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分类讨论思想

重难点归纳分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则 分类讨论常见的依据是1 由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定

义包含了分类

2 由公式条件分类 如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义

中图形的分类等3 由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分

类讨论学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论题型一、概念内涵

例1、设函数f(x)=x2+｜x–a｜+1，x∈(1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)求函数f(x)的最小值解当a=0时，函数f(–x)=(–x)2+｜–x｜+1=f(x)，

此时f(x)当a≠0时，f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2｜a｜+1f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)

此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数

（2）①当x≤a时，函数f(x)=x2–x+a+1=(x–若a≤

123)+a+ 24

1

，则函数f(x)在(–∞,a］上单调递减2

从而函数f(x)在（–∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1

若a＞且f(

113

，则函数f(x)在（–∞,a]上的最小值为f()=+a， 224

1

)≤f(a) 2

②当x≥a时，函数f(x)=x2+x–a+1=(x+若a≤–且f(–

123)–a+ 24

113

，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(–)=–a， 224

1

)≤f(a)； 2

1

，则函数f(x)在［a,+∞)2

若a＞–

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从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1综上，当a≤–当–

13

时，函数f(x)的最小值为–a； 24

11

＜a≤时，函数f(x)的最小值是a2+1； 221时，函数f(x)的最小值是a2当a＞

2 已知集合A={x｜x2–3x+2=0},B={x｜x2–ax+(a–1)=0}，C={x｜x2–mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，则a的值为，m解析A={1,2},B={x｜(x–1)(x–1+a)=0},

由A∪B=A可得1–a=1或1–a=2； 由A∩C=C，可知C={1}或 答案或3 3或（–22，22）

3 已知集合A={x｜x2+px+q=0}，B={x｜qx2+px+1=0},A,B同时满足 ①A∩B≠ ,②A∩

B={–2}求p、q的值

解设x0∈A，x0是x02+px0+q=0的根

若x0=0，则A={–2,0}，从而p=2,q=0,B={–此时A∩B= 与已知矛盾，故x0≠01} 2

将方程x02+px0+q=0两边除以x02，得q(即

121

) p() 1 0x0x0

11满足B中的方程，故∈Bx0x0

∵A∩B={–2},则–2∈A,且–2∈B设A={–2,x0}，则B={

11

,}，且x0≠2（否2x0

则A∩B= ）若x0=–

111，则–2∈B,与–2 B矛盾 又由A∩B≠ ,∴x0=，即x0=±1 2x0x0

即A={–2,1}或A={–2,–1}故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根–2，1或–2，

–1

p ( 2 1) 1 p ( 2 1) 3∴ 或

q ( 2) 1 2q ( 2) ( 1) 2

4 空间四边形ABCD中，AB=CD,边AB、CD所在直线所成的角为30。E F分别为边

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BC、AD的中点，则直线EF与AB所成的角为 ( ) （A） 75

(B) 15 (C) 75或15 (D) 90

5 函数f(x)=a(a>0且a 1)在[1,2]中最大值比最小值大

x

a

，则a的值 2

6、已知函数f(x)=x2+ax+3,当x [-2,2]时,f(x) a恒成立,求实数a的范围.

7、设a>1, 解x的不等式|logaax|<|logax|+2

2

loga2x 2logax

变式1、解关于x的不等式组 22

(a 1)x a 1

进行分类，

其中a＞0且a≠1.

解，由于不等式中均含有参数a，其解的状况均取决于a＞1还是a＜1，所以1为标准（Ⅰ）当0＜a＜1时，可求得解为: a 1 x 2; （Ⅱ）当a＞1时，可解得:

x 2

, 此时不等式组是否有解关键取决于

0 x a 1

a 1 与2的大小关系，所以以a 1 2 即a＝3为标准进行第二次分类。

（1） （2）

当1＜a≤3时解集为Φ 当a＞3时解集为 (2,a 1).

综上所述：当0＜a＜1时，原不等式解集为 (2, a 1);当1＜a≤3时，解集为Φ；

当a＞3时，解集为 (2, 1).

8、一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（ ） A. x y 7 0 B. 2x 5y 0

C. x y 7 0或2x 5y 0 D. x y 7 0或2y 5x 0

分析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,

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当a=0时，直线过原点，此时直线方程为y 当a 0时，设直线方程为9、 ABC中，已知sinA

2

x，即2x 5y 0； 5

xy

1，则求得a 7，方程为x y 7 0。 aa

15

，cosB ，求cosC 213

10、已知圆x2 y2 4，求经过点P（2，4），且与圆相切的直线方程。

分析：容易想到设出直线的点斜式方程y 4 k(x 2)再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率k，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点P的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点P的直线分两种情形：（1）斜率存在时；（2）斜率不存在。

解：（1）斜率存在时，设出直线的点斜式方程y 4 k(x 2)即kx y 2k 4 0

2，解得k

3

4

所以，直线方程为3x－4y+10=0 （2）斜率不存在，直线方程为x=2 此时直线与圆相切

综上所述，所求直线方程为3x－4y+10=0或x=2

题型二、由公式条件分类

1、已知{an}是首项为2，公比为

1

的等比数列，Sn为它的前n项和 …… 此处隐藏：5056字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……