第一讲

不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式

1.2.2

绝对值不等式的解法(一)

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|ax+b|≤c(或|ax+b|≥c)(c>0)型 不等式的解法 解下列不等式. (1)|4x+5|≥25; (2)|3-2x|<9; (3)1<|x-1|<5.栏 目 链 接

解析：(1)因为|4x+5|≥25 4x+5≥25 或 4x+5≤-25 4x≥20 15 或 4x≤ - 30 x ≥ 5 或 x≤ - , 所 以 原 不 等 式 的 解 集 为 2 15 x x≥5或x≤- . 2 栏 目 链 (2)因为|3-2x|<9 |2x-3|<9 -9<2x-3<9 -6<2x<12 接

-3<x<6,所以原不等式的解集为{x|-3<x<6}. (3)因为 1<|x-1|<5 1<x-1<5 或-5<x-1<-1 2<x<6 或-4<x<0,所以原不等式的解集为{x|2<x<6 或-4<x<0}.

点评：对于这种类型的不等式，在求解时，可 以直接在|x|≤a与|x|≥a的基础上进行替换，这

时原不等式化成了一元一次不等式(组),然后根据不等式的性质求解.

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变式训练 1.解下列不等式. (1)|1-2x|>5; (2)|4x-1|+2≤10.栏 目 链 2x-1<-5 2x>6 接

解析：(1)|1-2x|>5 |2x-1|>5 2x-1>5 或 或 2x<-4 x>3 或 x>-2. 所以原不等式的解集为{x|x>3 或 x<-2}

(2)|4x - 1| + 2≤10 |4x - 1|≤10 - 2 |4x - 1|≤8 - 8 ≤ 4x - 7 9 1≤8 -7≤4x≤9 - ≤x≤ . 4 4 7 9 所以原不等式的解集为 x|-4≤x≤4 .

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含参数的绝对-值不等式的解法 解含有参数的绝对值不等式时，常常需要对参数进行分类讨论， 要注意讨论应不重不漏. x-1 <1. 解关于 x 的不等式 x+a 栏 目 链 接

分析：本题属于|ax+b|<c型不等式，可按解此 类不等式的常规方法求解，去掉绝对值符号后转栏 目 链 接

化为不等式组，再对a进行分类讨论，也可以转化为|x-1|<|x+a|,两边平方，去掉绝对值符号 再求解.

x-1 x-1 <1 -1< 解析：解法一 <1 x + a x + a

x-1 2x-(1-a) >-1, >0, x+a x+a x-1 a+1 <1 >0. ② x+a x+a

①

(1)当 a+1>0,即 a>-1 时， 1-a 由②得 x>-a,由①得 x> . 2 1-a 1-a 又 a>-1,∴ >-a,∴x> . 2 2 1-a . ∴原不等式的解集为 x x> 2

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(2)当 a+1=0,即 a=-1 时，②无解. ∴原不等式的解集为 Ø. (3)当 a+1<0,即 a<-1 时， 1-a 由②得 x<-a,由①得 x< . 2 1-a 1-a 又 a<-1,∴ <-a,∴x< . 2 2 1-a . ∴原不等式的解集为 x x< 2 1-a ;当 a 综上可知，当 a>-1 时，原不等式的解集为 x x> 2

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=-1 时，原不等式的解

集为 Ø;当 a<-1 时，原不等式的解集为 1-a x x< . 2

解法二 原不等式可化为|x-1|<|x+a|. 两边平方得 x2-2x+1<x2+2ax+a2, 即 2(a+1)x>1-a2,当 a+1>0,即 a>-1 时， ∵2(a+1)x>(1+a)(1-a),∴x> 当 a+1=0,即 a=-1 时， ∵0×x>0,∴此时原不等式无解. 当 a+1<0,即 a<-1 时， ∵2(a+1)x>(1+a)(1-a),∴x< 1-a . 2 1-a . 2栏 目 链 接

1-a ;当 a 综上所述，当 a>-1 时，原不等式的解集为 x x> 2

=-1 时，原不等式的解集为 Ø;当 a<-1 时，原不等式的解集为 1-a x x< . 2

点评：解含有参数的绝对值不等式，除按绝对值不等 式来解外，还必须对参数进行分类讨论，在讨论时， 要注意“不重不漏”的原则.

解不等式|2x+3|<a+1(a∈R). 【错解】 由题意得-a-1<2x+3<a+1, a+4 a-2 ∴- <x< , 2 2 a+4 a-2 . 故不等式的解集为 - , 2 2

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析：分所给不等式含有参数a,而错解中第一步是建立 在a+1>0的基础上的.因为a∈R,所以a+1的正负情 况不确定，应先进行讨论.栏 目 链 接

【正解】 ①当 a+1≤0 时，原不等式无解，解集为 Ø. ②当 a+1>0 时，同错解.

a+4 a-2 ;当 综上所述，当 a>-1 时，原不等式的解集为 - , 2 2

a≤-1 时，原不等式的解集为 Ø.

易错点 忽略了对参数的讨论 【易错点辨析】栏 解含有参数的绝对值不等式时，常常忽略对参 目 链 接

数的正负讨论而出错.