线性代数

4.1 基本内容 4.2 典型例题分析

第四章 向量组的线性相关性

4.1 基本内容

4.1.1 n维向量

a1 a2

a T

b1b2 bn 即为n 1及1 n矩阵，n n维列向量与n维行向量

因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。

注 为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。

4.1.2 向量的内积

TT

aa a bb b12n12n设，

(1) 定义

称

, a1b1 a2b2 anbn aibi

i 1

n

为向量 , 的内积。 (2) 性质

,

, T T , , ,

k , k,

, 0 等号当且仅当 0时成立

(3) 有关概念 向量的范数：单位向量：若

, T

1，则称 为单位向量。

1

向量的标准化（规范化）； 0称两向量的正交：若

为 的标准化向量。

, 0，则称 与 正交。

4.1.3 线性组合，线性相关，线性无关的定义

线性代数

设 1, 2, , m是一组n维向量

(1) 线性组合：设 是一个n维向量，若存在一组数t1,t2, ,tm，使

t1 1 t2 2 tm m

则称 为向量组 1, 2, , m的一个线性组合，或称 可由向量组 1, 2, , m线性表出。

1, 2, , m，注 设两组向量（I）（II） 1, 2, , m ，若每一个 i i 1,2, ,m

都可由 1, 2, , m线性表出，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表出；当向量组（I）与（II）可互相表出时，称向量组（I）与（II）等价。

(2) 线性相关：若存在一组不全为零的数t1,t2, ,tm，t1 1 t2 2 tm m 0，则称向量组 1, 2, , m线性相关。

(3) 线性无关：若当且仅当t1 t2 tm 0时，t1 1 t2 2 tm m 0才成 立，则称 1, 2, , m线性无关。

注 对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。

4.1.4 向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系

(1) 可由 1, 2, , m线性表出 线性方程组 1, 2, , m x 有解 矩

阵 1, 2, , m 的秩等于矩阵 1, 2, , m, 的秩 (2)

1, 2, , m线性相关 齐次线性方程组 1, 2, , m x 0有非零解 矩

阵 1, 2, , m 的秩小于m (3)

1, 2, , m线性无关 齐次线性方程组 1, 2, , m x 0只有零解 矩

阵 1, 2, , m 的秩等于m 4.1.5 向量的线性相关性的有关结论

(1) 仅含一个向量 的向量组线性相关 0

(2) 任何含有零向量的向量组必线性相关

(3) 含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关） 注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关

