苏教版初中数学一轮复习(上)教师版
发布时间:2024-11-21
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第一课时 实数的有关概念
【知识梳理】 1. 实数的分类:整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.
2. 数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.实数和数轴上的点一一对应. 3. 绝对值:在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值,记作∣a∣,正数的绝对值是它本身;
负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
4. 相反数:符号不同、绝对值相等的两个数,叫做互为相反数.a的相反数是-a,0的相反数是0. 5. 有效数字:一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近
似数的有效数字.
6. 科学记数法:把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法.
105,0.000043=4.3×10-5. 如:407000=4.07×7. 大小比较:正数大于0,负数小于0,两个负数,绝对值大的反而小.
8. 数的乘方:求相同因数的积的运算叫乘方,乘方运算的结果叫幂.
9. 平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二
次方根).一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.
10. 开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.
11. 算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平
方根,0的算术平方根是0.
12. 立方根:一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做
三次方根),正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0的立方根是0. 13. 开立方:求一个数a的立方根的运算叫做开立方. 【思想方法】
数形结合,分类讨论
【例题精讲】 例1.下列运算正确的是( )
1
A. 3 3 B.() 3
13
C
3 D
3
例
) A
. B
C
.例3.2的平方根是( )
A.4 B
C
. D
.例4.《广东省2009年重点建设项目计划(草案)》显示,港珠澳大桥工程估算总投资726亿元,用科学记数法表示正确的是( )
A.7.26 10 元 C.0.726 10 元
1110
D
B.72.6 10 元
11
9
D.7.26 10元
例5.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,
则必有( )
0 例5图
A.a b 0 B.a b 0 C.ab 0 D.例6.(改编题)有一个运算程序,可以使:
a
0 b
a⊕b = n(n为常数)时,得
(a+1)⊕b = n+2, a⊕(b+1)= n-3
现在已知1⊕1 = 4,那么2009⊕2009 = . 【当堂检测】
1
1.计算 的结果是( )
2
A.
3
1 6
B.
111
C. D. 688
B.
2. 2的倒数是( ) A.
1
2
1 2
C.2 D. 2
3.下列各式中,正确的是( )
A.2 3 B.3 4 C.4 5 D.14 16 4.已知实数a
在数轴上的位置如图所示,则化简|1 a| ) A.1 B. 1 C.1 2a
5. 2的相反数是( ) A.2
B. 2
C.
D.2a 1
D.
第4题图
1 21 2
6.-5的相反数是____,-
1
的绝对值是
2
=_____.
7.写出一个有理数和一个无理数,使它们都是小于-1的数. 8.如果 A.
2
( ) 1,则―
33 2
‖内应填的实数是( ) 2 3
B.
2
C.
33
D.
2
第2课时 实数的运算
【知识梳理】
1.有理数加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;一个数同0相加,仍得这个数.
2.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.
3.有理数乘法法则:两个有理数相乘,同号得正,异号得负,再把绝对值相乘; 任何数与0相乘,积仍为0.
4.有理数除法法则:两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除; 0除以任何非0的数都得0;除以一个数等于乘以这个数的倒数. 5.有理数的混合运算法则:先算乘方,再算乘除,最后算加减; 如果有括号,先算括号里面的. 6.有理数的运算律:
加法交换律:a+b=b+a(a、b为任意有理数) 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c为任意有理数)
【思想方法】
数形结合,分类讨论
【例题精讲】
例1.某校认真落实苏州市教育局出台的―三项规定‖,校园生活丰富多彩.星期二下午4 点至5点,初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动,其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍,参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍,那么参加美术活动的同学其有____________名. 例2.下表是5个城市的国际标准时间(单位:时)那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )
例2图
A.伦敦时间2006年6月17日凌晨1时. B.纽约时间2006年6月17日晚上22时. C.多伦多时间2006年6月16日晚上20时 . D.汉城时间2006年6月17日上午8时.
例3.如图,由等圆组成的一组图中,第1个图由1个圆组成,第2个图由7个圆组成,第3个图由19
个圆组成,……,按照这样的规律排列下去,则第9个图形由__________个圆组成.
……
例3图
例4.下列运算正确的是( ) A
.3 2
5 B.3 2 6
C.(
1)2 3 1 D.52 32 5 3 例5.计算:
(1) 3 2 ( 1)0 1
10
(2) ( tan45º 9
20 12008
0 () 1 (3)2 ( 1) ();
(4)( 1)
1
213
【当堂检测】
1.下列运算正确的是( )
A.a4×a2=a6 B.5a2b 3a2b 2 C.( a) a D.(3ab) 9ab
2.某市2008年第一季度财政收入为41.76亿元,用科学记数法(结果保留两个有效数字)表示为( )
A.41 108元 B.4.1 109元 C.4.2 109元 D.41.7 108元 3.估计68的立方根的大小在( )
A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 4.如图,数轴上点P表示的数可能是( ) A
B
.D
.
