荔湾区2016-2017学年第二学期期末质量监测试

高一数学

本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只

有一个是正确的．

1. 与60- 角的终边相同的角是

A. 300

B. 240

C. 120

D. 60

2. 不等式240x y -+>表示的区域在直线240x y -+=的

A. 左上方

B. 左下方

C. 右上方

D. 右下方

3. 已知角α的终边经过点(3,4)P --，则cos α的值是 A. 45- B. 43

C. 35-

D. 35 4. 不等式23100x x -->的解集是

A ．{}|25x x -≤≤

B ．{}|5,2x x x ≥≤-或

C ．{}|25x x -<<

D ．{}|5,2x x x ><-或

5. 若3

sin ,5αα=-是第四象限角，则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭

的值是 Ａ．45 B

Ｄ．17

6. 若,a b ∈R ，下列命题正确的是

A ．若||a b >，则22a b >

B ．若||a b >，则22a b >

C ．若||a b ≠，则22a b ≠

D ．若a b >，则0a b -< 7. 要得到函数3sin(2)5y x π=+

图象，只需把函数3sin 2y x =图象 A ．向左平移5π个单位 B ．向右平移5

π个单位 C ．向左平移10π个单位 D ．向右平移10

π个单位

8. 已知M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，P 为平面ABCD 内任意—点，则

PA PB PC PD

+++ 等于 A. 4PM B. 3PM C. 2PM D. PM

9. 若3cos 25

α=

，则44sin cos αα+的值是 A. 1725 B ．45 Ｃ．65 D ． 3325

10. 已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是 A. 4

B. C. 2

D. 11. 已知点(),n n a 在函数213y x =-的图象上，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值为

A ．36

B ．36-

C ．6

D ．6-

12. 若钝角ABC ∆的内角,,A B C 成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的

取值范围是

A ．1,2（）

B ．2+∞（，）

C ．[3,)+∞

D ．(3,)+∞

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 把答案填在答题卡上.

13. 若向量(4,2),(8,),//x ==a b a b ，则x 的值为 ．

14. 若关于x 的方程2

0x mx m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是 ． 15. 设实数,x y 满足,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩

则2z x y =+的最大值是 ．

16.

设2()sin cos f x x x x =，则()f x 的单调递减区间是 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分10分)

已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q (1)q ≠，证明：1(1)1n n a q S q

-=-．

18．（本小题满分12分）

已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ．

（1）若a 与b 的夹角120θ= ，求||+a b 的值；

（2）若()()k k +⊥-a b a b ，求实数k 的值.

19.（本小题满分12分）

在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin c a B b A =+．

（1）求A ；

（2）若2a =，b c =，求ABC ∆的面积．

20．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n ++=

(1,2,3,)n = ． （1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是等比数列； （2）设21

1

2n n n n b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

D A 21.(本小题满分12分)

某电力部门需在A 、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A 、B 两地距离.

km 的C 、D 两地（假设A 、B 、C 、D 在同一平面上）测得∠75ACB = ，45BCD ∠= ，30ADC ∠= ，45ADB ∠=

（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A 、

B

问施工单位应该准备多长的电线？

22.(本小题满分12分) 已知,,A B C 为锐角ABC △的内角，sin ,sin sin A B C =（）a ，(1,2)=-b ，⊥a b .

（1）tan B ，tan tan B C ，tan C 能否构成等差数列？并证明你的结论；

（2）求tan tan tan A B C 的最小值.

2016-2017学年第二学期期末质量监测

高一数学参考答案与评分标准

说明：

1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

填空题 13. 4 14. (0,4) 15. 3 16. ()7+

,12

12k k k π

πππ⎡⎤

+

∈⎢⎥⎣

⎦

Z 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)

已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q (1)q ≠，证明：1(1)

1n n a q S q

-=-．

证法1：（错位相减法）因为11n n a a q -=， …………………………………2分 所以1111n n S a a q a q -=+++ …………………………………4分

