必修2第3.1.2两条直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定

1 斜率存在时两直线平行. 斜率存在时两直线平行.

y

l1 l2

α1O

α2x

两条直线平行与垂直的判定

结论1: 结论1: 如果直线L 的斜率为k 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2. 那么 L1∥L2 k1=k2注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不存立. 缺少这个前提，结论并不存立.

特殊情况下的两直线平行: 特殊情况下的两直线平行: 两直线的倾斜角都为90° 互相平行. 两直线的倾斜角都为90°,互相平行.

两条直线平行与垂直的判定

例题讲解例1 例2

两条直线平行与垂直的判定

例3: 求与直线2x+3y+5=0平行 平行， 求与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上的截距之

5 和为 6

的直线的方程. 的直线的方程.

一般地，直线Ax+By+C=0中系数 中系数A 确定直线的斜率， 一般地，直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率， 因此， Ax+By+λ 因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+λ=0 , 其中λ待定(直线系) 其中λ待定(直线系)

两条直线平行与垂直的判定

1 若直线 x 2ay = 1和 2 x 2ay = 1 平行， 平行，则 a =

0

。 1

2 若直线 x + ay = 2a + 2和 ax + y = a + 1平行，则 a = 平行， 3 直线 Ax 2 y 1 = 0和直线 6 x 4 y + C = 0平行 的条件是 。

两条直线平行与垂直的判定

2 斜率存在时两直线垂直. 斜率存在时两直线垂直.yy

yl2

l1 α2O

l2 α1x

l1

l1 α1xO

l2 α2x

α1O

α2

甲

乙

丙

两条直线平行与垂直的判定

结论2 结论2: 如果两直线的斜率为k 那么, 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直 的充要条件是k 的充要条件是k1·k2= -1 注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不存立. 缺少这个前提，结论并不存立. 特殊情况下的两直线平行与垂直. 特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时： 当两条直线中有一条直线没有斜率时： 当另一条直线的斜率为0 当另一条直线的斜率为0时， 则一条直线的倾斜角为90 另一条直线的倾斜角为0 则一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直

l1 ⊥ l2 k1 k 2 = 1或l1 , l2一斜率不存在另一斜率为0

两条直线平行与垂直的判定

例4 已知直线 ( a + 2) x + (1 a ) y 3 = 0 与

(a 1) x + (2a + 3) y + 2 = 0 互相垂直，求α的值 互相垂直，

两条直线平行与垂直的判定

例5: 求过点A(2,1)且与直线2x+y 10=0垂直的直线的方程 求过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线的方程 A(2,1)且与直线2x+y注意： 注意： 解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； 解法二是常常采用的解题技巧： ②解法二是常常采用的解题技巧：

一般地，由于与直线Ax+By+C=0垂直的直线的斜率互为负 一般地，

倒数， Bx-Ay+λ 其中λ待定(直线系) 倒数，故可得其方程为Bx-Ay+λ=0 ,其中λ待定(直线系)

两条直线平行与垂直的判定

1

如果直线L1,L2的方程为 如果直线L L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0)A1 B1 C1 ≠ 那么L1∥L2的充要条件是 = 那么L A2 B2 C2

2

如果直线L 如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0)

那么L1⊥L2的充要条件是A1A2+B1B2=1 那么L 的充要条件是A

两条直线平行与垂直的判定

如果直线L1,L2的斜截式方程为 的斜截式方程为 如果直线 L1:y=k1x+b1,L2:y=k2x+b2, 那么L1∥L2 k1=k2且b1≠b2 那么 ∥ 且

l1 // l2 k1 = k 2且b1 ≠ b2或l1 , l2 斜率都不存在且不重合

两条直线平行与垂直的判定

例1 : 两条直线L :2x-4y+7=0, :x-2y+5=0求证 求证:L 两条直线L1:2x-4y+7=0,L2:x-2y+5=0求证:L1∥L2 例 2: 求过点A(1,-4)且与直线 且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程 平行的直线的方程。 求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。注意： 注意： 解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； 解法二是常常采用的解题技巧。 ②解法二是常常采用的解题技巧。