第4题图
32
5
23
36
C. 3.2 5.计算: (1)( 1)
2009
1
() 2 cos600 (2
)2
1
1
2
1
第3课时 整式与分解因式
【知识梳理】
1.幂的运算性质:①同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am an am n(m、n为正整数);②同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即am an am n(a≠0,m、n为正整数,m>n);③幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘,即(ab)n anbn(n为正整数);④零指数:a0 1(a≠0);⑤负整数指数:a
n
1
(a≠0,n为正整数); na
2.整式的乘除法:
(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.
(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.
(5)平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方, 即(a b)(a b) a2 b2;
(6)完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去) 它们的积的2倍,即(a b)2 a2 2ab b2
3.分解因式:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式分解因式. 4.分解因式的方法:
⑴提公因式法:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. ⑵运用公式法:公式a2 b2 (a b)(a b) ; a2 2ab b2 (a b)2
5.分解因式的步骤:分解因式时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,一定先提取公因式,然后再考虑是否能用公式法分解. 6.分解因式时常见的思维误区:
⑴ 提公因式时,其公团式应找字母指数最低的,而不是以首项为准. ⑵ 提取公因式时,若有一项被全部提出,括号内的项― 1‖易漏掉. (3) 分解不彻底,如保留中括号形式,还能继续分解等
【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是( )
A. a+2a=3a B. 3a-2a=a
236222C. a a=a D.6a÷2a=3a 【例2】(2008年茂名)任意给定一个非零数,按下列程序计算,最后输出的
结果是( )
A.m B.m C.m+1 D.m-1
22
【例3】若3a a 2 0,则5 2a 6a 【例4】下列因式分解错误的是( )
A.x y (x y)(x y) C.x xy x(x y)
22
22
B.x 6x 9 (x 3)
D.x y (x y)
2
2
2
22
【例5】如图7-①,图7-②,图7-③,图7-④,…,是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行―广‖字,按照这种规律,第5个―广‖字中的棋子个数是________,第n个―广‖字中的棋子个数是________
【例6】给出三个多项式:
1211
x 2x 1,x2 4x 1,x2 2x.请选择你最喜欢的两个多项式222
进行加法运算,并把结果因式分解.
【当堂检测】
1.分解因式:9a a3 , x3 2x2 x _____________ 2.对于任意两个实数对(a,b)和(c,d),规定:当且仅当a=c且b=d时, (a,b)=(c,d).定义运算― ‖:(a,b) (c,d)=(ac-bd,ad+bc).若(1,2) (p,q)=(5,0),则p=q=.
3. 已知a=1.6 109,b=4 103,则a2 2b=( )
A. 2 107 B. 4 1014 C.3.2 105 D. 3.2 1014 .
4.先化简,再求值:(a b)2 (a b)(2a b)
3a2,其中a 2b 2.
5.先化简,再求值:(a b)(a b) (a b)2 2a2,其中a 3,b .
13
第4课时 分式与分式方程
【知识梳理】
1. 分式概念:若A、B表示两个整式,且B中含有字母,则代数式
A
叫做分式. B
2.分式的基本性质:(1)基本性质:(2)约分:(3)通分: 3.分式运算
4.分式方程的意义,会把分式方程转化为一元一次方程.
5.了解分式方程产生增根的原因,会判断所求得的根是否是分式方程的增根. 【思想方法】
1.类比(分式类比分数)、转化(分式化为整式) 2.检验
【例题精讲】
x2 2x 1x 1
21.化简: 2
x 1x x
x2 2x 2x 4
2.先化简,再求值: 2 x 2 ,其中x 2
x 4 x 2
(1 3.先化简
1x) 2,然后请你给x选取一个合适值,再求此时原式的值. x 1x 1
4.解下列方程(1)
51x 2x 216
0 (2) 222
x 2x 2x 4x 3xx x
5.一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后,速度提高了26千米/时,现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时,已知甲、乙两站的路程是312千米,若设列车提速前的速度是x千米,则根据题意所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【当堂检测】
a2 1
1.当a 99时,分式的值是
a 1
.
2
x 1
2.当x时,分式有意义;当x 时,该式的值为0.
x 1
(ab)2
3.计算的结果为 2
ab
4. .若分式方程
.
