数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴

一、圆幂的定义：

在平面上，从点P作半径为r的圆O的割线，从P起到和该圆周相交为止的两线段之积是一个定值，称为点P对于此圆周的圆幂.

圆幂定理：

（1）当P在圆O外时，点P对于此圆的幂等于OP2 r2； （2）当P在圆O内时，点P对于此圆的幂等于r2 OP2；

（3）当P在圆O上时，规定：点P对于此圆的幂等于0.

二、根轴及其性质 1.根轴的定义：

对于两个已知圆的圆幂相等的点的轨迹是一条直线，该直线称为这两圆的根轴.

2.根轴的性质：

（1）若两圆O1与O2相离（半径分别为r1，r2且r1 r2），点M为O1O2的中点，点H在

r22 r12线段O1M上，且MH ，则此两圆的根轴是过点H且垂直于O1O2的直线.特别

2O1O2地，当两圆相离且半径相等时，它们的根轴是线段O1O2的中垂线.

（2）若两个圆是同心圆，则这两个圆不存在根轴.

（3）若两个圆相交，则它们的公共弦所在的直线就是它们的根轴.

（4）若两圆相切，则过两圆切点的公切线是它们的根轴.

（5）若三个圆的圆心互不相同，则任意两个圆的根轴共三条直线，它们相交于一点或互相平行.

（6）若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点共线（都在根轴上）. 思考：能否从解析几何的角度看根轴？

1

三、例题

例1 如图，设I和O分别是 ABC的内心和外心，r和R分别是 ABC的内切圆和

外接圆的半径，过I作 ABC的外接圆的弦AK. 求证：（1）IK BK；

（2）AI IK 2Rr； （3）OI2 R2 2Rr.（欧拉公式）

例2 如图，设圆O1与圆O2相离，引它们的一条外公切线切圆O1于A，切圆O2于B，

又引它们的一条内公切线切圆O1于C，切圆O2于D，

求证：（1）AC BD；（2）直线O1O2是分别以AB，CD为直径的圆O3，O4的根轴；（3）直线AC和BD的交点K在两圆的连心线O1O2上 .

2

K例1

N两点，例3（1997年全国联赛）已知两个半径不相等的 O1与 O2相交于M，且 O1，

O2分别与 O内切于S，T两点，S，N，T三点共线，求证：OM MN.

四、练习题

1.点D，E为 ABC的边AB，AC上的点，分别以BE，CD为直径的圆O1与O2交于点M，N.求证： ABC的垂心H在直线MN上.

3

例3

C1.

2. （第36届IMO）设A、B、C、D是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别

BD为直径的圆O1，Y，以AC，直线XY交BC于点Z.若P为直线XYO2交于点X，

上异于Z的一点，直线CP与交圆O1于点C及M，直线BP与交圆O2于点B及N. 求证：

（1）B，M，N，C四点共圆； （2）A，M，N，D四点共圆； （3）AM，DN，XY共点.

2.

3. （第40届IMO国家队选拔题）凸四边形ABCD的四边满足AB AD CB CD，圆O分别与凸四边形ABCD的AB，BC两边相切于G，H两点，与对角线AC相交于E，F两点.求证：存在另一个过E，F两点，且分别与DA，DC的延长线相切的圆O'. D

B

3.

4