2010年江苏省淮安市清江中学高考数学模拟试卷

2010年江苏省淮安市清江中学高考数

学模拟试卷

2010年江苏省淮安市清江中学高考数学模拟试卷

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）

1、已知集合A={1，3}，B={1，2，3，4}，若集合P满足A∩P= 且A∪P=B，则P=． 考点：子集与交集、并集运算的转换。 专题：计算题。 分析：先根据A∩P=φ且A∪P=B分析出1 P，3 P，2∈P，4∈P，从而求出集合P． 解答：解：∵A∩P= 且A∪P=B ∴1 P，3 P，2∈P，4∈P 则P={2，4}

故答案为：{2，4}

点评：本题主要考虑集合子集与交集、并集运算的转换，以及分析问题解决问题的能力，属于基础题．

2、已知复数z满足（1+2i）z=5，则|z|=

．

考点：复数代数形式的混合运算。

分析：复数相等，则复数的模也相等，化简可得结果． 解答：解：∵（1+2i）z=5∴|（1+2i）z|=5∴|（1+2i）||z|=5 即

|z|=5∴|z|=

故答案为：．

点评：本题考查复数代数形式的模的运算，是基础题． 3、（2006 湖南）某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 85 分． 考点：众数、中位数、平均数。 专题：计算题。

分析：本题是一个加权平均数的问题，做出甲和乙两个班的总分数，除以两个班的总人数，就是这两个班的平均成绩．

解答：解：甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩， 算得甲班的平均成绩是90分， 乙班的平均成绩是81分， 该校数学建模兴趣班的平均成绩是

分．

故答案为：85 点评：本题考查加权平均数，这种问题注意要每一个数据乘以它的权重，得到所有数据之和，再除以所有数的个数．这种题目是初中教材上学习的内容．

4、已知函数f（x）=e，曲线y=f（x）过点（1，0）的切线方程为 x+y﹣1=0 ． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。 专题：计算题。

分析：欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在

﹣x

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x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 解答：解：∵f（x）=e，∴f（x）=﹣e， 设切点为P（x0，y0），则切线的斜率为

，

﹣x

/﹣x

且，

∴切线方程为，由于切线过点（1，0），

∴，

∴切线方程为y=﹣x+1． 故答案为：x+y﹣1=0．

点评：本小题主要考查互相平行的直线的斜率间的关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 5

、已知函数

的图象过点A（3，7），则此函的最

小值是 6 ．

考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数的图象。 专题：计算题。

分析：把点A代入函数式求得a，求得函数的解析式，然后把解析式整理成x﹣2+利用基本不等式求得函数的最小值． 解答：解：依题意可知3+a=7 ∴a=4 ∴f（x）=x+

=x﹣2+

+2≥2

+2=6（当且仅当x﹣2=

即x=4时

+2

等号成立） 故答案为：6 点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生对基本不等式基础知识的灵活应用． 6、已知k∈Z，

，若

，则△ABC

是直角三角形的概率是．

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；等可能事件的概率。

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专题：计算题。

分析：本题考察的知识点是古典概型，我们根据及k∈Z易求出满足条件的

所有的k，然后分类讨论△ABC是直角三角形时k的取值情况，然后代入古典概型计算公式，即可得到答案．

解答：解：由及k∈Z知：

k∈{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}， 若

则2k+3=0 k=﹣2； 若

则k﹣2k﹣3=0 k=﹣1或3， 所以△ABC是直角三角形的概率是．

点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都

相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．

7、阅读下面的流程图，若输入a=6，b=1，则输出的结果是

2

垂直，

与垂直，

考点：设计程序框图解决实际问题。 专题：操作型。

分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量x的值，模拟程序的运行，并将运行过程的各变量的值列表进行分析，不难得到最终输出的结果．

解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

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a b x 是否继续循环 循环前 6 1∥ 第一圈∥5 是

第二圈 4 6 2 是 第三圈 2 3 1 否 故输出的结果为：1 故答案为：1．

点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理） ②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 8、过椭圆

（a＞b＞0）的左顶点A作斜率为1的直线l与椭圆的另一个交点

为M，与y轴的交点为B，若AM=MB，则该椭圆的离心率为．

考点：椭圆的简单性质。 专题：计算题。

分析：易知左顶点A的坐标为（﹣a，0），从而设直线l的方程为：y=x+a，与y轴相交得到B（0．a），再由AM=MB知M为线段AB的中点得M（

），最后由M在椭圆上求

得a，c关系得到离心率．

解答：解：根据题意：左顶点A（﹣a，0），直线l的方程为：y=x+a ∴B（0．a）， 又∵AM=MB ∴M（

又∵M在椭圆上 ∴

2

2

2

2

）

整理得：a=3b=3（a﹣c） 22∴2a=3c ∴

故答案为：．

点评：本题主要考查椭圆的顶点，离心率以及a，b，c间的转化关系，同时还考查线与线的关系，点与椭圆的位置关系．

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9、已知在平面直角坐标系xoy中，O（0，0），A（1，﹣2），B（1，1），C（2，﹣1）动点

