2010年陕西省高考理科数学试题

一、选择题

1.集合A= {x∣ 1 x 2}，B={x∣x<1}，则A (CRB)= （） （A）{x∣x>1} (B) {x∣x≥ 1} (C) {x∣1 x 2 } (D) {x∣1 x 2} 2.复数z

i

在复平面上对应的点位于 （） 1 i

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3.对于函数f(x) 2sinxcosx，下列选项中正确的是 （） （A）f(x)f（x）在（

，）上是递增的 （B）f(x)的图像关于原点对称 42

（C）f(x)的最小正周期为2 （D）f(x)的最大值为2

a5

)（x R）展开式中x3的系数为10，则实数a等于 （） x

1

（A）-1 （B） (C) 1 (D) 2

2x 2 1,x 1

5.已知函数f(x)= ，若f(f(0))=4a，则实数a= （）

2 x ax,x 1

14

（A） （B） (C) 2 (D) 9

25

4.(x

6.右图是求样本x 1，x2， x10平均数x的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【】

xn

n1

(C) S=S+ n (D) S=S+

n

(A) S=S+x n (B) S=S+

7. 若某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是【】 (A)

12

(B)

33

(C) 1 (D) 2

是

否

8.已知抛物线y=2px（p＞0）的准线与圆x+y－6 x－7=0相切，则p的值为【】 (A)

222

11

(B) 1 (C) 2 (D) 4 22

9.对于数列｛a n｝，“a n+1＞∣a n∣（n=1，2 ）”是“｛a n｝为递增数列”的【】 (A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件[来源:学+科+网] (C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为【】 (A) y=

x

10 x 3 x 3 x 4 x 5

(B) y= (C) y= (D) y= 10 10 10 10

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。 11.已知向量α =（2，-1），b=(-1,m)，c=(-1,2),若（a+b）‖c, 则m=_____ 12. 观察下列等式：1+23，1+2+3=6，1+2+3+4=10， ， 根据上述规律，第五个等式为 _1+2__3__+4____+5__=21___________.

13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为

.

3

3+

2

3

3

2

3

3=2

3

3

2

2

3

3

3

3

2

14.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：

某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求

的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为 (百万元)

15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A.(不等式选做题)不等式

B.(几何证明选做题)如图,已知

的解集为 .[来源:Z,xx,k.Co

的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的图与

AB交于点D,则 .

C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为

以原点为极点,x轴

则直线与圆C的交点的直角坐标为

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分) 16.(本小题满分12分) 已知

是公差不为零的等差数列,

的通项;

求数列

的前n项和

成等比数列.

求数列

如图，A，B是海面上位于东西方向相聚5（3+点北偏西60°且与B点相距）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B

海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该

救援船达到D点需要多长时间？

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 √PC的重点

（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。

，E，F分别是AD，

2

为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：[来源

:Z+xx+http://]

（（（

）估计该小男生的人数；

）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；

）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间的概率。

Zxxk.Co m]

20.（本小题满分13分）

如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为

,

F1,F2, | A1B1| =

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，是否存在上述直线l使

21、(本小题满分14分)

已知函数f（x）

g（x）=alnx，a R。[来源:学科网ZXXK][来源:学科网]

（1） 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程； （2） 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值 （a）的解析式； （3） 对（2）中的 （a），证明：当a （0，+ ）时， （a） 1.

，

成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

2010年陕西省高考理科数学试题参考答案

1.集合A= x| 1 x 2 ，B= x|x 1 ，则A (CRB)=【D】

（A） x|x 1 （B） x|x 1 （C） x|1 x 2 （D） x|1 x 2 解析：本题考查集合的基本运算

CRB X|x 1 ,A CRB x|1 x 2

z

2.复数

i

1 i在复平面上对应的点位于 【A】

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：本题考查复数的运算及几何意义

ii(1 i)1111 i，所以点（,)位于第一象限 1 i22222

3.对于函数f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是 【B】

A.f(x)在（4，2）上是递增的 B. f(x)的图象关于原点对称

C. f(x)的最小正周期为2 D. f(x)的最大值为2

解析：本题考查三角函数的性质f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数

a 3

4. x x R 展开式中x的系数为10，则实数a等于【D】

x

A.-1 B.

5

1

C.1 D.2 2

a rr5 2r1

aC5x,由5 2r 3得r 1,有aC5 10, a 2 x

r

解析：本题考查二项展开式的通项公式

Tr 1 Cx

r5

5 r

x 2 1，x 1 2

x ax，x 1若f（f（0）

5.已知函数f(x)= ）=4a，则实数a等于【C】

14

A.2 B. 5 C.2 D.9

解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2

6.右图是求样本x1，x2， ，x10平均数x的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A】 A.S=S+

xn

xn B.S=S+n

C.S=S+n

1

D.S=S+ n

7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C】

A.

