22.2.1一元二次方程的解法(直接开平方法)

1.会用直接开平方法解形如 ( x a) b(b 0) 的方程. 2.灵活运用因式分解法解一元二次方程. 3.了解转化、降次思想在解方程中的运用。 合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练 地解一元二次方程。

2

1.如果 x2 2.如果 x

a(a 0), 则 x = a 2 3.如果 x 64,则 x= 8 。2

a(a 0),则 x 就叫做 a 的

平方根

。

。

4.把下列各式分解因式：

1). x2-3x

x(x-3)

4 4 2). x x 3 92

2 2 (x ) 3(2x-3)(x+1)

3). 2x2-x-3

(1). x2=4 (2). x2-1=0

对于方程(1),可以这样想:∵ ∴ 即: x2=4 x= 4 x =± 2 根据平方根的定义可知:x是4的( 平方根).

这时,我们常用x1 , x2来表示未知数为x的一元 二次方程的两个根. ∴ 方程 x2=4的两个根为 x1=2 , x2=-2.

利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。

1、利用直接开平方法解下列方程:

(1). x2=25

(2). x2-900=0

解： (1) x2=25

(2)移项，得 x2=900 直接开平方，得 x=±30 直接开平方，得 x=±5 ∴x1=30 ∴ x1=5,x2=-5 x2=-30

2、利用直接开平方法解下列方程：

(1)(x+1)2-4=0(2) 12(2-x)2-9=0

(1)(x+1) 2-4=0 (x+1)2=4 以变形为：

(2) 12(2-x)2-9=0

分析：我们可以先把(x+1)看作一个整体，原方程便可现在再运用直接开平方的方法可求得x的值。

解：

(1) 移项，得 (x+1)2=4 ∴ x+1=±2 ∴ x1=1,x2=-3.

1.直接开平方法的理论根据是

平方根的定义

2.用直接开平方法可解形如x2=a(a≥0)或 (x-a)2=b(b≥0)类的一元二次方程.

3.方程x2=a(a≥0)的解为：x=

方程(x-a)2=b(b≥0)的解为：x= a

a

b

小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？

对于方程(2) x2-1=0 ,你可以怎样解它？

还有其它的解法吗？还可以这样解： (x+1)(x-1)=0 将方程左边分解因式，得 则必有： x+1=0,或x-1=0. 分别解这两个一元一次方程，得 x1=-1, x2=1.

利用因式分解的方法解方程，这种方法 叫做因式分解法。

1、利用因式分解法解下列方程： 1) x2-3x=0; 2) 16x2=25; 3) (2x+3)2-25=0. ∴ x=0,或x-3=0, 解得 x1=0,x2=3. 2) 方程移项，得 16x2-25=0 方程左边分解因式，得 (4x+5)(4x-5) =0 ∴ 4x+5=0,或4x-5=0, 5 5 解得 x1=- ,x2= 。 4 4

解：1)方程左边分解因式，得 x(x-3) =0.

采用因式分解法解方程的一般步骤：(1)将方程右边的各项移到方程的左边，使方程右边为0; (2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积形式： (3)令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程：

(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

用你喜欢的方法解下列方程：(1)(x+2)2-16=0; (2) x2-2x+1=49; (3)(x-2)2

-x+2=0 (4)(2x+1)2-x2=0

小张和小林一起解方程 x(3x+2)-6(3x+2)=0. 小张将方程左边分解因式，得 (3x+2)(x-6)=0, ∴ 3x+2=0,或x- 2 6=0. 方程的两个解为 x1=- ,x2=6. 3 小林的解法是这样的： 移项，得 x(3x+2)=6(3x+2). 方程两边都除以(3x+2),得 x=6. 2 小林说：“我的方法多简单！”可另一个解x=- 3 哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？

1.解一元二次方程的两种方法。 2.能用直接开平方法求解的方程也能用因式 分解法。

3.当方程出现相同因式时，不能约去，只能 分解。