历城二中高二教学质量调研考试

文科数学

一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集U R =,集合{|1|1}A x x =-<,25{|1}1

x B x x -=≥-,则U A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x << B ．{|12}x x <≤ C ．{|12}x x ≤<

D ．{|14}x x ≤<

2. 若复数2()1i z i

=+(i 为虚数单位),则||z =（ ）

A ．2

B ． 1

C ．

12 D ．2 3.给出下列四个命题:①命题“若4π

α=,则tan 1α=”的逆否命题为假命题:

②命题“若a b >.则11a b ->-”的否命题是“若a b ≤,则11a b -≤-”；

③若“p q ∨”为真命题,“p q ∧”为假命题,则p 为真命题, q 为假命题； ④函数321()3

f x x mx =-(2)1m x ++-有极值的充要条件是1m <-或2m >. 其中正确的个数有（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4. 若角α的终边与单位圆交于点(,则cos 2α=（ ） A ．15 B ．15- C ．35 D ．35

-

5.函数()f x =2ln(1)

x --的定义域为（ ） A ．[1,10] B ．[1,2)(2,10] C. (1,10] D ．(1,2)(2,10] 6.在锐角ABC ∆中,角,A B 所对的边长分别为,a b ，2sin a B b =, 则角A 等于（ ）

A ．3π

B ．4π C. 6

π D ．12π 7.函数||2sin2x y x =的图象可能是（ ）

8.已知132121

12,log ,log 33

a b c -===，则（ ）

A ．a b c >>

B ．c a b >> C. c b a >> D ．a c b >>

9.在如图所示的程序框图中,若输出的2048S =,则判断框内可以填入的条件是（ ）

A ．11i ≥

B ．10i ≥ C. 10i ≤ D ．9i >

10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足11a =，121n n a a n ++=+，则

20172017S = （ ） A ．1009 B ．1008 C. 2 D ．1

11. 已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ）

A ．50-

B ．0 C. 2 D ．50

12. 若点(,)P a b 在函数2

31n y x x =-+的图象上,点(,)Q c d 在函数2y x =+的图象上，则22()()a c b d -+-的最小值为 （ ）

A

．8

C. ．2

13.如图,在平面四边形ABCD 中, ,AB BC AD CD ⊥⊥,o 120BAD ∠=,1AB AD ==，若

点E 为边CD 上的动点,则AE BE ⋅的最小值为（ ）

A ．2116

B ．32 C. 2516

D ．3 14.已知()()f x x R ∈是奇函数,且当(0,)x ∈+∞时, ()f x 单调递减,若(1)0f =，则函数(|1n|||)y f x =的零点个数为（ ）

A ．3

B ．4 C. 5 D ．6

15.在正整数数列中,由1开始按如下规则依次取它的项:第一次取1;第二次取2个连续偶数2,4;第三次取3个连续奇数5,7,9;第四次取4个连续偶数10,12,14,16;第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25；……按此规律取下去,得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10，12,14,16,17,19，……则在这个子数列中,第2018个数是（ ）

A ．3967

B ．3969 C. 3970 D ．3972

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

16.设向量(,2)a x =,(1,1)b =-,且()a b b -⊥,则x 的值为 ．

17.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若3243S S S =+，22a =,则S a = ．

8.函数()c o s ()f x A x ωϕ=+(0,0)ωπϕ>-<<的部分图象如图所示，则关于函数

()sin()g x A x ωϕ=-的下列说法正确的是 ．

(1)图象关于点(,0)3π

中心对称；

(2)图象关于直线6x π

=对称；

(3)图象可由2cos2y x =的图象向友平移

6π个单位长度得到； (4)在区间5[0,]12

π上单调递减. 19.已知函数22|log ()|,0()22,0x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩

,函数()()F x f x a =-有四个不同的零点1234,,,x x x x 且满足1234x x x x <<<，则222314112

x x x x x x ++的取值范围为 ． 三、解答题;共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

（一）必考题;共60分.

20.已知正项数列{}n a 满足: 2423n n n S a a =+-,其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.