M满足条件，则的最大值为

考点：平面向量数量积的运算。 专题：计算题。 分析：利用向量的坐标求法求出各个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出各个数量积代

入已知不等式得到M的坐标满足的不等式，将利用不等式的性质求出范围． 解答：解：设M（x，y）则

的值用不等式组中的式子表示，

，

∵

∴

∵

∴

故答案为4

点评：本题考查向量的坐标形式的数量积公式、不等式的性质．

10、已知在一个样本中，40个数据分别落在4个组内，第一、二、四组数据个数分别为5、12、8，则第三组的频数为． 考点：频率分布直方图。 专题：图表型。

分析：根据小组频数之和等于数据总和计算第三小组的频数．

解答：解：根据题意可得：40个数据分别落在4个组内，第一、二、四组数据个数分别为5、12、8，

则第三组的频数为40﹣（5+12+8）=15． 故答案为：15．

点评：本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频

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率之和等于1．

11、给出下列命题：“p： x∈（0，+∞），不等式ax≤x﹣a恒成立”；q：“1是x的不等式（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0的解”．若两命题中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是 [﹣考点：交、并、补集的混合运算；命题的真假判断与应用。 专题：计算题。

分析：通过解决二次不等式恒成立求出p是真命题时a的范围，通过解二次不等式求出q是真命题时a的范围，“有且仅有一个真” 分两类求出a的范围．

2

解答：解：若p真则有a+4a≤0解得﹣4≤a≤0 若q真则有（1﹣a）（1﹣a﹣1）≤0解得0≤a≤1 ∵两命题中有且只有一个是真命题 则①p真q假时，有﹣4≤a≤0且a＞1或a＜0 ∴﹣4≤a＜0 ②p假q真时，有a＞0或a＜﹣4且0≤a≤1 ∴0＜a≤1 总之a∈[﹣4，0）∪（0，1] 故答案为[﹣4，0）∪（0，1]

点评：本题考查二次不等式恒成立求参数范围、二次不等式的解法、分类讨论的数学思想方法．

12、在正三棱锥A﹣BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC=a，则正三棱锥A﹣BCD的体积为

．

2

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。 专题：计算题。

分析：先证明三棱锥的三个顶角都是90°，然后求出侧棱长，再求体积． 解答：解：∵EF∥AC，EF⊥DE ∴AC⊥DE ∵AC⊥BD（正三棱锥性质） ∴AC⊥平面ABD 所以正三棱锥A﹣BCD是正方体的一个角，AB=

正三棱锥A﹣BCD的体积V=

故答案为：

点评：本题考查棱锥的体积，是中档题．

13、Sn为等差数列{an}的前n项的和，已知S15＞0，S16＜0，记

（n=1，2，…，15），

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若bn最大，则n= 8

考点：等差数列的前n项和。 专题：综合题。

分析：由等差数列的前n项和的公式分别表示出S15＞0，S16＜0，然后再分别利用等差数列的性质得到a8大于0且a9小于0，得到此数列为递减数列，前8项为正，9项及9项以后为负，由已知的不等式得到数列的前1项和，前2项的和，…，前15项的和为正，前16项的和，前17项的和，…，的和为负，所以得到b9及以后的各项都为负，即可得到b8为最大项，即可得到n的值． 解答：解：由S15=

=15a8＞0，得到a8＞0；由S16=

=8（a8+a9）

＜0，得到a9＜0， ∴等差数列{an}为递减数列．

则a1，a2，…，a8为正，a9，a10，…为负；S1，S2，…，S15为正，S16，S17，…为负， 则

＜0，

＜0，…，

＜0，

又S8＞S1＞0，a1＞a8＞0，得到

＞

＞0，故b8=最大．

故答案为：8

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道综合题．

14、数据1，2，x，﹣1，﹣2的平均数是0，则这组数据的方差是． 考点：极差、方差与标准差。 专题：计算题。

分析：先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算． 解答：解：1+2+x﹣1﹣2=0，解得x=0，

方差S=[（1﹣0）+（2﹣0）+（0﹣0）+（﹣1﹣0）+（﹣2﹣0）]=2． 故答案为：2．

点评：本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S=[（x1﹣）+（x2﹣）+…+（xn﹣）]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

二、解答题（共10小题，满分90分）

15、如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO为正三角形．

（1）若点A的坐标为

，求cos∠BOC的值；

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

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（2）若∠AOC=x（0＜x＜的最大值．

），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y

考点：在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值；平面直角坐标系与曲线方程。 专题：计算题。 分析：（1）根据△ABO为正三角形求得∠BOA，利用点A的坐标求得sin∠AOC和cos∠AOC，进而利用两角和公式求得cos∠BOC．

