浙江财经学院数分考试资料

数学分析（一）期末复习参考资料（08统计、信计）

一、填空题

x2 52

sin 1. lim

x 3x 2x

2. 用数学的分析语言叙述limf(x) 的定义

x

3. 数集 ( 1)n 4．设y

n

n N 的上确界是 ，下确界是 。 n 1

1

(x 1)，则n阶导数y(n) 。 x 1

1,

5．设f(x) 0,

1,

x 1

x 1，g(x) ex，则g[f(x)] 。 x 1

( 1)n

6．数列 xn (n 1,2,3, )的上确界sup{xn} ，inf{xn}

n

7．函数f(x)

2 12 1

1x

1x

中x 是跳跃间断点。

8．已知f (x) 2，则lim

x 0

x

。

f(x0 2x) f(x0)

x sinx

x x sinx

1x 3

10．lim(1 )

x x

9．lim

11．已知f(x) f (0) ，左导数f (0) 。 12．lim(1

n

2n

) 。 n

x

13．函数y x(x 0)的微分dy 。

x cost

t 14．曲线 在点处的切线方程为 t

3y sin 2

15．写出函数

11

。 带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式

1 x1 x

3

2

16．函数f(x) x 3x 4的凸区间是。

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1 cosx

17. 设f(x) x2

a

x 0x 0

若f(x)在点x 0处连续，则a

18. =

n19. 曲线y ln(1 x)在点 0,0 处的切线方程是，法线方程是

20. 函数y sin2x在区间

, 上满足罗尔中值定理公式中的 。 22

21. 函数y ln(x2 1)在区间 1,2 上的最大值是，最小值是

6n 1

22. an

k 1

19n k

2

liman 。

n

23. 函数 f(x)

x 3

的全部间断点是。

ln|x 3|

f(x0) f(x0 2h)6

, x0 。

h5

24. f(x) ln(1 x2), 已知 lim

h 0

二、选择题

1 x

, g(x) 1 则当x 1时，有（ ）1.

设f(x) 。 1 x

（A）f(x)与g(x)为等价无穷小 （B）f(x)与g(x)为同阶无穷小但不等价； （C）f(x)是g(x)的高阶无穷小 （D）f(x).是g(x)的低阶无穷小； 2． 当x 时，f(x)不以a为极限的定义是（ ）。 （A） M 0, 0, x M, f(x) a . （B） M 0, 0, x0 M, f(x0) a . （C） 0 0, M 0, x0 M, f(x0) a 0. （D） 0 0, M 0, x0 M, f(x0) a 0.

3． 数集A ( 1, 0.1) 0 ( 0.1 ,1 )的所有聚点的集合是 ( )

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（A）A ； （B）[ 1, 0.1 ] 0 [ 0.1 ,1 ]；

[ 0.1 ,1 ] ； ( 0.1 ,1 )； （C）[ 1, 0.1 ] （D）( 1, 0.1)

4. 设f(x)在x 0处二阶可导，且 lim

x 0

f (x)

1, 则（ ）。 x

（A）x 0是f(x)的极小值点； （B）x 0是f(x)的极大值点； （C）(0,f(0))为曲线y f(x)的拐点； （D） 以上都不是。

,)0内，f (x) 0,f (x) 0，5. 设f( x) f(x)(x ( , ))，在( 则在( ,0)

内有（ ）。 （A）f (x) 0,( C ) f (x) 0,

f (x) 0 （B）f (x) 0,f (x) 0 f (x) 0 （D）f (x) 0,f (x) 0

1 3

xsin,

6. 设f(x) x

0,

x 0x 0

， 则在x 0处，f(x)是（ ）。

（A）不连续 （B）连续但不可导 （C）导函数连续 （D）二阶导函数连续； 7. 设f(x) ex,g(x) lnx 则f'[g'(x)] 。

11

11xx

（A）e （B）e （C）ex （D）-2ex

xx

8. 函数 f(x)=x+

1

-2 在 1,2 上满足Lagrange中值定理 = x

(A)-1 (B)1 (C)3 (D)2

29. 设f(x) x

2001

sinx 则 f(2001)(0)= 。

(A) 0 (B) 1 (C) 2001! (D) 2001!+1 10. 设y=f(x)可导，则 y-dy是比 x

(A)高阶 (B)低阶 (C) 同阶 (D) 等阶 11. 设f(x)在 0,a 上具有一阶导数，且有xf(x) f(x) 0，则函数

f(x)

