生活中存在着各种形式的抛物线

抛物线及其标准方程(一)球在空中运动的 轨 迹是抛 物线规 律, 那么抛物线它有怎样 的几何特征呢? 二 次 函 数 y ax 2 bx c(a 0) 又到底是一条怎样的 抛物线?

复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条 定直线的距离的比是常数e的点的轨迹. (其中定点不在定直线上) (1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e>1时，是双曲线;l l M F · F M

·

e>1 0<e <1 那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？

问题探究： 当e=1时，即|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么？

H

··F

M

l e=1几何画板观察

探 究 ？

M

H

·

C

·F

l e=1可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等. 点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

二、抛物线的定义：在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,

H

d

M

·

C

·F

焦 点

准线

l e=1

直线l 叫抛物线的准线

d 为 M 到 l 的距离MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d 那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简 单,其标准方程形式怎样?

三、抛物线的标准方程：

yyM

如何建立坐标系呢？

H

·

C思考：抛物线是 轴对称图形吗？ xx 怎样建立坐标系, 才能使焦点坐标 和准线方程更简 x 捷?

y00l

·F

e=1

0

标准方程的推导如图，以过F点垂直于直线l的直线为x轴， F 和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系. 设 | FK | p, ( p 0), M ( x, y), p p 则F ( ,0), l : x 2 2 p 2 p 2 MF d 即 ( x ) y | x | 2 2y

lK

d

.M.F

O

x

p2 p2 x 2 px y 2 x 2 px 4 4

y 2 2 px, ( p 0)(其中p是焦点到准线的距离)

--抛物线标准方程

标准方程把方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上. 且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x 2 2 想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也 会使抛物线方程的形式简单 ？

﹒ ﹒ ﹒﹒y y y y

o

x

o

x

o

o

x

x

方案(1)

方案(2)

方案(3)

方案(4)

想一想?这种坐标 系下的抛物 线方程形式 怎样?

y2=2px (p>0)

解：设取过焦点F且垂直于准线l的 直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴 y轴 x轴 设︱KF︱= p p p p M 则F( 0,,0),l:x = y 2 2 2 设点M的坐标为(x,y), N 由定义可知 |MF|=|MN| 即：

y

· ·F

oK

x

l

p 2 p y y (x ) x 2 x y 2 2化简得

y y2 = 2px(p>0) x

y2=2px (p>0)

x 2 py( p 0)2

一条抛物线，由于

它在坐标平面内的位置 不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四 种形式.

图y

像

方p 0

程

焦

点

准

线

y 2 2 pxO

F

x

p F ( , 0) 2p F ( , 0) 2p F (0, ) 2

p x 2

y

y 2 2 px

FO

x

p 0

p x 2p y 2

y

F

x 2 2 pyxll

O

p 0x 2 2 py p 0

yO

x

F

p F (0, ) 2

p y 2

图形

标准方程y 2 2 px

焦点坐标 p ,0 2 p ,0 2

准线方程p x 2

p 0 y 2 2 px p 0

p x 2

x 2 2 py

p 0

p 0, 2

p y 2

x 2 2 py p 0

p 0, 2

y

p 2

y

yFx

y

yF

O

FO

x

O

xl

O

lF

x

y 2 2 px p 0相同点：(1)顶点为原点;

y 2 px2

x 2 2 py p 0

x 2 2 py

p 0

(2)对称轴为坐标轴; 不同点：

p 0 记忆方法：P永为正，一次项变量为对 称轴，一次项变量前系数为开口方向， 且开口方向坐标轴的正(负)方向相 同

(3)顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为p/2. (1)一次项变量为x(y),则对称轴为x(y)轴; (2)一次项系数为正(负),则开口方向坐标轴的正(负)方 向.