(4) 线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分量不改变线性相

关）

线性代数

注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关 (5) 任意m个n维向量，当m n时必线性相关

(6) 向量组 1, 2, , m(m 2)线性相关 1, 2, , m中至少有一个向量可

由其余向量线性表出

(7) 向量组 1, 2, , m线性无关，而 1, 2, , m, 线性相关 可由

1, 2, , m线性表出，且表达式唯一

(8) 若向量组（I） 1, 2, , r线性无关，且可由向量组（II） 1, 2, , s线性表

出，则r s

(9) 不含零向量的正交向量组必线性无关

4.1.6 向量组的极大无关组与向量组的秩

(1) 定义：设（I）

①

1

2

i, i, , i是（II） 1, 2, , m的一个部分组，并且满足：

1

2

r

r

i, i, , i线性无关，②（II）中任一向量 k k 1,2, ,m 都可由（I）

线性表出。则称部分组（I）为原向量组（II）的一个极大无关组，并称数r为向

1, 2, , m 量组（II）的秩，记作r（II）或r

注 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，但其每一个极大无关组所含向量个数

必是相等的，即为该向量组的秩 (2) 性质：

① 线性无关向量组的极大无关组即为其本身 ② 向量组与其任一极大无关组等价 ③ 向量组的任意两个极大无关组等价 ④ 等价向量组的极大无关组等价

⑤ 等价向量组的秩相等，但其逆不成立

⑥ 若向量组的秩为r，则其中任意r个线性无关的向量都是它的一个极大无关

组

(3) 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

将m n矩阵A按行或列分块

1T T

A 2 1

T m

2 n

TTT , , , 12m向量组（I），（II） 1, 2, , n分别为A的行向量组与列向量

组，则r（A）=r（I）=r（II）

注1 由此结论可容易推出矩阵运算后秩的关系式

TTT , , , 12m注2 线性无关 r（A）=m

线性代数

1, 2, , n线性无关 r（A）=n

注3 上述结论实际上也给出了向量组求秩的一个具体算法，即可利用矩阵的初等变

换

4.1.7 极大无关组的求法

(1) 录选法

① 在向量组中任取一个非零向量作为 i1

② 取一个与 i1的对应分量不成比例的向量作为 i2

③ 取一个不能由 i1， i2线性表出的向量作为 i3，继续作下去便可求得极大

无关组

注 这一方法仅适合于向量组中向量个数较少的情形 (2) 行初等变换法

第一种方法：将向量组中各向量作为矩阵的行 ① 对A进行行初等变换化为行梯形阵 ② 将所做过的行对换回去

则非全零行所对应的向量所构成的向量组即为极大无关组 第二种方法：将向量组中各向量作为矩阵的列 ① 对A进行行初等变换化为行梯形阵 ② 在每个阶梯上取一列

则对应的向量所构成的向量组即为极大无关组

4.1.8 向量空间

(1) 定义：在非空集合V的元素间定义加法 和数乘k ，若V对所定义的加

法与数乘封闭，即任意的 , V有 V，k V，且加法满足： ①

②( ) ( )

③ 存在零元素0 V，有 0

（ ） 0 ④ 对任一元素 ，存在负元素 ，使

数乘满足： ⑤1 ⑥k(l ) (kl) 两种运算满足： ⑦k( ) k k

线性代数

⑧(k l) k l

则称带有这种线性运算的集合V为线性空间，若线性空间中的元素为向量，就称为向量空间,我们仅讨论向量空间。

注 所有n维向量所构成的向量集对向量的线性运算构成一个向量空间R，本书中所讨论的向量空间仅限于R或其子空间

(2) 子空间：设有向量空间V1,V2，若V1 V2，则称V1为V2的子空间 注 向量空间V的一个非空子集，若对V上的线性运算封闭则是V的子空间 (3) 生成空间：设有向量组 1, 2, , m，则 1, 2, , m的所有线性组合构成的