1k x 3 有增根,则k为( ) x 22 x
A. 2 B.1 C. 3 D.-2
2
有意义,则x满足的条件是:( ) x 3
A.x 0 B.x 3 C.x 3 D.x 3
5.若分式
x2 2xy y2x yx2 y
6.已知x=2008,y=2009,求的值 2
5x 4yx5x 4xy
x 2x 1x2 16
2) 27.先化简,再求值:(2,其中x 2 2
x 2xx 4x 4x 4x
8.解分式方程. (1) (3)
2xx3(x 2) 2 0 (2) 2 ; x 1x 1x 2x
11 x2x 1
3 (4)2 1 x 22 xx 1x-1
第5课时 二次根式
【知识梳理】 1.二次根式:
(1)定义
2.二次根式的化简:
3.最简二次根式应满足的条件:(1)被开方数中不含有能开得尽的因数或因式. (2)根号内不含分母 (3)分母上没有根号
4.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式.
5.二次根式的乘法、除法公式: (1
(2
a 0,b 0)
a 0,b 0)
6..二次根式运算注意事项:(1)二次根式相加减,先把各根式化为最简二次根式,再合并同类二次
根式,防止:①该化简的没化简;②不该合并的合并;③化简不正确;④合并出错.(2)二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算,运算结果一定写成最简二次根式或整式. 【思想方法】 非负性的应用
【例题精讲】 【例1
A.x 1
【例2
x的取值范围是( ) B.x 0 C.x 1且x 0 D.x≥-1且x 0
. )
D.9到10之间
A
.6到7之间 B.7到8之间 C.8到9之间
【例3】 若实数x,y(y2 0,则xy的值是.
【例4】如图,A,B,C,D四张卡片上分别写有 2,π四个实数,从中任取两张卡片.
A B C D
(1)请列举出所有可能的结果(用字母; A,B,C,D表示)(2)求取到的两个数都是无理数的概率.
【例5】计算:
0 1
()(1)27 (3.14 ) 3tan30
5
7
13
1
(2
)( 1)0 5
2
【例6】先化简,再求值:(2 1) (a2 1),其中a 3.
a 1a 1
【当堂检测】
1.计算:(1
3 2tan60 ( 10.
(2)cos45°·(-
(3)3
2.如图,实数a、b在数轴上的位置,化简
.
1-21)-(2-3)0+|-|+ 22 1
1
0 cos230 4sin60
第6课时 一元一次方程及二元一次方程(组)
【知识梳理】
1.方程、一元一次方程、二元一次方程(组)和方程(组)的解、解方程(组)的概念及解法,利用方程解决生活中的实际问题.
2.等式的基本性质及用等式的性质解方程:
等式的基本性质是解方程的依据,在使用时要注意使性质成立的条件 . 3.灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组.
4.用方程解决实际问题:关键是找到―等量关系‖,在寻找等量关系时有时可以借助图表等,在得到方程的解后,要检验它是否符合实际意义. 【思想方法】
方程思想和转化思想
【例题精讲】 例1. (1)解方程解:
例2.已知x 2是关于x的方程2(x m) 8x 4m的解,求m
的值. 方法1 方法2
例3.下列方程组中,是二元一次方程组的是( )
3x 2y 152x 115 2x 7x 2y 27 (2)解二元一次方程组 1. 56
x y 52
1 1 5
x y 2xy 15 x y 3 xy6
例4.在 x 2 y 3 0 中,用x 的代数式表示y,则y=______________. 8A. B. x y 10 C. x y D. x 1
a 2b 5c 0例5.已知a、b、c满足 ,则a:b:c= .
a 2b c 0
例6 .某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度,那么这个月这户只需交
10 元用电费,如果超过 A 度,则这个月除了仍要交 10 元用电费外,超过部分还要按每度 0.5 元交费.
①该厂某户居民 2 月份用电 90 度,超过了规定的 A 度,
则超过部分应该交电费多少元(用 A 表示)? .
②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况:根
据右表数据,求电厂规定A度为
【当堂检测】
1.方程x 5 2的解是. 2.一种书包经两次降价10%,现在售价3.若关于x的方程
a元,则原售价为_______元.
1
x 5 k的解是x 3,则k _________. 3
x 2 x 3 x 1
y c都是方程ax+by+2=0的解,则c=____. 4.若 y 1, , y 2
5.解下列方程(组):
(1)3x 2 5(x 2); (2)0.7x 1.37 1.5x 0.23;
2x 5y 212x 11 4x
(3) ; (4) 1;
35x 3y 8
6.当x 2时,代数式x2 bx 2的值是12,求当x 2时,这个代数式的值.
