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分类讨论思想

重难点归纳分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则 分类讨论常见的依据是1 由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定

义包含了分类

2 由公式条件分类 如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义

中图形的分类等3 由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分

类讨论学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论题型一、概念内涵

例1、设函数f(x)=x2+｜x–a｜+1，x∈(1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)求函数f(x)的最小值解当a=0时，函数f(–x)=(–x)2+｜–x｜+1=f(x)，

此时f(x)当a≠0时，f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2｜a｜+1f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)

此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数

（2）①当x≤a时，函数f(x)=x2–x+a+1=(x–若a≤

123)+a+ 24

1

，则函数f(x)在(–∞,a］上单调递减2

从而函数f(x)在（–∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1

若a＞且f(

113

，则函数f(x)在（–∞,a]上的最小值为f()=+a， 224

1

)≤f(a) 2

②当x≥a时，函数f(x)=x2+x–a+1=(x+若a≤–且f(–

123)–a+ 24

113

，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(–)=–a， 224

1

)≤f(a)； 2

1

，则函数f(x)在［a,+∞)2

若a＞–

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从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1综上，当a≤–当–

13

时，函数f(x)的最小值为–a； 24

11

＜a≤时，函数f(x)的最小值是a2+1； 221时，函数f(x)的最小值是a2当a＞

2 已知集合A={x｜x2–3x+2=0},B={x｜x2–ax+(a–1)=0}，C={x｜x2–mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，则a的值为，m解析A={1,2},B={x｜(x–1)(x–1+a)=0},

由A∪B=A可得1–a=1或1–a=2； 由A∩C=C，可知C={1}或 答案或3 3或（–22，22）

3 已知集合A={x｜x2+px+q=0}，B={x｜qx2+px+1=0},A,B同时满足 ①A∩B≠ ,②A∩

B={–2}求p、q的值

解设x0∈A，x0是x02+px0+q=0的根

若x0=0，则A={–2,0}，从而p=2,q=0,B={–此时A∩B= 与已知矛盾，故x0≠01} 2

将方程x02+px0+q=0两边除以x02，得q(即

121

) p() 1 0x0x0

11满足B中的方程，故∈Bx0x0

∵A∩B={–2},则–2∈A,且–2∈B设A={–2,x0}，则B={

11

,}，且x0≠2（否2x0

则A∩B= ）若x0=–

111，则–2∈B,与–2 B矛盾 又由A∩B≠ ,∴x0=，即x0=±1 2x0x0

即A={–2,1}或A={–2,–1}故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根–2，1或–2，

–1

p ( 2 1) 1 p ( 2 1) 3∴ 或

q ( 2) 1 2q ( 2) ( 1) 2

4 空间四边形ABCD中，AB=CD,边AB、CD所在直线所成的角为30。E F分别为边

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BC、AD的中点，则直线EF与AB所成的角为 ( ) （A） 75

(B) 15 (C) 75或15 (D) 90

5 函数f(x)=a(a>0且a 1)在[1,2]中最大值比最小值大

x

a

，则a的值 2

6、已知函数f(x)=x2+ax+3,当x [-2,2]时,f(x) a恒成立,求实数a的范围.

7、设a>1, 解x的不等式|logaax|<|logax|+2

2

loga2x 2logax

变式1、解关于x的不等式组 22

(a 1)x a 1

进行分类，

其中a＞0且a≠1.

解，由于不等式中均含有参数a，其解的状况均取决于a＞1还是a＜1，所以1为标准（Ⅰ）当0＜a＜1时，可求得解为: a 1 x 2; （Ⅱ）当a＞1时，可解得:

x 2

, 此时不等式组是否有解关键取决于

0 x a 1

a 1 与2的大小关系，所以以a 1 2 即a＝3为标准进行第二次分类。

（1） （2）

当1＜a≤3时解集为Φ 当a＞3时解集为 (2,a 1).

综上所述：当0＜a＜1时，原不等式解集为 (2, a 1);当1＜a≤3时，解集为Φ；

当a＞3时，解集为 (2, 1).