向量空间，称为由 1, 2, , m生成的空间，记作span 1, 2, , m ，即

n

n

1, 2, , m t1 1 t2 2 tm m|ti R,i 1,2, ,m span

4.1.9 向量空间的基和维数

(1) 基与维

若向量空间V中的一组向量 1, 2, , r满足： ① 1, 2, , r线性无关 ②每个

V, 可由 1, 2, , r，即 t1 1 t2 2 tr r，则称

1, 2, , r为V的一组基，其所含向量个数r为向量空间V的维数，记作

dimV r，也称V为r维向量空间，而称系数t1,t2, ,tr为 在基 1, 2, , r下

的坐标。

注1 一个向量空间V的基一般不止一个，但任一组基所含向量个数是固定的，

即为dimV，可以推出dimR n 注2 向量 在一组基下的坐标是唯一的

注3 任一向量空间V必是其一组基 1, 2, , r的生成空间，即

n

V span 1, 2, , r

*（2）基变换与坐标变换 ①

设 1, 2, , n和 1, 2, , n是向量空间R的两组基，且

n

线性代数

1 t11 1 t21 2 tn1 n t t t 2121222n2n n t1n 1 t2n 2 tnn n

上式称为由基 1, 2, , n到 1, 2, , n的基变换公式，若记基变换公式可表示为

T tij n n，则

1

2 n 1 2 n T

矩阵T称为基 1, 2, , n到基 1, 2, , n的过渡矩阵 注 过渡矩阵必可逆

② 对V中任一向量 ，若 在基 1, 2, , n与基 1, 2, , n下的坐标分别为

x1,x2, ,xn和y1,y2, ,yn，则由

x1

x

n 2

xn y1 y

n 2

yn

T

x1 1 x2 2 xn n 1 2

y1 1 y2 2 yn n 1

2

可得 x1

x2 xn T y1

T

y2 yn

y1 x1 y x 2 T 1 2 y xn 或 n

称为坐标变换公式

4.1.10 施密特正交化方法

任给V中的一组基 1, 2, , r，可由施密特正交化过程构造出一组新的正交基

1, 2, , r

线性代数

1 1 2 2

1, 2

1

1, 1

1, r r 1, r

r r

1, 11 r 1, r 1r 1

4.1.11 标准正交基

(1) 定义：若V的一组基 1, 2, , r满足

i, j

0i j 1i j

i,j 1,2, ,r

则称 1, 2, , r是V的一组标准（规范）正交基。

(2) 求法：第一种：对V中的任一组基 1, 2, , r可先由施密特正交化方法，得

到一组正交基 1, 2, , r，再把每个 k单位化

t

1

k

k

(k 1,2, ,r)

得到的 1, 2, , r即为V的标准正交基

1

2 0, Rn

n n 第二种：对任一，可以扩充为R的一组标准正交

基，设x x1

T

x2 xn 满足x, 0即

a1x1 a2x2 anxn 0

(*)

n

求得（*）的一个基础解系 1, 2, , n 1，从而 , 1, 2, , n 1必为R的

一组基，再由第一种方法得到一组标准正交基

4.1.12 正交矩阵

(1) A为正交矩阵的定义是：A满足AA AA I(或A A） (2) A为正交矩阵的充要条件是A的列（行）向量组为标准正交向量组

注 由(2)可知，若 1, 2, , n是R的一组基，则将其标准正交化可得到一组标准

n

TTT 1

正交基 1, 2, , n，以它们为列作出矩阵

线性代数

Q 1 2 n

则Q必为正交阵。 (3) 正交阵的性质：

T 1*

A 1,且A,A,A若A为正交阵，则均为正交阵

若B也为正交阵，则AB也是正交阵

4.1.13 齐次线性方程组Ax=0的解空间（A为m n矩阵）

齐次线性方程组Ax=0若有非零解，则其全体解构成一个向量空间，称为Ax=0的解空间，记作N（A）

(1) Ax=0的一个基础解系即为N（A）的一组基，故基础解系不唯一。

(2) Ax=0的每一个基础解系所含向量个数n-r（A）即为dimN(A)是固定的 (3) 若已知

1, 2, , n r(A)是

Ax=0的一个基础解系，则

N(A) span 1 2 n r(A)

(4) 从而Ax=0的通解

x t1 1 t2 2 tn r(A) n r(A)

其中

t1,t2, ,tn r(A)为任意常数

注 由于基础解系不唯一，故通解形式不唯一。

4.2 典型例题分析

向量 可由向量组 1, 2, , m线性表出的判定 方法：(1)用定义

(2)

可否由 1, 2, , m线性表出等价于线性方程组

1

2 n x 是否有解。

例1 设

1211 T, 1 1111 T, 2 11 1 1 T, 3 1 11 1 T

4 1 1 11 T，问 可否由 1, 2, 3, 4线性表出，若可以，请写出线性表

示式。

x1 1 x2 2 x3 3 x4 4 1

解 设记x x1

2 3

x1 x 4 2 x3 x4

x2x3

x4 ，则问题转化为方程组 1

T 2 3 4 x 是否有解。

线性代数

1

2 3

1 11

11 1

4

1 11

1 1 1

1 0 0 0

0001

1 1111

1 2 00 2 2

~

1 1 0 20 2

1 1 0 2 20

5 4 1

100

4 1

010

4 1

001

4 00

0

1

1 1 0 0

1

01 1

1

01 0

4 ~

11 0 0

01 0

0

可见 可由 1, 2, 3, 4唯一线性表示，且

5111 1 2 3 44444

例2

1 1023 T, 2 1135 T, 3 1 1a 21 T, 4 124a 8 T

11b 35 T

(1) a,b为何值时， 不能表示成 1, 2, 3, 4的线性组合？ (2) a,b为何值时， 可由 1, 2, 3, 4唯一线性表出？ 解设 t1 1 t2 2 t3 3 t4 4则