在(0,a)上 。 x

(A)递增 (B) 递减 (C)有极大值 (D) 有极小值

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12． 0,有无穷多个an (a ,a )是liman a的（ ）条件。

n

A 充分但非必要 B 必要但非充分 C 充要 D 既非充分也非必要 13．设lim|f(x)| l，则limf(x)（ ）。

x x0

x x0

A 一定存在且等于l B 一定存在但不一定等于l

C 不一定存在,但若存在必等于l D 不一定存在,若存在也不一定等于l 14．设函数f(x) xsin

1

x

，则x 0是f(x)的（ ）。 A 连续点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 第二类间断点 15．已知函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则以下说法不正确的是（ ）。

A f(x)在[a,b]上一定有界 B 方程f(x) 0在[a,b]上至少存在一根 C 当f(x)还在[a,b]上严格单调时, f(x)在[a,b]上一定存在连续的反函数 D f(x)在[a,b]上一定一致连续

16．若函数f(x)在点x0不可导，则（ ）。

A 曲线y f(x)在点(x0,f(x0))处的切线一定不存在

B 极限limx xf(x)一定不存在 C 函数f(x)在点x0一定不连续

D 函数f(x)在点x0一定不可微 17. 函数y

ln(2 x)

x

的定义域为（ ） (A)x 0且x 2 (B)x 0 (C)x 2 (D) x 2且x 0.

18. 函数y f(x)在点x x0处左、右极限都存在并相等是它在该处有极限的（ (A)必要条件 (B)充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件.

1

2x

19. 函数f(x)

sinxx e

1 x

的间断点个数为（ ）。 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3. 20. 设f

'(x) lncosx 则f"(x)=

(A)tanx (B) tanx (C) cotx (D) cotx.

）。

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21. 已知f()

1x1

则df(x)= （ ）。 x 1

(A)

11xx

(B) (C) (D)dx dxdx dx.

(x 1)2(x 1)2(x 1)2(x 1)2

22. 设f(x)在(-a,a)为偶函数，则f( x)在( a,a)是（ ）。

A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D可能是奇函数，也可能是偶函数

22. 设xn a yn,且lim(yn xn) 0,则{yn}与{xn}（ ）。

n

A都收敛于 B都收敛但不一定收敛于 C可能收敛也可能发散 D都发散

23. 定义域为[a,b],值域为( 1,1)的连续函数（ ）

A在一定的条件下存在 B存在且唯一 C存在且唯一 D不存在

24. 设函数f(x)在点x0存在左右导数，则f(x)在点x0（ ）。

A可导 B不可导 C连续 D不连续

25. 设函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上（ ）。

A有极大值点 B有极小值点 C有极大值点或 极小值点 D未必有极值点

三 计算题 11 ) 1.lim(

x 1lnxx 1

x etd2y2. ,求2

t

dx y te

d2y

3.y ln(x,求dy和2.

dx

4.由方程e

x y

xy 0确定隐函数y=f(x) ,求

dy. dx

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5.设x1 1,xn 1

xn 1

,求limxn.

x 1 xn 1

6.lim(3x 2,求常数a,b.

x

7. lim(

x 1

x1

) x 1lnx

tanx

1 8. lim x 0 x

9. n

10.

x 011. limcotx ln

x 0

1 x

1 x

sinxx2

12. lim()

x 0xexsinx x(1 t)13. lim

x 0x3

x2 1

ax b) 0求a,b. 14. 已知lim(

x x 1

15.

