2011考验数学

汤家凤主讲

第一讲 极限与连续

主要内容概括（略） 重点题型讲解

一、极限问题

类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）lim

1 11

； n 1 33 5(2n 1)(2n 1)

n

k3 1

（2）lim 3；

n k 2k 1

（3）lim[

n

k(k 1)]

k 1

n

1

n

；

2．求下列极限：

111 ； （1）lim 222n

4n 24n n 4n 1

3．求下列极限： （1）lim

n

1

22

n 1

1n2 22

； 22 n n 1

（2）lim

n

n!

； n

n

（3）lim

1

。 2n i 1i 1

n

n

类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限：

(n 1)n 11xxx

sin（1）limcoscos2 cosn(x 0)； （2）lim； nn n nn222

2．求下列极限： （1）lim1 sinx

x 0

1

21 cosx

；

1

（3）lim

1 tanx x

x 01 sinx

ln(1 2x)

； （4）lim cos ；

x

1 x

x2

类型三：利用等价无穷小和马克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限：

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tanx sinxetanx ex

（1）lim； （2）lim；

x 0x 0x(1 cosx)x(1 cosx)

（3）lim

x 0

12 cosxx11

； （4）[() 1]lim( )； 322x 03xxtanx

(3 x)x 3x

（5）lim； 2x 0x

ln(1

（6）设lim

x 0

f(x)

)

A，求limf(x)。

x 0x2ax 1

2．求下列极限：lim

cosx e

x 0x3sinx

x2

2

类型四：极限存在性问题：

1．设x1 1,xn 1 xn 0，证明数列{xn}收敛，并求limxn。

n

2．设f(x)在[0, )上单调减少、非负、连续，an 证明：liman存在。

n

f(k)

k 1

n

n

1

f(x)dx(n 1,2, )，

类型五：夹逼定理求极限问题：

sinnx

dx； 1．求lim n 01 x

1

2．lim(a b c)(a,b,c非负)；

n

nn

1nn

x2 n

3．lim x 2 (x 0)。 n

类型六：含参数的极限问题：

3 2

1．设lim(xsin3x ax b) 0，求a,b；

x 0

n

x2 1

ax b)2．设lim 3，求a,b； x x 1

类型七：中值定理法求极限： 1、limn(arctan

n

1

2x 1

2

n

arctan

12x 1

)； n 1

2、limx(e

x

2

e)。

类型八：变积分限函数求极限：

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x2

0ecostdt x 1、lim。

x 0(x tanx)(x 1 1)

x

t

2、设f(x)连续，且f(1) 1，则lim

x 1

1x1

f(xt)dtx3 1

。

二、连续与间断的判断

ln(1 x)

,x 0 x

1．设f(x) 0,x 0，讨论函数f(x)在x 0处的连续性。

x x, 1 x 0 x

11 xx

2．讨论f(x) (2 1)(2 1),x 0在x 0处的连续性。

1,x 0

三、连续性命题的证明

1．设f(x) C[a, )且limf(x)存在，证明f(x)在[a, )上有界。

x

2．设f(x)在[a,b]上连续，任取p 0,q 0，证明：存在 (a,b)，使得

pf(a) qf(b) (p q))f( )。

第二讲 微分学

第一部分 一元函数微分学

内容复习（略） 重点题型讲解

（一）与导数定义相关的问题

f(x0 h) f(x0 h)

( 0)。

h 0h

f(x)

2．设f(x)在x 1处连续，且lim2 2，求f (1)。

x 1x 1

1．设f (x0)存在，求lim

3．设f(x)在( , )上有定义，对任意的x,y有f(x y) f(x)f(y)，且f (0) 1，求f(x)。

ef(x) exf(x)

______。 4．设f(x)二阶连续可导，且lim 1，f (0) e，则lim2x 0x 0xx

5．设f(x)在( , )上有定义，且对任意的x有f(x 1) 2f(x)，又当x [0,1]时，

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有f(x) x(1 x)，讨论f(x)在x 0处的可导性。 （二）各类求导数的问题 1．设y e

sin1x

2

1 xx

e，求y ； 1 x

，求y ；

(101)

2．设y e

1 x1 x

3．y x(x 1)(x 2) (x 100)，求y (0),y

；

x t ln(1 t)d2y

4．设y f(x)由 确定，求； 232

dx y t t

5．设x y，求

xyy

x

dy

； dx

dy

； dxx 0

6．设e tan(xy) y，求

t

dy x te

7．设y y(x)由 2确定，求； 2

dx ty tant 3siny 5

x

sinx 2ae,x 0

8．设f(x) 在x 0处可导，求a,b； 3

9arctanx 2b(x 1),x 0

9．求下列函数的导数：

dy

；

xdxxdy

（2）设y tf(t2 x2)dt，求；

0dx

（1）设y

2xcostdt，求2 0

10．设f(x)连续， (x) 处的连续性。

1

f(xt)dt，且lim

x 0

f(x)

A，求 (x)，并讨论 (x)在x 0x

g(x) cosx

,x 0

f(x) 11．设，其中g(x)二阶可导且g(0) 1。 x

a,x 0

（1）当a为何值时，f(x)在x 0处连续；（2）求f (x)；（3）研究f (x)在x 0处的连续性。

解答：

（1）limf(x) lim

g(x) cosxg(x) g(0)g(0) cosx

lim[ ]

x 0x 0x 0xxxg(x) g(0)1 cosx lim[ ] g (0)， x 0xx

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于是当a g (0)时，f(x)在x 0处连续。

g(x) cosx

g (0)

f(x) f(0)（2）当x 0时，lim limx 0x 0xx

g(x) cosx g (0)xg (x) g (0) sinx1 lim lim [1 g (0)]， 2x 0x 02x2x

1

即f (0) [1 g (0)]；

2

x[g (x) sinx] g(x) cosx

当x 0时，f (x) ，于是 2

x 1

[1 g (0),x 0 2

f (x) 。

x[g(x) sinx] g(x) cosx ,x 0 x2

（3）因为limf (x) lim

x[g (x) sinx] g(x) cosx

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