中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题

答题时注意：

1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线；

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．设a

1，则代数式a 2a 12

2

的值为( ).

10

（A）-6 （B）24 （C）y

kx

（D）12

2．在同一直角坐标系中，函数致是

（k

0

）与y

kx k

（k

0

）的图象大

（A） （B） （C） （D） 3、在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使⊿PAB、⊿PBC、⊿PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数（ ）

（A）1 （B）7 （C）10 （D）15

4．若x 1，y 0，且满足xy x，

y

xy

x

3y

，则x

y

的值为( ). （D）

112

（A）1 （B）2 （C） 5．设S

11

3

92

12

3

13

3

199

3

，则4S的整数部分等于( ).

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是 。 7．若关于x的方程(x 2)(x2

4x m) 0有三个根，且这三个根恰好可

以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是 .

8．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是 .

9．如图，点A，B为直线y x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线

y

1x

（

x＞0

）于

C，D

两点. 若

BD 2AC

，则

4OC OD

22

的值

为 .

10．如图，

AB

的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12 .

分，共80分）

2kx a

x bk6

1

11x的方程数）的根总是x＝1，试求a、b的值。

3

（a、b是常

12.已知关于x的一元二次方程x2

x ax b 0

2

cx a 0

的两个整数根恰好比方程

的两个根都大1，求a b c的值.

13．如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线y

23x

2

于P，Q两点.

（1）求证：∠ABP=∠ABQ；

（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60º，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.

14如图，△ABC中， BAC

PA

PB 5，PC 2

60

，AB

2AC

．点P在△ABC

内，且

，求△ABC的面积．

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1．A. 2 . C. 3. C. 4. C. 5. A 二、填空题

6. (a 1)2 7．3＜m≤4. 8．. 9．6. 10．84

91

三、解答题

11. 解：把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－2a

b 4 0

7 2a 0

取什么实数均成立，只有

要使等式（b＋4）k＝7－2a不论k

a

72

解之得

，b

4

12．解：设方程x2

2

ax b 0

的两个根为 ， ，其中 ， 为整数，且

≤ ，则方程x cx a 0的两根为 1， 1，由题意得

a， 1 1 a

，

两式相加得 即 ( 所以

1， 1；

2 2 1 0， 2)( 2) 3，

2 3， 2 1.

2 1，

2 3；

或

解得 或

5， 3.

又因为a （ ），b ，c （[ 1）（ 1）]， 所以 a 0，b 1，c 2

；或者a 8，b 15，c 6，

故a b c

3

，或29.

Q作y轴的垂线，垂足分别为C，　D. 13．解：（1）如图，分别过点P，　

设点A的坐标为（0，t），则点B的坐标为（0，-t）. 设直线PQ的函数解析式为y

kx t

,并设P，Q的坐

（xP，yP）,（xQ，yQ）.由 标分别为

y kx t，

22 y x，

3

得 于是 xPxQ

BCBD

32t

23

x kx t 0，

2

，即 t

2

23

xPxQ

2 3

23

.

2

于是

yP tyQ

2 t

3

xP txQ tBC

2

2

xP xQ

2

23

23

xPxQxPxQ

2 323

xP(xP xQ)

xQ(xQ xP)

xPxQ

.

又因为

PCQD

xPxQ

，所以

BD

PCQD

.

∽△BDQ，

因为∠BCP

∠BDQ 90 ，所以△BCP

故∠ABP=∠ABQ.

（2） 设PC

a

，DQ

b

，不妨设a≥b>0，由（1）可知

∠ABP=∠ABQ

所以 AC

30 ，BC

，BD

，

2

，AD

=2 .

因为PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ. 于是所以

PCDQ

ACAD

，即

ab

，

a b b

．

由（1）中xPxQ于是可求得a将b

2

32

t

，即 ab

32

，所以ab

32

，a b

2

2b

代入y

23

x

2

，得到点Q

2

，）.

2

1

再将点Q的坐标代入y kx

1，求得k

3

3

所以直线PQ

的函数解析式为y

x 1

.

3x

1

根据对称性知，所求直线PQ

的函数解析式为y14．解：如图，作△ABQ，使得

，或y

3

x 1.

QAB PAC， ABQ ACP，则△ABQ∽△ACP .

由于AB于是

2AC

，所以相似比为2.

AQ 2AP BQ 2CP 4

．

QAP QAB BAP PAC BAP BAC 60 .

由AQ

所以 于是

:AP 2:1知， APQ 90

BP

2

，于是PQ

P 3．

25 BQ PQ

22

，从而 BQP

90

．

AB

2

PQ (AP BQ) 28 12

8

22

.

2

故

S ABC

AB ACsin6 0 AB

2

3