设y ln(x1

求 y';

16. 设y sin(sin(sinx)) 求y' ； 17. 设y x

xx

求y'；

2

(50)

18. 设f(x) xsin2x求f(x)；

x f(t)d2y

19. 已知 求2，其中f"(t)存在，且f'(t) 0。

y tf(t) f(t)dx

20. 求数列极限lim[

n

111 ]； 222n(n 1)(2n)

2

21. 求函数极限limx(x 1 x)；

x

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22. 求函数极限lim(

x 0

11 x)； xe 1

dyxa2x22

a x arcsin的导数（其中a为正常数）23. 求函数y ；

dx22a

2

x

24. 求函数f(x) 2

x

x 0

的二阶导数f''(x)； x 0

25. 讨论函数f(x)

1

lnx 的单调区间、极值与最值。 x

5n2 3n 1

26. lim 2n n 1sinx

x x

2 x

28. lim(1 )

x x

27. lim

29. y x)求y'; 30. y xe ex logax求y'; 31. y exsinx求y"(0); 32. y e

sin(ax b)

求dy;

所确定的函数y y(x)的导数及0 t ；

x acost33. 求上半椭圆的参数方程

y bsint

二阶导数。

34. y

求y'。

xg(x)

35. 设f,g是可导函数，y f(e)e求y'。

x236. y 求y'。 1 x37. 设函数y

f(x)由方程arctan38. y x

sinx

ydy 。 xdx

,求dy。

3n ( 2)n

39. limn 1。 n 1n 3 ( 2)

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x2 (arctanx)2

40. lim。

x 0sin3x ln(1 x)x2 (arctanx)2

41. lim。

x 0sin3x ln(1 x)

42.

n

四 证明题

x3

sinx x 。 1. 证明 当0 x 时，26

2. 证明arcsinx arccosx

2

，x 1,1 。

3. 证明：方程x2x 1在(0,1)内恰有一个根。 4. 设a0 0，an 1

11

(an ) n 0,1,2, ， 2an

n

证明：（1）数列 an 收敛；（2）liman 1。

5. （1）应用Lagrange中值定理证明：若函数f(x)在区间I上可导且f'(x) 0,x I，

则f(x)为区间I上的一个常量函数；

（2）应用（1）的结果证明：若函数f(x)和g(x)均在区间I上可导，且

f'(x) g'(x),x I，则在I上函数f(x)和g(x)只相差一个常数。 6. 证明不等式ex 1 x,x 0。

7. 设a,b R，证明：若对任何正数 有b a ,则b a。

8.

设x1 xn 1 n 1,2, )，证明数列{xn}收敛，并求极限limxn。

n

9. 设f(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)，求证：方程f'(x) 0有且仅有三个不同的实根。 10. 设函数f(x)在x a处二阶可导，证明：lim

h 0

f(a h) f(a h) 2f(a)

f''(a)。

h2

x2 4

11. 用“ ”定义验证函数 f(x) 在点x0 2连续。

5x 2

12. 设函数f在区间[ 0 , 2a ]上连续 , 且 f( 0 ) f( 2a ) ，

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试证明: c [ 0 , a ], 使 f( c ) f(c a)。

13. 设函数f(x)在区间 I上可导, 且导函数 f (x)在该区间上有界。试证明函数 f(x)

在区间 I上一致连续。

14. 设函数f(x)在区间[ 0 , a ]上二阶可导,且f( a ) 0，F(x) x2f(x)，试证明:

( 0 , a ), 使 F ( ) 0。

15. 试证明: 对 x1,x2, ,xn R, 有不等式

22

x1 x2 xnx12 x2 xn

。

nn

16. 用定义证明lim

x 11

。

x 2x 12

17. 证明：方程x3 3x c 0，（其中c为常数）在 0,1 上可能有两个不同的实根。 18. 若数列 xn 收敛于a（有限数），它的任何子列xnk也收敛于a。 19. 用定义证明lim

x 1

x(x 1)1

。 2x2 1

20. 设f(x)、g(x)在 a,b 上连续，在(a,b)内可导，其g'(x) 0，则 (a,b)使得

h'( ) 0，其中 h(x) f(x)

f(b) f(a)

g(x)。

g(b) g(a)