(1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)设211

n n b a =-,求数列{}n b 的前n 项和n T . 21.如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,且0AD AC ⋅=

,sin 3BAC ∠=

AB =

BD =

.

(1)求AD 的长；

(2)求cos C .

22.已知函数21()21n 32f x x x x =+

-. (1)讨论()f x 的单调性；

(2)若函数()f x m ≤在1[,]x e e ∈上恒成立,求实数m 的取值范围.

23.某汽车公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表；

(1)可用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系吗?如果能,请求出y 关于x 的线性回归方程,如果不能,请说明理由;

(2)公司决定再采购,A B 两款车扩大市场, ,A B 两款车各100辆的资料如表：

平均每辆车每年可为公司带来收入500元,不考虑采购成本之外的其他成本,假设每辆车的使用寿命部是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率,以每辆车产生利润的平均数作为决策依据,应选择采购哪款车型? 参考数据:

6

1()17.5i i x x =-=∑，

6

1()()35i i i x x y y =--=∑，

61

()76i i y y =-=∑

，

36.5≈.

参考公式:

相关系数()()

n

i

i

x x y

y r --=

∑；

回归直线方程为y bx ab =+,其中1

2

1

()()

()

n

i

i

i n

i

i x x y

y b x x ==--=

-∑∑，a y bx =-.

24.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:

min )给制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ,并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：

(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?

附：2

2

()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，

25.已知函数()1n f x x ax =-+

11()a a R x --∈. (1)当12

a ≤时,讨论()f x 的单调性； (2)设2()24g x x bx =-+，当14a =

时,若对任意1(0,2)x ∈,存在2[1,2]x ∈使12()()f x g x ≥,求实数b 取值.

二中高三教学质量调研考试 文科数学参考答案及评分标准

一、选择题:本题共15小题,每小题4分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分 16. 4; 17. 10-; 18.(4);

19. 17257

(

,]416

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题:共60分.

20.解:(1)令1n =,得2

111423a a a =+-，且0n a >,解得13a =.

当2n ≥时, 144n n S S --=221122n n n n a a a a ---+-,即2214n n n a a a -=-122n n a a -+-，

整理得1()n n a a -+1(2)0n n a a ---=,0n a >，12n n a a -∴-=，

所以数列{}n a 是首项为3,公差为2的等差数列, 故3(1)221n a n n =+-⨯=+. (2)由(1)知: 2

211144n n b a n n =

==-+1111

()4(1)41

n n n n =-++， 12n n T b b b ∴=+++=

1111

(14223

-+-+111)14n n +

-=+1(1)144

n

n n -=++. 21.(1)因为AD AC ⊥所以sin sin(

)2

BAC BAD π

∠=+∠cos BAD =∠，

所以cos BAD ∠=

. 在ABD ∆中,由余弦定理可知, 222

BD AB AD =+-2cos AB AD BAD ⋅⋅∠

即2

8150AD AD -+=,解之得5AD =或3AD =,由于AB AD >,所以3AD =.

(2)在ABD ∆中,由正弦定理可知,

sin sin BD AB

BAD ADB

=∠∠，

又由cos 3BAD ∠=

可知1sin 3BAD ∠=,所以sin ADB ∠=sin 3

AB BAD BD ∠=

因为ADB DAC C ∠=∠+∠2

C π

=

+∠,即cos 3

C =

22.解:(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，

2()3f x x x '=+-=232(1)(2)

x x x x x x

-+--=，

当x 变化时, (),()f x f x '变化情况如下表：

综上所述: ()f x 在(0,1)和(2,)+∞上是增函数,在(1,2)上是减函数. (2)

函数()f x m ≤在1

[,]x e e

∈上恒成立，max ()m f x ∴≥，

由(1)知()f x 在1(,1)e

和(2,)e 上是增函数,在(1,2)上是减函数,

∴函数()f x 在1x =或x e =处取得最大值,

15(1)(21)22f =-+=-，2

()232e f e e =+-，

2

()(1)22

e f e f -=+

2513(3)022e e -+=->， 2

max

()()232

e f x f e e ∴==+-，

2

232

e m e ∴≥+-.

