线性代数

4.1 基本内容 4.2 典型例题分析

第四章 向量组的线性相关性

4.1 基本内容

4.1.1 n维向量

a1 a2

a T

b1b2 bn 即为n 1及1 n矩阵，n n维列向量与n维行向量

因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。

注 为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。

4.1.2 向量的内积

TT

aa a bb b12n12n设，

(1) 定义

称

, a1b1 a2b2 anbn aibi

i 1

n

为向量 , 的内积。 (2) 性质

,

, T T , , ,

k , k,

, 0 等号当且仅当 0时成立

(3) 有关概念 向量的范数：单位向量：若

, T

1，则称 为单位向量。

1

向量的标准化（规范化）； 0称两向量的正交：若

为 的标准化向量。

, 0，则称 与 正交。

4.1.3 线性组合，线性相关，线性无关的定义

线性代数

设 1, 2, , m是一组n维向量

(1) 线性组合：设 是一个n维向量，若存在一组数t1,t2, ,tm，使

t1 1 t2 2 tm m

则称 为向量组 1, 2, , m的一个线性组合，或称 可由向量组 1, 2, , m线性表出。

1, 2, , m，注 设两组向量（I）（II） 1, 2, , m ，若每一个 i i 1,2, ,m

都可由 1, 2, , m线性表出，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表出；当向量组（I）与（II）可互相表出时，称向量组（I）与（II）等价。

(2) 线性相关：若存在一组不全为零的数t1,t2, ,tm，t1 1 t2 2 tm m 0，则称向量组 1, 2, , m线性相关。

(3) 线性无关：若当且仅当t1 t2 tm 0时，t1 1 t2 2 tm m 0才成 立，则称 1, 2, , m线性无关。

注 对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。

4.1.4 向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系

(1) 可由 1, 2, , m线性表出 线性方程组 1, 2, , m x 有解 矩

阵 1, 2, , m 的秩等于矩阵 1, 2, , m, 的秩 (2)

1, 2, , m线性相关 齐次线性方程组 1, 2, , m x 0有非零解 矩

阵 1, 2, , m 的秩小于m (3)

1, 2, , m线性无关 齐次线性方程组 1, 2, , m x 0只有零解 矩

阵 1, 2, , m 的秩等于m 4.1.5 向量的线性相关性的有关结论

(1) 仅含一个向量 的向量组线性相关 0

(2) 任何含有零向量的向量组必线性相关

(3) 含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关） 注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关

(4) 线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分量不改变线性相

关）

线性代数

注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关 (5) 任意m个n维向量，当m n时必线性相关

(6) 向量组 1, 2, , m(m 2)线性相关 1, 2, , m中至少有一个向量可

由其余向量线性表出

(7) 向量组 1, 2, , m线性无关，而 1, 2, , m, 线性相关 可由

1, 2, , m线性表出，且表达式唯一

(8) 若向量组（I） 1, 2, , r线性无关，且可由向量组（II） 1, 2, , s线性表

出，则r s

(9) 不含零向量的正交向量组必线性无关

4.1.6 向量组的极大无关组与向量组的秩

(1) 定义：设（I）

①

1

2

i, i, , i是（II） 1, 2, , m的一个部分组，并且满足：

1

2

r

r

i, i, , i线性无关，②（II）中任一向量 k k 1,2, ,m 都可由（I）

线性表出。则称部分组（I）为原向量组（II）的一个极大无关组，并称数r为向

1, 2, , m 量组（II）的秩，记作r（II）或r

注 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，但其每一个极大无关组所含向量个数

必是相等的，即为该向量组的秩 (2) 性质：

① 线性无关向量组的极大无关组即为其本身 ② 向量组与其任一极大无关组等价 ③ 向量组的任意两个极大无关组等价 ④ 等价向量组的极大无关组等价

⑤ 等价向量组的秩相等，但其逆不成立

⑥ 若向量组的秩为r，则其中任意r个线性无关的向量都是它的一个极大无关

组

(3) 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

将m n矩阵A按行或列分块

1T T

A 2 1

T m

2 n

TTT , , , 12m向量组（I），（II） 1, 2, , n分别为A的行向量组与列向量

组，则r（A）=r（I）=r（II）

注1 由此结论可容易推出矩阵运算后秩的关系式

TTT , , , 12m注2 线性无关 r（A）=m

线性代数

1, 2, , n线性无关 r（A）=n

注3 上述结论实际上也给出了向量组求秩的一个具体算法，即可利用矩阵的初等变

换

4.1.7 极大无关组的求法

(1) 录选法

① 在向量组中任取一个非零向量作为 i1

② 取一个与 i1的对应分量不成比例的向量作为 i2

③ 取一个不能由 i1， i2线性表出的向量作为 i3，继续作下去便可求得极大

无关组

注 这一方法仅适合于向量组中向量个数较少的情形 (2) 行初等变换法

第一种方法：将向量组中各向量作为矩阵的行 ① 对A进行行初等变换化为行梯形阵 ② 将所做过的行对换回去

则非全零行所对应的向量所构成的向量组即为极大无关组 第二种方法：将向量组中各向量作为矩阵的列 ① 对A进行行初等 …… 此处隐藏：8382字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……