（2）利用余弦定理分别求得AC和BD，进而根据△ABO为正三角形求得AB，CD可知，四边相加得到y的函数解析式，利用两角和公式化简整理后，利用x的范围和正弦函数的性质求得函数的最大值． 解答：解：（1）∵△ABO为正三角形 ∴∠BOA=60° ∵点A的坐标为

∴tan∠AOC=，

∴sin∠AOC=，cos∠AOC=

∴cos∠BOC=cos（∠BOC+60°）=cos∠BOCcos60°﹣sin∠BOCsin60°= （

2

）

由

余

弦

定

理

可

知

AC=

；

=2sin，

BD=

AB=OB=1，CD=2， ∴

=2sin（﹣），

=，0＜x＜

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∴当x=时，ymax=5

点评：本题主要考查了三角函数的最值，数学模型的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．

16、已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点． （1）求证：B1D1⊥AE； （2）求证：AC∥平面B1DE； （3）求三棱锥A﹣BDE的体积．

考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积。 专题：证明题；综合题。 分析：（1）先证BD⊥面ACE，从而证得：B1D1⊥AE；

（2）作BB1的中点F，连接AF、CF、EF．由E、F是CC1、BB1的中点，易得AF∥ED，CF∥B1E，从而平面ACF∥面B1DE．证得AC∥平面B1DE；

（3）易知底为面ABD，高为EC，由体积公式求得三棱锥A﹣BDE的体积． 解答：解：（1）证明：连接BD，则BD∥B1D1，（1分） ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD． 又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．（4分） ∵AE 面ACE，∴BD⊥AE， ∴B1D1⊥AE．（5分）

（2）证明：作BB1的中点F，连接AF、CF、EF．

∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CE∴四边形B1FCE是平行四边形， ∴CF∥B1E．（7分） ∵E，F是CC1、BB1的中点，∴

B1F，

，

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又，∴．

∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED， ∵AF∩CF=F，B1E∩ED=E， ∴平面ACF∥面B1DE．（9分） 又AC 平面ACF，∴AC∥面B1DE．（10分） （3）

． （11分）

．（14分）

点评：本题主要考查线面垂直和面面平行的判定定理，特别要注意作辅助线．

17、某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人． （1）若a=9，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？

（2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？

考点：其他不等式的解法；函数单调性的判断与证明；根据实际问题选择函数类型。 专题：计算题。 分析：（1）设从今年起的第x年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y万元．在计划时间内，列出该企业的人均年终奖，

令其大于或等于3万元，求出最低年限，判断a=9是否满足题意．

（2）设1≤x1＜x2≤10，利用函数的单调性定义，人均年终奖年年有增长，确定a的范围，然后确定该企业每年员工的净增量不能超过的人数． 解答：解：（1）设从今年起的第x年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y万元． 则

；（4分）

由题意，有，

解得，．

所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标．

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（=

2）设

1≤x1

＜

=

x2≤10，则f（x2

）﹣f，

（

x1

）

所以，60×800﹣2000a＞0，得a＜24．

所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人． 点评：本题考查其他不等式的解法，函数单调性的判断与证明，根据实际问题选择函数类型，考查逻辑思维能力，分析问题解决问题的能力，是中档题．

18、在平面区域内有一个圆，向该区域内随机投点，将点落在圆内

的概率最大时的圆记为圆M． （1）试求出圆M的方程；

22

（2）设过点P（0，3）作圆M的两条切线，切点分别记为A、B，又过P作圆N：x+y﹣4x+λy+4=0的两条切线，切点分别记为C、D，试确定λ的值，使AB⊥CD． 考点：圆的一般方程；二元一次不等式（组）与平面区域；圆的切线方程。 专题：计算题；数形结合。 分析：（1）先画出该平面区域，明确区域所围成的平面图形的形状，再由“落在圆内的概率最大时的圆”则为该平面图形的内切圆．再由圆的相关条件求圆的方程．

（2）根据PM⊥AB，PN⊥CD，则要使AB⊥CD，只要PM⊥PN即可，即由，

建立关于λ的方程来求解． 解答：解：（1）画出该区域得三角形ABC，顶点坐标分别为A（﹣2，4），（4，1），（8，9），（2分）

且为直角三角形，三边长分别为3

，4

，5

（4分）

由于概率最大，故圆M是ABC内切圆，R=，（5分）

设M（a，b），则

解得a=3，b=4（9分）

22

所以圆M的方程为（x﹣3）+（y﹣4）=5（10分） （2）要使AB⊥CD，则PM⊥PN，

，（13分）

（7分）

N，P（0，3）

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求得λ=6（16分）

点评：本题主要考查平面区域的画法，三角形的内切圆的求法以及圆的切线的应用．还考查了数形结合的思想方法．

*

19、已知数列{an}前n项的和为Sn，且有Sn+1=kSn+2 （n∈N），a1=2，a2=1． （1）试证明：数列{Sn﹣4}是等比数列，并求an； （2） n∈N，不等式

