 1 1 1+ an

a1 c1 c2 a2===== 0 c2 c3 0 0

0 a2 a3 0 0

0 0 a3 0 0

0 0 0 an 1 0

0 1 0 1 0 1 an 1 1 an 1+ an

1 1= a1a2 an 0 0 0

0 1 1 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 a1 1 0 a2 1 0 a3 1 1 1 an 1 1 1+ an 1

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同济版工程数学-线性代数第五版答案全集1 0 0= a1a2 an

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 a1 1 a2 1 a3 1 1 an 1n i=1

0 0 0 0 0 1+∑ ai 1= (a1a2 an )(1+∑ 1 ) . i=1 ai 8.用克莱姆法则解下列方程组:n

x1+ x2+ x3+ x4= 5 (1) x1+ 2x2 x3+ 4x4= 2; 2x 3x2 x 5x4= 2 3x1+ x+ 2x3+11x= 0 1 2 3 4解因为 1 1 D= 2 3 1 2 3 1 1 1 1 2 1 4 5= 142, 11 1 1 4= 142, D= 1 2 5 2 11 3 5 2 2 0 1 1 1 2 1 4 5= 284, 11

5 2 D1= 2 0 1 D3= 1 2 3

1 2 3 1

1 1 1 2

1 2 3 1

5 2 2 0

1 1 4= 426, D= 1 4 2 5 3 11

1 2 3 1

1 1 1 2

5 2=142, 2 0

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同济版工程数学-线性代数第五版答案全集所以 x1= D D1 D D=1, x2= 2= 2, x3= 3= 3, x4= 4= 1. D D D D

=1 5x1+ 6x2=0 x1+ 5x2+ 6x3 (2) x2+ 5x3+ 6x4= 0 . x3+ 5x4+ 6x5= 0 x4+ 5x5=1 解因为5 1 D= 0 0 0 1 0 D1= 0 0 1 5 1 D3= 0 0 0 5 1 D5= 0 0 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 0 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 1 0 0 0 1 0 6 5 1 0 0 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 0 0= 665, 6 5 5 0 1 0 0=1507, D2= 0 0 6 5 0 5 0 1 0 0= 703, D4= 0 0 6 0 5 1 0 0= 212, 0 1 1 0 0 0 1 6 5 1 0 0 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 0 0 6 5 1 1 0 0 0 1 0 0 0= 1145, 6 5 0 0 0= 395, 6 5

所以

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