23.

(1)

6

1

()17.5i i x x =-=∑

，

61

()()35

i i i x x y y =--=∑

，

6

1

()36.5i i y y =-=≈∑

，

()()n i

i x x y y r --∴=∑

==350.9636.5

=≈. 所以两变量之间具有较强的线性相关关系,

故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系. 121()()35217.5()

n i

i i n

i

i x x y y b x x ==--===-∑∑ 又123456 3.56x +++++==，111316152021166

y +++++==. 16a y bx ∴=-=2 3.59-⨯=，

∴回归直线方程为29y x =+.

(2)用频率估计概率, A 款车有10辆利润为-500,有30辆利润为0有40辆利润为500,有20辆利润为1000，所以平均利润为:

10(500)30040500201000100

⨯-+⨯+⨯+⨯350=(元). B 款车有15辆利润为-300有40辆利润为200,有35辆利润为700,有10辆利润为1200所以平均利润为:

15(300)4020035700101200100

⨯-+⨯+⨯+⨯400=(元). 以每辆车产生平均利润为决策依据,故应选择B 款车型.

24.(1)第二种生产方式的效率更高.

理由如下:

(i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二

种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.,因此第二种生产方式的效率更高.

(ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方

式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

(iii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟,因此第二种生产方式的效率更高.

(ⅳ)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈

对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少,因此第二种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

(2)由茎叶图知7981802m +=

=. 列联表如下:

(3)由于2

240(151555)20202020

K ⨯-⨯=⨯⨯⨯10 6.635=>,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

25.解:(1)因为1()1n 1a f x x ax x

-=-+- 所以211()a f x a x x -'=-+=221ax x a x

-+-- (0,)x ∈+∞ 令2()1h x ax x a =-+- (0,)x ∈+∞

(i)当0a =时, ()1h x x =-+ (0,)x ∈+∞

所以当(0,1)x ∈时, ()0h x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递增;

当(1,)x ∈+∞时, ()0h x <,此时()0f x '>,函数()f x 单调递增

(ii)当0a ≠时,由()0f x '=,

即210ax x a -+-=,解得1211,1x x a ==-

①当12

a =

时, 12x x =，()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤,函数()f x 在(0,)+∞上单调递减; ②当102a <<时, 1110a ->> (0,1)x ∈时, ()0h x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减；

1(1,1)x a

∈-时, ()0h x <,此时()0f x '>,函数()f x 单调递增； 1(1,)x a

∈-+∞时, ()0h x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减； ③当0a <时,由于110a

-< (0,1)x ∈时, ()0h x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减；

(0,)x ∈+∞时, ()0h x <,此时()0f x '>,函数()f x 单调递增；

综上所述:

当0a ≤时,函数()f x 在(0,1)上单调递减；

函数()f x 在(1,)+∞上单调递增； 当12

a =

时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当102

a <<时,函数()f x 在(0,1)上单调递减； 函数()f x 在1(1,1)a

-上单调递增; 函数()f x 在1(1,)a

-+∞上单调递减 (2)因为11(0,)42a =∈,由于(I)知, 121,3(0,2)x x ==∉,当(0,1)x ∈时, ()0f x '<, 函数()f x 单调递减:当(1,2)x ∈时, ()0f x '>,函数()f x 单调递增,所以()f x 在(0,2)上的最小值为1(1)2

f =- 由于“对任意1(0,2)x ∈,存在2[1,2]x ∈,使12()()f x

g x ≥”等价于“()g x 在[1,2]上的最小值不大于()f x 在(0,2)上的最小值12-

” 又22()()4g x x b b =-+-,[1,2]x ∈,所以

①当1b <时,因为min [()](1)g x g ==520b ->,此时与(*)矛盾

②当[1,2]b ∈时,因为2min [()]40g x b =-≥,同样与(*)矛盾 ③当(2)b ∈+∞时,因为min [()](2)84g x g b ==-，解不等式1842b -≤- 可得178

b ≥ 综上, b 的取值范围是17[,]8+∞