*

恒成立，求正整数t的值；

（3）试判断：数列{an}中任意两项的和在不在数列{an}中？请证明你的判断． 考点：数列与不等式的综合；不等式的综合；数列的函数特性；等比数列。 专题：转化思想；反证法。

分析：（1）利用n=1求出常数k的值，再根据等比数列的定义找出Sn+1﹣4与Sn﹣4的倍数关系，从而得出等比数列，用通项公式求出an；

（2）将已知不等式移项，变成恒小于零的问题进行讨论，化分式不等式为整式不等式，根据2Sn+1﹣an+1＞an+1＞0，变形不等式为形如（x﹣x1）（x﹣x2）＜0的形式，得

出

，最后将an+1和Sn+1的表达式代入不等式，通过讨论得出t

的取值；

（3）运用反证法，先假设成立，通过变形、推理，得出矛盾，从而说明不存在． 解答：解：（1）由Sn+1=kSn+2（n∈N），a1=2，a2=1，令n=1得k=（1分）

*

∴Sn+1=Sn+2，即Sn+1﹣4=（Sn﹣4），（2分） 因为S1﹣4=﹣2， ∴{Sn﹣4}是等比数列（3分） ∴Sn﹣4=（﹣2）（）

n﹣1

即Sn=4[1﹣（）]，从而求得an=（）

nn﹣2

（5分）

（2）

由

得

即

化简得：

∵2Sn+1﹣an+1＞an+1＞0 ∴

即[at（2Sn+1﹣an+1）﹣1]（atan+1﹣1）＜0（7分）

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∴（9分）

∵an=（）

n﹣2

，Sn=4[1﹣（）]

n

∴

即对 n∈N

*

都成立，

则

（10分）

易得关于n递减，关于n递增（11分）

∴n=1时它们分别取得最大与最小，从而有即

∴t=3或4时成立．（12分） （3）不在．（13分）

假设存在两项am，an的和在此数列中，设为第k项，即am+an=ak（m，n，k互不相等） ∵an=（）

n﹣2

是关于n单调递减，

∴不妨设k＜m＜n则有（）

n﹣2

m﹣2

+（）

n﹣m

n﹣2

=（）

k﹣2

（*）

（*）式两边同乘以2，则有2+1=2显然这是不可能成立的．（16分）

点评：本题是一道数列与不等式相结合的综合题，属于难题．第一小问运用等比数列定义，得出通项公式，入手较容易；第二小问将不等式进行等价变形，同时要注意数列an+1、Sn+1表达式的及时运用与代入，还要结合数列的单调性的讨论，才能正确找出t的值，是本题的难点；第三小问运用反证法的同时，应注意推导时的等价变形和整数解的讨论． 20、已知函数

，a为正常数．

n﹣k

（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；

（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有

，

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求a的的取值范围．

考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义。 专题：计算题；分类讨论。 分析：（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．

（2）设h（x）=g（x）+x，依题意得出h（x）在（0，2]上是减函数．下面对x分类讨论：①当1≤x≤2时，②当0＜x＜1时，利用导数研究函数的单调性从及最值，即可求得求a的的取值范围． 解答：解：（1）

，（2分）

∵，令f′（x）＞0，得x＞2，或，

∴函数f（x）的单调增区间为，（2，+∞）．（6分）

（2）∵，

∴，

∴，（8分）

设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数． 当1≤x≤2时，

，

，

令h′（x）≤0，得：2]恒成立， 设

，则

对x∈[1，

，

∵1≤x≤2，∴，

∴m（x）在[1，2]上递增，则当x=2时，m（x）有最大值为，

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∴（12分）

当0＜x＜1时

，

，

，

令h′（x）≤0，得：，

设

∴t（x）在（0，1）上是增函数， ∴t（x）＜t（1）=0， ∴a≥0，（15分）综上所述，

，则，

（16分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 21、设数列{an}，{bn}满足an+1=3an+2bn，bn+1=2bn，且满足阵M．

考点：二阶矩阵。 专题：计算题。

=M

，试求二阶矩

分析：由题设得，设，则M=A．由此利用矩

4

阵的运算法则能够求出二阶矩阵M．

解答：解：由题设得，设，则M=A．（5分）

4

M=A=（A）=

4

2

2

=．（10分）

点评：本题考查矩阵的运算法则，解题时要注意矩阵的乘法运算．