7.应用方程解下列问题:初一(4)班课外乒乓球组买了两副乒乓球板,若每人付9元,则多了5元,后来组长收了每人8元,自己多付了2元,问两副乒乓球板价值多少?
mx ny 8(1) x 4
8.甲、乙两人同时解方程组 由于甲看错了方程①中的m,得到的解是 ,
mx ny 5 (2) y 2 x 2
乙看错了方程中②的n,得到的解是 ,试求正确m,n的值.
y 5
第7课时 一元二次方程
【知识梳理】
1. 一元二次方程的概念及一般形式:ax2+bx+c=0 (a≠0)
2. 一元二次方程的解法:①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法 3.求根公式:当b2-4ac≥0时,一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为 b 2 4acx
2a
4.根的判别式: 当b2-4ac>0时,方程有实数根.
当b2-4ac=0时, 方程有实数根. 当b2-4ac<0时,方程
【思想方法】
1. 常用解题方法——换元法
2. 常用思想方法——转化思想,从特殊到一般的思想,分类讨论的思想 【例题精讲】 例1.选用合适的方法解下列方程:
(1) (x-15)2-225=0; (2) 3x2-4x-1=0(用公式法);
(3) 4x2-8x+1=0(用配方法); (4)x2+22x=0
(m 1)x2 7mx m2 3m 4 0有一个根为零,求m的值. 例2 .已知一元二次方程
例3.用22cm长的铁丝,折成一个面积是30㎝2的矩形,求这个矩形的长和宽.又问:能否折成面积是32㎝2的矩形呢?为什么?
例4.已知关于x的方程x2―(2k+1)x+4(k-0.5)=0
(1) 求证:不论k取什么实数值,这个方程总有实数根;
(2) 若等腰三角形ABC的一边长为a=4,另两边的长b.c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
【当堂检测】 一、填空
1.下列是关于x的一元二次方程的有①③(2x 1)2 (x 1)(4x 3) ④k2x2 5x 6 0 ⑤
2x2
1
3x2 2 0 x
②x2 1 0
1x 0 42
⑥3x2 2 2x 0
2.一元二次方程3x2=2x的解是
3.一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0,则m的值是. 4.已知m是方程x2-x-2=0的一个根,那么代数式m2
4a c
5.一元二次方程ax2+bx+c=0有一根-2,则的值为 .
b
6.关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是__________. 7.如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4,那么这个一元二次方程可以是 . 二、选择题:
8.对于任意的实数x,代数式x2-5x+10的值是一个( ) A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数 9.已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则m2+n2的值是( ) A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 2
10.下列关于x的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( ) (A)x2+4=0 (B)4x2-4x+1=0(C)x2+x+3=0(D)x2+2x-1=0 11.下面是李刚同学在测验中解答的填空题,其中答对的是( ) A.若x2=4,则x=2 B.方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1 C.方程x2+2x+2=0实数根为0个 D.方程x2-2x-1=0有两个相等的实数根
12.若等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2-9x+20=0的一个根,则这个三角形的周长是( ) A.16 B.18 C.16或18 D.21 三、解下方程:
(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x2-4x-4=0
(4)x2+x-1=0 (6)(2y-1)2 -2(2y-1)-3=0
第8课时 方程的应用(一)
【知识梳理】
1. 方程(组)的应用;
2. 列方程(组)解应用题的一般步骤; 3. 实际问题中对根的检验非常重要. 【注意点】
分式方程的检验,实际意义的检验.
【例题精讲】
例1. 足球比赛的计分规则为:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某队打了14场,负5场,共得19分,那么这个队胜了( )
A.4场 B.5场 C.6场 D.13场 例2. 某班共有学生49人.一天,该班某男生因事请假,当天的男生人数恰为女生人数的一半.若设该班男生人数为x,女生人数为y,则下列方程组中,能正确计算出x、y的是( )
x–y= 49 x+y= 49 x–y= 49 x+y= 49A. B. C. D.
y=2(x+1) y=2(x+1) y=2(x–1) y=2(x–1)
例3. 张老师和李老师同时从学校出发,步行15千米去县城购买书籍,张老师比李老师每小时多走1千米,结果比李老师早到半小时,两位老师每小时各走多少千米?设李老师每小时走x千米,依题意得到的方程是( )
15151
x 1x215151C.
x 1x2A.
B.
15151
xx 12
15151D.
xx 12
例4.学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺,总务处每发一封信都只用一张信笺,教务处每发出一封信都用3张信笺,结果,总务处用掉了所有的信封, 但余下50张信笺,而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封,则两处各领的信笺数为x张, 信封个数分别为y个,则可列方程组 .
100人.若分别购票,两团共计应付门票费1392元,若合在一起作为一个团体购票,总计应付门票费1080元. (1)请你判断乙团的人数是否也少于50人. (2)求甲、乙两旅行团各有多少人?
【当堂检测】
1. 某市处理污水,需要铺设一条长为1000m的管道,为了尽量减少施工对交通所造成的影响,实际施工时,每天比原计划多铺设10米,结果提前5天完成任务.设原计划每天铺设管道xm,则可得方程 .
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