1 （n 1 、 2 、 ） ，证明 xn 是柯西数列。 2n

21. 设数列 xn 满足条件xn 1 xn

n2 11

。 22. 用定义证明lim2

n 2n 72

23. 证明不等式

x sinx x , x (0,) 2

2

24. 设f(x)在有限开区间(a,b)内连续，且f(a 0)，f(b 0)存在，则f(x)在(a,b)上

一致连续。

2n2 12

。 25. 用“ N”定义验证lim2

n 3n 23

26. 设f '(x0) 0，f '(x0) 0，证明x0是f(x)的极小值点。

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27. 证明f(x) x2在 0 , 上内闭一致连续（即在 0 , 中的任何闭子区间上一致

连续）。

2n2 n 32

。 28. 用“ N”定义验证数列极限lim

n 03n2 253

29. 证明：若函数f(x)在[a, )上连续，且limf(x) A（有限数），则f(x)在[a, )

x

上一致连续。

30. 设f(x)在 0, 1 上二阶可导，f(0) f(1) , f (1) 1,求证： ( 0, 1 ) 使

f ( ) 2

31. 利用确界存在定理证明闭区间套定理。

32. 设x 0，常数a e，证明：(a x)a aa x。 33. 设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且lim

f( ) 0。

x

f(x)f(x)

lim 0,证明:存在 ( , ),使x xx

34. 若函数f(x)在[a,+∞]上可导,对任意x∈(a,+∞),有f (x) M,M是常数,则

f(x)

0。

x x2

1

35. 证明函数y sin在(c,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续。

x

五 叙述题

1. 叙述闭区间套定理。

lim

2. 用肯定的形式叙述函数f(x)在数集D上无上界。 3. 叙述Rolle微分中值定理。 4. 叙述limf(x) 的定义。

x

5. 叙述函数f(x)在数集D上一致连续的定义。

6. 写出Taylor公式中，f(x)在x0点处的Taylor多项式Tn(x)，Lagranre型余项和Peano

型余项。

7. 述函数关系与数列极限关系的Heine定理（即归结原理）。 8. 叙述Lagrange微分中值定理。

9. 用肯定的 语言叙述f(x)在数列集D上不一致连续。 10. 叙述数列 xn 的Cauchy准则。

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11. 叙述函数y f(x)的一阶微分形式的不变性。

12. 写出函数f(x)在点x0带 Lagrange型余项的Taglor公式。 六 讨论题及其它类型题

1. 求函数f(x) x 2sinx在区间[0,2 ]上的单调区间和极值.

2. 设函数f(x)具有一阶连续导数，f"(0)存在，且f'(0) 0，f(0) 0，

f(x)

,

g(x) x

a,

x 0x 0

（1）确定a 使g(x) 处处连续；（2）对以上所确定的a值，证明g(x)具有一阶连续导数。

3. 把长为l的线段截为两段，问怎样的截法能使以这两段为边长所组成的矩形面积最大？

1

xsin , x 0

4. 讨论函数f(x) 在x 0点处的左、右导数。 x

0 , x 05. 设fn(x)

nx

（n 1 、 2 、 ） ，(0 e A ) ，讨论fn(x)x e,A ，22

1 nx

在e,A上的单调性的最大值点。

1x

6. 讨论函数f(x)

2 12 1

1x

在x 0点的左、右极限。

ex e x

7. 讨论f(x) 的单调性、极值点、凸性和拐点。

2

8. 指出函数f(x) 9. 讨论函数f(x)

x

的不连续点，并确定其不连续点的类型。 sinx

12e

x22

的单调性、极值点、凸性、拐点。

10. 举出最大、最小值均不存在，但上、下确界均存在的数集的例子。

1

11. 指出函数f(x) x sin的不连续点，并确定其不连续点的类型。

x12. 求函数f(x) esinx在x 0处的5次Taylor多项式。