t1 t2 t3 t4 1 t t 2t 1 234

2t1 3t2 (a 2)t3 4t4 b 3 3t1 5t2 t3 (a 8)t4 5

其增广矩阵

1

~ 0A

2 3111 1 11 12 1 0

~

3a 24 b 3 0

51a 8 5 0111 1

1 12 1

0a 10 b

00a 1 0

~

当a 1,b 0时，（rA）=2，（rA）=3，可知方程组无解，即 不能表示成 1, 2, 3, 4

的线性组合。

当a 1时，方程组有唯一解，故 可由 1, 2, 3, 4线性表出，且表达式唯一，表

线性代数

达式为

2ba b 1b

1 2 3 0 4

a 1a 1a 1

1) 线性相关性的判定

常用方法：(1)从定义出发；

(2)利用矩阵秩或行列式； (3)利用性质。

1 1 1 1 0 4 1 2 3

2 0 8 12 k 线性相关，求k 例3 已知

解 解法一（利用矩阵的秩）

A 1 2

1

1 3

2 11 1 11 1 0 4 0 1 3

~ 0 8 00k 2

2k 000

由 1, 2, 3线性相关可知必有r（A）<3，故k=2

解法二（利用行列式及性质） 将 1, 2, 3的第三个分量去掉，地向量组

1 111 T, 2 102 T, 3 1 4k T，则

12

1k

1, 2, 3 0 4 1

1 4

0 4 2 k

1k 2

10k 2

11 1

由于 1, 2, 3线性相关，所以 1, 2, 3线性相关 故

1, 2, 3 0,即k 2

设a1,a2, ,am(m n)是m个互不相等且不为零的常数，向量

T

例4

i ai,ai2, ,ain (i 1,2, ,m)，问 1, 2, , m是否线性相关？

解 由于

m n,ai aj(i j,i,j 1,2, ,m)且ai 0(i 1,2, ,m)，故

T

T

T

2n2n2n

线性无 a,a, ,a, a,a, ,a, , a,a, ,a11112222mmmm2从而

关，所以向量组 1, 2, , m亦线性无关。 例5

设向量组 1, 2, , m(m 1)线性无关，且 1 2 m，判断向量

线性代数

组 1, 2, , m的线性相关性。 解 解法一（从定义出发）

设t1( 1) t2( 2) tm( m) 0

即(t2 t3 tm) 1 (t1 t3 tm) 2 (t1 t2 tm 1) m 0 由 1, 2, , m线性无关知，系数t1,t2, ,tm必满足

t2 t3 tm 0 t t t 0 13m t1 t2 tm 1 0

这是一齐次线性方程组没，其系数行列式

1D

1

1 10 1

( 1)m 1(m 1) 0

1 0

所以齐次方程组只有零解，即t1 t2 tm 0，故 1, 2, , m线性无关。

解法二（利用矩阵的秩）

1, 2, , m 2 3 m, 1 3 m, , 1 2 m 1

0 1

1, 2, , m

1

1 1 0 1

1 0

0 1

由解法一知，矩阵 11 1 0 1

1 0 满秩，故

r 1, 2, , m r 1, 2, , m

而由 1, 2, , m线性无关性知r 1, 2, , m m，所以

r 1, 2, , m m，即 1, 2, , m线性无关。

2) 有关线性表出与线性相关性的证明 其证明方法为： (1)

要证 可由 1, 2, , m线性表出，可以

线性代数

① ② ③ (2)

证明式t1 1 t2 2 tm m t 0中t 0。 证明方程组 1用反证法。

要证 1, 2, , m线性相关，可以利用

2 m x 有解。

① 定义 ② 结合齐次线性方程组利用矩阵的秩或行列式 ③ 反证法（这是重要方法）

(3) 也可用线性表出与线性相关之间关系的有关定理.