211111n n n qS a q a q a q a q -=++++ …………………………………6分

所以11(1)n n q S a a q -=- …………………………………8分

当1q ≠时，有1(1)1n n a q S q

-=-． …………………………………10分

证法2：（叠加法）因为}{n a 是公比为q 的等比数列，

所以21a a q =，32a a q =，1,n n a a q +=L …………………………………2分

所以112)1(a q a a -=-，

223)1(a q a a -=-，…，n n n a q a a )1(1-=-+，…………………………………6分

相加得n n S q a a )1(11-=-+. …………………………………8分

所以当q ≠1时，111(1)11n n n a a a q S q q

+--==--. …………………………………10分 证法3：（拆项法）当q ≠1时，

11111111a a q q a a q q q

-=⋅=----， …………………………………2分 2

11211111a q a q q a a q q q q

-=⋅=----，……， 11111111n n

n n a q a q q a a q q q q

---=⋅=----， …………………………………8分 以上n 个式子相加得

q

q a q q a q a S n n n --=---=1)1(11111. …………………………………10分

18．（本小题满分12分）

已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ．

（1）若a 与b 的夹角120θ=

，求||+a b 的值；

（2）若()()k k +⊥-a b a b ，求实数k 的值. 解：（1）1|||cos1201212⎛⎫

=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭

a b =|a b ，…………………………………2分 22||()+=+a b a b 222=++

a a

b b …………………………………3分 22

|2|=++ a |a b b | …………………………………4分 又||1=a ，||2=b ，

所以2||+a b 22|2|1243=++=-+= a |a b b |，…………………………………5分

所以||+a b …………………………………6分

（2）因为()()k k +⊥-a b a b ， 所以()()0k k +-=

a b a b ， …………………………………7分

即222

0k -=a b …………………………………9分 因为||1=a ，||2=b ，

所以240k -=， …………………………………11分 即2k =±. …………………………………12分

19.（本小题满分12分）

在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin c a B b A =+．

（1）求A ；

（2）若2a =，b c =，求ABC ∆的面积．

解：（1）解法1：由cos sin c a B b A =+及正弦定理可得

sin sin cos sin sin C A B B A =+. …………………………………2分 在ABC ∆中，C A B π=--，所以 sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+. …………………………………4分 由以上两式得sin cos A A =，即tan 1A =， …………………………………5分

又(0,)A π∈，所以4

A π=． …………………………………6分

解法2：由cos sin c a B b A =+及余弦定理可得 222

sin 2a c b c a b A ac

+-=⨯+， …………………………………2分 即2222sin b c a bc A +-=， …………………………………3分 由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=

由以上两式得sin cos A A =，即tan 1A =， …………………………………5分 又(0,)A π∈，所以4A π

=． …………………………………6分

（2）ABC ∆

的面积1sin 24

S bc A bc ==， …………………………………7分 由2a =，及余弦定理得

222242cos b c bc B b c =+-=+， …………………………………8分 因为b c =

，所以2242b =，

即24b ==+， …………………………………10分

D A

故ABC ∆

的面积2144

S b =

==． ………………………………12分

20．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n ++=

(1,2,3,)n = ． （1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是等比数列； （2）设21

1

2n n n n b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（1）因为，11n n n a S S ++=-， …………………………………1分 又12n n n a S n

++=， 所以1(2)()n n n n S n S S ++=-， …………………………………2分 即12(1)n n nS n S +=+， 所以12()1n n S S n n n

*+=⋅∈+N ． …………………………………4分 故数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是首项为2，公比为2的等比数列． …………………………………6分 （2）由（1）得

2n n S n =，即2n n S n = ． …………………………………8分 所以21211122111=2(1)2(1)1

n n n n n n n b S S n n n n n n ++++===-+++ ，……………………10分 故数列{}n b 的前n 项和

11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭

． …………………12分

21.(本小题满分12分)

某电力部门需在A 、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A 、B 两地距离.

km 的C 、D 两地（假设A 、B 、C 、D 在同一平

面上）测得∠75ACB = ，45BCD ∠= ，

30ADC ∠= ，45ADB ∠= （如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A 、B

解：在ACD ∆中，由已知得30CAD ∠= ，又30ADC ∠=

,

所以AC CD ==． ……………………………………………………2分 在BCD ∆中，由已知可得60CBD ∠= ，由正弦定理得

7545+30sin 60sin 602

BC === （）.…………………………………6分 在ABC ∆中，由余弦定理得

2222cos AB AC BC AC BC BCA =+-⋅∠

2cos755=+-⋅= ， ………………………9分

所以，AB = ……………………………………………………10分 故施工单位应该准备电线长为5km . ………………………………………………12分

22.(本小题满分12分)

已知,,A B C 为锐角ABC △的内角，sin ,sin sin A B C =（）a ，(1,2)=-b ，⊥a b .

（1）tan B ，tan tan B C ，tan C 能否构成等差数列？并证明你的结论；

（2）求tan tan tan A B C 的最小值.

解：（1）依题意有sin 2sin sin A B C =. ……………………………………………2分 在ABC △中，A B C π=--，

所以sin sin

+=sin cos cos sin A B C B C B C =+（），………………………………3分 所以2sin sin =sin cos cos sin B C B C B C +. …………………………………4分 因为ABC △为锐角三角形，所以cos 0,cos 0B C >>，所以

tan tan 2tan tan B C B C +=， ……………………………………………5分 所以tan B ，tan tan B C ，tan C 成等差数列. ……………………………………6分

（2）法一：在锐角ABC △中，

tan tan tan tan()tan()1tan tan B C A B C B C B C

π+=--=-+=-

-，……………………7分 即tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++， ……………………………………8分 由（1）知tan tan 2tan tan B C B C +=，于是

tan tan tan tan 2tan tan A B C A B C =+≥， …………10分

整理得tan tan tan 8A B C ≥， …………………………………………11分 当且仅当tan 4A =时取等号，

故tan tan tan A B C 的最小值为8. …………………………………………12分 法二：由法一知tan tan tan 1tan tan B C A B C

+=-

-， ………………………………………7分 由（1）知tan tan 2tan tan B C B C +=，于是 2

tan tan 2(tan tan )tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan B C B C A B C B C B C B C

+=-⨯=---， ……8分 令tan tan (1)B C x x =>，则

222tan tan tan 2(1)4811

x A B C x x x ==-++≥--，……………………………11分 当且仅当2x =，即tan 4A =时取等号，

故tan tan tan A B C 的最小值为8. …………………………………………12分