数值计算方法试题及答案

湖南科技大学考试试题 (2008 -200 9 学年第二学期)

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班级 考试时量 命题教师 交题时间：2009 年 4月 22日 考试时间：2009 年5 月 17日 一、选择题（每小题4分，共20分）

1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ）

A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差； B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差； C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差； D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。

0126653

f[3,3,3, ,3] （ C ） f(x) 2x 3x x 1 2. 若，则其六阶差商

A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。

3. 数值求积公式中的Simpson公式的代数精度为 （ D ）

A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。

4. 若线性方程组Ax = b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 （ B ）

A. 都发散； B. 都收敛

C. Jacobi迭代法收敛，Gauss-Seidel迭代法发散； D. Jacobi迭代法发散，Gauss-Seidel迭代法收敛。

5. 对于试验方程y y，Euler方法的绝对稳定区间为（ C ）

A. 2 h 0； B. 2.785 h 0 ； C. 2 h 0； D. 2.785 h 0 ； 二、填空题（每空3分，共18分）

1 2 x (1, 2),A 34

，则 x 1. 已知

2

5A2 221Ax1

， 16 ，

2. 已知f(4) 2,f(9) 3，则 f (x)的线性插值多项式为L1(x) 0.2(x 6)且用线性插值可得f

3. 要使20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。 三、利用下面数据表，

x 1.8

f (x) 3.12014

2.0 4.42569

2.2 6.04241

2.6

2.4 8.03014

2.6 10.46675

1. 用复化梯形公式计算积分

I

1.8

f(x) dx

的近似值；

n 4,h

解：1.用复化梯形公式计算 取

2.6 1.8

0.24 1分

n 1

h

T4 (f(a) 2 f(xk) f(b))

2k 1

30.2 (f(1.8) 2 f(1.8 0.2k) f(2.6))2k 1

4分5分7分

5.058337

2. 用复化Simpson公式计算积分的近似值。

(要求计算结果保留到小数点后六位). （14分）

I

2.6

1.8

f(x) dx

n 2,h

解：用复化辛甫生公式计算 取

2.6 1.8

0.42 8分

11分12分14分

n 1n 1

h

S2 (f(a) 4 f(xk 1) 2 f(xk) f(b))2

6k 0k 1

0.4

{f(1.8) 4[f(2.0) f(2.4)] 2f(2.2) f(2.6)}6

5.033002

214 A 441

6512 ，求矩阵A的Doolittle分解。 （10分） 四、已知矩阵

解：用紧

法

n 1n 1

h

S2 (f(a) 4 f(xk ) 2 f(xk) f(b))

6k 0k 10.4 {f(1.8) 4[f(2.0) f(2.4)] 2f(2.2) f(2.6)}6

5.033002

11分12分14分

u13 a13 4 2分

u11 a11 2u12 a12 1

l21

a

2a11

l32

u22 a22 l21 u12

2

u33 a33 l31 u13

l32 u23 7

u23 a23 l21 u13

7

5分

a

l21 3

a11

a32 l31 u12

u22

1

8分

1 214

A LU 21 2 7

311 7 10分

五、用Newton迭代法求解方程x 3x 1 0在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）。 （12分）

3

f(x) x 3x 1 0， x0 2.0 解：

3

x xf(x33

k)xk 3xk 12xk 1

k 1k

f (x) xk 3x2

2

kk 33xk 3 6分

x1

2x03

1

2 23 1

3x02 33 22 3

17

9

1.8889 8分

x2x32

1 1794x2x33

1.8794

3x1

2 3

1.8，

3x22

3

1 11分

故，方程的近似根为1.8974 12分

六、对下面线性方程组 （12分）

x1 0.4x2 0.4x3 1 0.4x1 x2 0.8x3 2 0.4x1 0.8x2 x3 3

1.判别用雅可比迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；

2.判别用高斯-塞德尔迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式； 解 1. 雅可比法:

A是对角元素为正的实对称阵,下面判别A 和 2D A是否同时正定:

0.40.4 0 ,10.41

0.4

1

1 0.16 0 ,0.4

1

0.8 0.296 00.40.8

1

A正定 5分

0.4 0.4 2D A 1

0.41 0.8

0.4 0.81

0 ,1

0.41

0.4 0.4 0.4

1

1 0.16 0 , 0.4

1

0.8 0.216 0 0.4 0.8

1

2D A不正定.即A 和 2D A不同时正定 8分

故,Jacobi法发散. 92. 高斯-塞德尔法:由1知, A是实对称正定矩阵,所以Gauss-Seidel法收敛. 10 x(k 1) 1 0.4x(k) 0.4x(k) 1

23

x(k 1) 2 0.4x 2

1(k 1) 0.8x(3k)

(k 1)(k 1)(k 1)其迭代格式为 x3 3 0.4x1 0.8x2

12分

y' x y,0 x 0.4

七、已知初值问题：

y(0) 1 ，取步长h =0.1，

分 分

1. 用（显式的）Euler方法求解上述初值问题的数值解；

2. 用改进的Euler方法求上述初值问题的数值解。 （14分） 解：1 .建立具体的Euler公式:

yn 1 yn hf(xn,yn) yn 0.1(xn yn) 0.1xn 0.9yn 3分

1 , xn 0.1n , n 0,1,2,3,4，则有：

y已知0

y1 0.1x0 0.9y0 0.9

y2 0.1x1 0.9y1 0.1 0.1 0.9 0.9 0.82 5分

y3 0.1x2 0.9y2 0.1 0.2 0.9 0.82 0.758

y4 0.1x3 0.9y3 0.1 0.3 0.9 0.758 0.712 2 解：2.建立具体的改进的Euler公式:

yp yn hf(xn,yn) …… 此处隐藏：1107字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……