例6 设 1, 2, , n是一个n维向量组,证明 1, 2, , n线性无关当且仅当人仪n维向量均可由它们线性表出. 证:" " 对任意 R

若 i,则显然有 0 1 0 i 1 i 0 i 1 0 n 若 i,则由 1, 2, , n, 线性相关,得 存在全不为零的数t1,t2, ,tn,t使

n

t1 1 t2 2 tm m t 0

若t=0,由 1, 2, , n线性无2关性知必有t1 t2 tn 0,与t1,t2, ,tn,t不全为

零矛盾,所以t 0,从而 可由 1, 2, , n线性表出,即

i i

t t . i 1

n

" "设单位向量e1,e2, ,en为n阶单位阵I的n个列向量. 证法一 由已知得ei均可由 1, 2, , n线性表示,从而有

e1,e2,...en a1,a2,...an P

其中n阶方阵P的每一列即为ei由a1,a2,...an线性表出的表示式中的系数,由于

det e1,e2,...en I 1 0,所以det a1,a2,...an 0,这就说明a1,a2,...an是线性无关

的.

证法二 设A a1,a2,...an ,由A IA,即 a1,a2,...an e1,e2,...en A可知,ai均可由

e1,e2,...en线性表出,又由已知ei也可都由a1,a2,...an线性表出,所以两向量等价,从而它

线性代数

们有相同的秩,得r(a1,a2,...an) r(e1,e2,...en) n,即a1,a2,...an线性无关. 例7.设a1,a2,...am 1(m 3)线性无关,而a2,a3,...am 1,am线性相关,试证: (1)am可由a1,a2,...am 1线性表出 (2)a1不能由a2,a3,...am线性表出

证: (1)证法一 因为a1,a2,...am 1线性无关,所以其部分组a2,a3,...am 1也线性无关,而

a2,a3,...am 1,am线性相关,由4.3.5的结论(7)知am必可由a2,a3,...am 1线性表出, am t2a2 t3a3 ... tm 1am 1,从而am 0 a1 t2a2 ... tm 1am 1,即am可由

a1,a2,...am 1线性表出2

证法二 因为a2,a3,...am 1,am线性相关,所以a1,a2,...am也线性相关,又a1,a2,...am 1线性无关,故am可由a1,a2,...am 1线性表出 (2)(用反证法)

若a1能由a2,a3,...am线性表出,由(1)知am可由a2,a3,...am 1线性表出,得a1必可由

a2,a3,...am 1线性表出,从而a1,a2,...am 1线性相关,这与已知a1,a2,...am 1线性无关矛盾,

所以a1不能由a2,a3,...am线性表出.

例8 如果 0,且可被向量组a1,a2,...ar线性表出,证明表示法唯一的充要条件是

a1,a2,...ar线性无关.