12

B. C.1 D.2 33

解析：本题考查立体图形三视图及体积公式

如图，该立体图形为直三棱柱 所以其体积为

2

1

2

1

1 2 2 1 2

2

2

2

8.已知抛物线y 2px(p 0)的准线与圆x y 6x 7 0相切，则p的值为【C】

A.

1

B. 1 C.2 D.4 2

2

解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y＝2px（p>0）的准线方程为x ＋y＝16相切，所以3

2

p22

，因为抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2

p

4,p 2 2

2

2

2

法二：作图可知，抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）＋y＝16相切与点（-1,0） 所以

p

1,p 2 2

1，)...2，”是“ an 为递增数列”的【B】 9.对于数列 an ，“an 1 an(n

A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

，2，...)知 an 所有项均为正项， 解析：由an 1 an(n 1

且a1 a2 an an 1 ，即 an 为递增数列

，2，...)，如-2，-1,0,1,2， . 反之， an 为递增数列，不一定有an 1 an(n 1

10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于时再．．6．增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不

大于x的最大整数)可以表示为 【B】

A. y

x x 3 x 4 x 5

y B. C. D. y y 10101010

解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B 法二：设x 10m (0 9)，0 6时,

3 x 3 x

m m 10 ，1010

3 x 3 x

当6 9时, m m 1 1，所以选B 10 10 10

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11.已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则m=-1 解析：a b (1,m 1),由(a b)//c得1 2 (m 1) ( 1) 0，所以m=-1

12.观察下列等式：1 2 3，1 2 3 6，1 2 3 4 10， ，根据上述规律，第五个．．．等式为1 2 3 4 5 6 21。 ．．

解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方 所以第五个等式为1 2 3 4 5 6 21。 ．．．．．

13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影分的概率为

部分部

3

3

3

3

3

3

2

3

3

3

3

3

3

2

3

3

2

3

3

3

2

3

3

3

3

2

1

3

解析：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为取自阴影部分部分的概率为

1

3x2dx 1，

所以点M

1 3

14.铁矿石A和B的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的的CO2排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：

某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO2的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为15（万元）

解析：设购买铁矿石A和B各x，y万吨，则购买铁矿石的费用z 3x 6y x,y满足约束条件

x 0.5y 2

表示平面区域为 x 0,y 0则当直线z 3x 6y过点B（1,2）时，购买铁矿石的最少费用

z=15

15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A．（不等式选做题）不等式x 3 x 2 3的解集为xx 1 解析：法一：分段讨论

0.5x 0.7y 1.9

x 3时，原不等式等价于 5 3， x

3 x 2时，原不等式等价于2x 1 3，x 1 1 x 2

x 2时，原不等式等价于5 3， x 2

综上，原不等式解集为xx 1

法二：利用绝对值的几何意义放在数轴上研究 法三：借助函数y x 3 x 2的图像研究

B. (几何证明选做题)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则

16BD

9DA

16

5

解析： CD AB,由直角三角形射影定理可得

BC2 BD BA,又BC 4,BA 5,所以BD

AD

9BD16 5DA9

C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为

x cos y 1 sin

（a为参数）以原点为极点，x轴正半

轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 sin 1，则直线l与圆C的交点的直角坐标系为__(-1,1).(1,1)_____

解析：直线l的极坐标方程为 sin 1化为普通方程为y=1， 所以直线l与圆x (y 1) 1的交点坐标为(-1,1).(1,1)

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

（1） 16.解：

（1）由题设知公差d≠0

由a1 1且a1,a3,a9成等比数列得

2

2

1 2d1 8d

11 2d

解得d=1,d=0（舍去）故 an 的通项an 1 (n 1) 1 n

（2）由（1）知2

an

2(1 2n)

2n 1 2 2，由等比数列前n项和公式得Sn 2 2 2 ... 2

1 2

n

2

3

n

17.

解：由题意知海里，

DBA 90 60 30 , DAB 45 ,

ADB 105

在 DAB中，由正弦定理得

DBAB

sin DABsin

ADB

DB

AB sin DAB5(3 sin45 5(3 sin45

sin ADBsin105 sin45 cos60 sin60 cos45

，

又 DBC DBA ABC 30 (90 60 ) 60 ,BC 在 DBC中，由余弦定理得

CD2 BD2 BC2 2BD BC cos DBC

1

900 230

，则需要的时间t 。答：救援船到达D点需要1小时。 1（小时） CD 30（海里）

30

注：如果认定 DBC为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD，同样给分。

= 300 1200 2 18. 解法一：

（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。

∵

AP AB 2,BC AD ABCD是矩形

∴ A,B,C,D,P

的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),CDP(0,0,2) 又E,F分别是AD,PC的中点， ∴