8、一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（ ） A. x y 7 0 B. 2x 5y 0

C. x y 7 0或2x 5y 0 D. x y 7 0或2y 5x 0

分析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,

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当a=0时，直线过原点，此时直线方程为y 当a 0时，设直线方程为9、 ABC中，已知sinA

2

x，即2x 5y 0； 5

xy

1，则求得a 7，方程为x y 7 0。 aa

15

，cosB ，求cosC 213

10、已知圆x2 y2 4，求经过点P（2，4），且与圆相切的直线方程。

分析：容易想到设出直线的点斜式方程y 4 k(x 2)再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率k，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点P的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点P的直线分两种情形：（1）斜率存在时；（2）斜率不存在。

解：（1）斜率存在时，设出直线的点斜式方程y 4 k(x 2)即kx y 2k 4 0

2，解得k

3

4

所以，直线方程为3x－4y+10=0 （2）斜率不存在，直线方程为x=2 此时直线与圆相切

综上所述，所求直线方程为3x－4y+10=0或x=2

题型二、由公式条件分类

1、已知{an}是首项为2，公比为

1

的等比数列，Sn为它的前n项和 2

（1）用Sn表示Sn+1; （2）是否存在自然数c和k，使得

Sk 1 c

2Sk c

命题意图本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的

基本性质错解分析第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出

3

Sk 2 c Sk 2

技巧与方法本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型在探讨第2问的解法时，

即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获

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解（1）由Sn=4(1–

1），得 2n

Sn 1 4(1

12

) n 1

1

Sn 2，(n∈N*) 2

3

c (Sk 2)

S c 0 （2）要使k 1 2，只要

c SkSk c

因为Sk 4(1 故只要

131

) 4S (S 2) 2 Sk 0，(k∈N*) ， 所以kkk

222

3

Sk–2＜c＜Sk，（k∈N*） 2

33

Sk–2≥S1–2=1 22

因为Sk+1＞Sk，(k∈N*) ① 所以

又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c＜Sk不成立，从而①不成立

当k≥2时，因为故当k≥2时，

3533

S2 2 c，由Sk＜Sk+1(k∈N*)得 Sk–2＜Sk+1–2 2222

3

Sk–2＞c，从而①不成立 2

当c=3时，因为S1=2，S2=3，

所以当k=1，k=2时，c＜Sk不成立，从而①不成立 因为

33313

S3 2 c，又Sk–2＜Sk+1–2

2224

3

Sk–2＞c，从而①成立 2

所以当k≥3时，

综上所述，不存在自然数c,k,使

Sk 1 c

2Sk c

2、给出定点A（a,0)（a＞0）和直线l x=–1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交

AB于点C 求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系命题意图 本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法

综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力知识依托椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式

和分类讨论轨迹方程表示曲线类型精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应

满足的关系式 依题意，记B（–1，b)，(b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=

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设点C(x,y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等根据点到直线的距离公式得｜y｜=依题设，点C在直线AB上，故有

|y bx| b

2

①

y

b

(x a) 1 a

(1 a)y

②

x a

由x–a≠0，得b

将②式代入①式，得y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0 若y≠0，则

(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)

若y=0则b=0,∠AOB=π，点C的坐标为（0，0）满足上式

综上，得点C的轨迹方程为

（1–a）x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)

(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x＜1) ③ 此时方程③表示抛物线弧段； (ii)当a≠1，轨迹方程化为

(x

a2

)2

y 1(0 x a) ④

2

2a()1 a1 a2

所以当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段, 设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足（i）当｜BD｜≠0时， 设点C(x,y)，则0＜x＜a，y≠0 由CE∥BD，得|BD|

|CE| |DA||y|

(1 a)|EA|a x

∵∠COA=∠COB=∠COD–∠BOD=π–∠COA–∠BOD ∴2∠COA=π–∠BOD ∴tan(2 COA)

2tanCOA

1 tan2COA

tan( BOD) tanBOD

|y|

x

∵tanCOA

tanBOD

|BD||y|

(1 a)

|OD|a x

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|y|

|y|(1 a)整理，得 ∴

a x1 2

x2

(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)

(ii)当｜BD｜=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为(0,0)，满足上式综合(i)、(ii)，得点C的轨迹方程为 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a) 以下同解法一设C(x,y)、B(–1,b)，