证 证法一 由已知可设 t1a1 t2a2 ...trar 必要性 假设k1a1 k2a2 ...krar 0成立，则可得

(t1 k1)a1 (t2 k2)a2 ...(tr kr)ar，由于 的表示法唯一，所以

ti ki ti(i 1,2,...r)，从而得

k1 k2 ...kr 0，故a1,a2,...ar线性无关。

充分性 倘若另有一 的线性表达式 l1a1 l2a2 ... lrar，其中至少有一个i使

li ti(1 i r)，则可得

线性代数

(t1 l1)a1 (t2 l2)a2 ...(tr lr)ar 0，因为li ti，故a1,a2,...ar线性相关，与a1,a2,...ar线性无关矛盾，

所以 的表示式唯一。

证法二 已知非零向量 可由a1,a2,...ar线性表出，这时有

t1

t

t1a1 t2a2 ...trar a1,a2,...ar 2 表示式唯一 方程组 a1,a2,...ar x 有

tr

唯一解

r(a1,a2,...ar) r(a1,a2,...ar, ) r a1,a2,...ar线性无关

例

9 设A是n n方阵，a1,a2,a3是三个n维列向量，且

a1 0,Aa1 a1,Aa2 a1 a2,Aa3 a2 a3，试证 a1,a2,a3线性无关。

证 设t1a1 t2a2 t3a3 0 （*）

Aa1 a1

则由 Aa2 a1 a2

Aa a a

23 3 (A I)a1 0

可得 (A I)a2 a1

(A I)a a

32

进一步还可得

(A I)2a1 0

2

(A I)a2 (A I)a1 0 (A I)2a (A I)a a

321

2

所以对（*）两边左乘(A I)得0 0 t3(A I)a3 0，即t3a1=0，因为a1 0，

2

所以t3 0

故（*）为t1a1 t2a2 0，两边左乘A I，得t2a1 0，故t2 0，再代入（*）得t1a1 0

线性代数

，故t1 0，所以（*）成立，当且仅当t1 t2 t3 0，即a1,a2,a3线性无关。 设A是n m矩阵，B是m n矩阵，其中n m，若AB I，证明B的列向量组线性无关。

证 证法一 例10

设B 1, 2,... n ,I e1,e2,...en ，则已知条件AB I

，即为

A i ei(i 1,2,...n)

若t1 1 t2 2 ...tn n 0两边左乘A得t1A 1 t2A 2 ... tnA n 0，即

t1e1 t2e2 ... tnen 0

由

所以 1, 2,... n线性无关。 e1,e2,...en之线性无关性知必成立t1 t2 ... tn 0，

证法二 由AB I，得矩阵，所以r(B) n， 故

r(AB) n，而r(AB) r(B)，所以r(B) n，又B是m n

r(B) n，即B列满秩，所以B的列向量组线性无关。

例11 设n维向量组 1, 2, , n 1线性无关， 1, 2与 1, 2, , n 1正交，证明

1, 2线性相关。

证 因为n+1个n维向量 1, 2, , n 1, 1, 2必线性相关，故存在n+1个不全为零的数t1,t2, ,tn 1,k1,k2，使

t1 1 t2 2 ... tn 1 n 1 k1 1 k2 2 0(*)

又由 1, 2, , n 1线性无关可得k1,k2必不全为零。（*）两边分别与 1, 2作内积，由正交条件，得

T

1(k1 1 k2 2) 0 T 2(k1 1 k2 2) 0

(1)(2)

(1) k1 (2) k2得

T(k1 1T k2 2)(k1 1 k2 2) 0

即

(k1 1 k2 2)T(k1 1 k2 2) 0

线性代数

所以有

k1 1 k2 2 0

又由k1,k2不全为零知 1, 2线性相关。 4) 求向量组的极大无关组与秩 例12 设向量组

1 1110 T, 2 1100 T, 3 3320 T, 4 1000 T, 5 3210 ,求其极大无关组及秩。

T

解 解法一 向量组写成行构成矩阵A进行行变换。

1T 111 T

2 110T

332A 3

T

4 100T 321 5

1000 1 0100 0 ~ 0020 ~ 0 0010 0 0010 0

0 1

10

r14

30 0 1

0 3000 1

100 0

320 ~ 0

110 0210 0

000

100

010

000 000

000

100

320

110 210

000 0

0100

r14

0010

000 1

000 0

可得到一组极大无关组 2, 3, 4，从变换中也可看到 1, 2, 4或 2, 4, 5都是极大无关组，故r( 1, 2, 3, 4, 5) 3。

解法二 将向量组写成列构成矩阵B进行行变换

B AT 1 2 3 4

1 1 5

1 01313 11313 1302 000 1 1

~

0201 0 1 1 1 2

0000 00000

1

0~ 0 01313 1112

0011

0000

在每个阶梯上取一列得 1, 2, 4或 1, 2, 5或 1, 3, 4或 1, 3, 5均是极大无关组，从而r( 1, 2, 3, 4, 5) 3。

注 从上述求解过程可看到，向量组秩完全可通过矩阵的秩的计算而得到，而且若仅是计算向量组的秩则不论向量按行还是按列放，初等变换对行对列都可以进行，所得结果全部一样。