EF

∴

PC (2, 2),BF ( EF (1,0,1), PC BF 2 4 2 0,PC EF 2 0 2 0, ∴

∴ PC BF,PC EF,

∴PC BF,PC EF,BF EF F,

∴ PC 平面BEF （Ⅱ）

由（Ⅰ）知平面BEF

的法向量n1 PC (2, 2),

平面BAP

的法向量n2 AD (0,，

∴ n1 n2=8

设平面BEF与平面BAP的家教为θ，

则cos |cos(n1,n2)|

|n1 n2|

|n1||n2|2

∴ 45，∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45 解法二：

（Ⅰ）连接PE,EC，在Rt PAE和Rt CDE中，

PA=AB=CD,AE=DE,

∴ PE=CE,即 PEC是等腰三角形， 又F是PC的中点，∴EF⊥PC，

又BF

BC,F是PC的中点，

∴BF PC

又BF EF F, PC 平面BEF

（Ⅱ）∵ PA⊥平面ABCD, ∴ PA⊥BC,

又ABCD是矩形，∴ AB⊥BC, ∴ BC⊥平面BAP，BC⊥PB, 又由（Ⅰ）知PC⊥平面BEF,

∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，

在 PBC中，PB=BC, PBC 90, PCB 45 所以平面BEF与平面BAP的夹角为45

19. 解：

（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人。

（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样

本中学生身高在170~180cm之间的概率p=0.5

（Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间的人数为4，

设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170~180cm之间”，

112

C622C6 C4 C42

则P(A) 1 2 （或P(A) ） 2

C103C103

20. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

由|A1B1|

a2 b2 7， ①

由S A1B1A2B2 2S B1F1B2F2知a=2c， ② 又 b a c， ③ 由①②③解得a 4,b 3，

2

2

222

x2y2

1 故椭圆C的方程为43

（Ⅱ）

设A，B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，假设使AP PB 1成立的直线l存在，

（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y kx m，

由l与n垂直相交于P点且|OP|=1得

AO B OP(P AO)(P PB 即m k 1∵AP PB 1，|OP|=1，∴O 1，

2

2

)

2

= OP OP PB PA OP PA PB= 1+0+0-1=0,

即x1x2 y1y2 0,将y kx m代入椭圆方程，得

(3 4k2)x2 8kmx (4m2 12) 0

由求根公式可得x1 x2

8km

， ④ 2

3 4k

4m2 12

⑤ x1x2 2

3 4k

0 x1x2 y1y2 x1x2 (kx1 m)(kx2 m)

= x1x2 kx1x2 km(x1 x2) m = (1 k)x1x2 km(x1 x2) m 将④，⑤代入上式并化简得

(1 k)(4m 12) 8km m(3 4k) 0 ⑥ 将m 1 k代入⑥并化简得 5(k 1) 0，矛盾 即此时直线l不存在

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

（ⅱ）当l垂直于x轴时，满足|OP| 1的直线l的方程为x=1或x=-1，

当X=1时，A,B,P的坐标分别为(1,),(1, ),(1,0)，

3 3∴AP (0, ),PB (0, )，

22

9

∴AP PB 1

4

当x=-1时，同理可得AP PB 1，矛盾

即此时直线l也不存在

3232

综上可知，使AP PB 1成立的直线l不存在

21. （本小题满分14分）

解：

（Ⅰ）f (x)

g (x)

a

(x 0)， x

alnx,

e2

由已知得a 解得a ,x e，

2 ,x

∴ 两条直线交点的坐标为(e,e)，切线的斜率为k f (e2) ∴ 切线的方程为y e （Ⅱ）由条件知h(x)

∴

h (x)

2

1， 2e

1

(x e2)

2e

alnx(x 0),

a x2

（ⅰ）当a>0时，令h (x) 0，解得x 4a，

∴ 当0 x 4a时，h (x) 0,h(x)在(0,4a)上递减； 当x 4a时，h (x) 0,h(x)在(4a, )上递增

∴x 4a是h(x)在(0, )上的唯一极值点，从而也是h(x)的最小值点 ∴最小值 (a) h(4a) 2a aln4a 2a(1 ln2a) （ⅱ）当a

0时，h (x)

2

2

22

22

2

2a

0,h(x)在(0, )上递增，无最小值， 2x

故h(x)的最小值 (a)的解析式为 (a) 2a(1 ln2a)(a 0)

（Ⅲ）由（Ⅱ）知 (a) 2ln2a

对任意的a 0,b 0

2ln2a 2ln2b

ln4ab ①

22a ba b () 2ln(2) ln(a b)2 ln4ab ②

22

(a) (b)

(

2ab2ab) 2ln(2) 2ln ln4ab ③ a ba b故由①②③得 (

a b (a) (b)2ab

) () 22a b