余洁

问题一个物体在力F 的作用下产生的位移 s,且F与s的夹角为θ ,那么力F 所做的功应 当怎样计算？

F θs

W | F || s |cos

其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量.数量

F s cos 叫做力F 与位移s的数量积

向量的夹角

两个非零向量 a 和 b ,作 OA a, OB b,则 AOB

(0 180 )B

叫做向量

和 a b的夹角.

bO

b

a

a

注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 A B b a O A 90 a 与 b 垂直，

O b B

a

a 与 b 同向

0

O A B b 180

aA

a 与 b 反向

记作 a b

例1、如图，等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。 C

C

'

120A

通过平移 变成共起点！

60

B

5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为 ,我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a · ,即 b

a b | a || b | cos 规定：零向量与任意向量的数量积为0,即 a 0 0. (1)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由 夹角决定 (2)一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合. (3) a · b不能写成a×b ,a×b 表示向量的另一种运算.

5.6 平面向量的数量积及运算律例题讲解例1.已知向量a与b的夹角为 ,|a |=2,|b |=3,,求a · b.

(1) 135 0

(2)a ∥b

3 a ba · =|a | |b |cosθ b

平面向量的数量积讨论总结性质：

(1)e · a=a · a | cos e=|(2)a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) (3)当a 与b 同向时，a · =| a | · b |,当a 与b 反向 b | 时， a · =-| a | · b | . b |a a | a |2 或 | a | a a 特别地

a b (4)cos | a || b |

(5)a · ≤| a | · b | b |

练习：1.若a =0,则对任一向量b ,有a ·b=0. 2.若a ≠0,则对任一非零向量b ,有a · b≠0. 3.若a ≠0,a · b =0,则b=0 4.若a ·b=0,则a ·b中至少有一个为0. 5.若a≠0,a ·b= b ·c,则a=c2 2 7.对任意向量 a 有 a | a | 8. 0 a 0a ×

√ × × × × √

6.若a ·b = a ·c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立. ×

例2、如图，等边三角形中，求 (1)AB与AC的数量积； (2)AB与BC的数量积； (3) 的数量积. AC与BC C

A

B

例3

平面向量的数量积及运算律

1.a · b · b= a 交换律 2. (λ· b= a · b)= λ(a · λ a · a) (λ b)= b 3. (a+b) · a · b · 分配律 c= c+ c

思考: 结合律成立吗:

(a · · b) c=a · · ? (b c)

物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方

向上的力做功.作OA

a, b ,过点B作 BB1 OB 垂直于直线OA,垂足为 B1,则 OB1 | b | cosθ | b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影. B B B

F θs

b

b

b

O aB1

A

B1

O

a A

O( B1 ) a

A

θ为锐角时， | b | cosθ>0

θ为钝角时， | b | cosθ<0

θ为直角时， | b | cosθ=0

平面向量的数量积及运算律b 讨论总结性质： a · =|a | |b |cosθ

(0 180 )

(1)e · a=a · a | cos e=|(2)a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) (3)当a 与b 同向时，a · =| a | · b |,当a 与b 反向 b | 时， a · =—| a | · b | . b |a a | a |2 或 | a | a a 特别地

a b (4)cos | a || b |

运算律

(5)a · ≤| a | · b | b |