则BO的方程为y=–bx，直线AB的方程为y ∵当b≠0时，OC平分∠AOB，设∠AOC=θ,

b

(x a) 1 a

∴直线OC的斜率为k=tanθ,OC的方程为y=kx于是

tan2

2tan 2k

1 tan2 1 k2

又tan2θ=–b ∴–b=

2k

① 2

1 k

b

(x a) ② 1 a

2k

(x a) ③ 1 k2

∵C点在AB上 ∴kx

由①、②消去b，得(1 a)kx 又k

y

，代入③，有 x

y

y(x a) (1 a) xxy2

1 2

x

2

整理，得(a–1)x2–(1+a)y2+2ax=0 ④ 当b=0时，即B点在x轴上时，C(0,0)满足上式a2

)

y2a≠1时，④式变为 1 2

2a()1 a1 a2

(x

当0＜a＜1时，④表示椭圆弧段； 当a＞1时，④表示双曲线一支的弧段；

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当a=1时，④表示抛物线弧段

2n an

1其中a∈R，则a的取值范围是( ) 3、 已知limn

n 2 an

a＜0 B a＜2或a≠–2 C –2＜a＜2 D a＜–2或a＞2

变式1：设首项为1,公比为x (x>0)的等比数列{an}的前n项的和为sn. (1) 当bn=

an

时，试写出bn关于x和n的表达式 sn

(2) 试比较bn与bn 1的大小

变式2：已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆Cx2+y2=1，动点M到圆C的切线长与｜

MQ｜的比等于常数λ(λ＞0)求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线

解如图，设MN切圆C于N，则动点M组成的集合是P={M｜｜MN｜=λ｜MQ｜,λ＞

0}

∵ON⊥MN,｜ON｜=1,

∴｜MN｜2=｜MO｜2–｜ON｜2=｜MO｜2–1 设动点M的坐标为(x,y)，

2

2

则x y 1 (x 2) y 即（x2–1)(x2+y2)–4λ2x+(4λ2+1)=022

经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P， （1）当λ=1时，方程为x=线；

55

，它是垂直于x轴且与x轴相交于点（，0）的直44

2 221 3 22

（2）当λ≠1(x 2 ) y 2

1( 1)2

2 2 3 2

,0)为圆心，2它是以(2为半径的圆 1| 1|

变式3、设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为Sn,又设Tn＝1，2，···，求Tn.

解：当q＝1时，Sn＝n，Tn＝

Sn

，n＝Sn 1

n

, limTn 1

n n 1

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1 qn

当q≠1时，Sn＝

1 q

n

Sn 1

n

1 qn 1

1 q

n

1 qn

Tn n 1

1 q

于是当0＜q＜1时，limq 0, limTn 1 当q＞1时，lim

11

0, limT n

n qnn q

1(0 q 1)

综上所述，limTn 1

(q 1)n

q

例3.解关于x的不等式：ax2 (a 1)x 1 0

解：（1）当a 0时，原不等式化为 x 1 0 x 1 （2）当a 0时，原不等式化为a(x 1)(x ①若a 0，则原不等式化为(x 1)(x

1

) 0 a

1

) 0 a

1 0a

11

1 不等式解为x 或x 1 aa

1

) 0 a

②若a 0，则原不等式化为(x 1)(x （Ⅰ）当a 1 1，不等式解为

1a1

x 1 a

，不等式解为x （Ⅱ）当a 1 1

，不等式解为1 x （Ⅲ）当0 a 1 1

综上所述，得原不等式的解集为

1a

1a1 a

1

当a 0时，解集为 xx 或x 1 ；当a 0时，解集为 x|x 1 ；

a

1

当0 a 1时，解集为 x x ；当a 1时，解集为 ；

a

1

当a 1时，解集为 x x 1 。

a

题型三、由实际意义分类

1、已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数： ①. C A∪B且C中含有3个元素； ②. C∩A≠φ 。

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【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。

22130

【解】 C112·C8＋C12·C8＋C12·C8＝1084

【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另

3一种解题思路是直接使用“排除法”，即C320－C8＝1084。

2、解不等式

(x 4a)(x 6a)1

>0 (a为常数，a≠－)

2a 12

【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对

11

参数a分四种情况a>0、a＝0、－<a<0、a<－分别加以讨论。

22

【解】 2a＋1>0时，a>－

1

； －4a<6a时，a>0 。 所以分以下四种情况讨论： 2

当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a； 当a＝0时，x>0，解得：x≠0； 当－

2

1

<a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得: x<6a或x>－4a； 2

1

当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a<x<－4a 。

2

综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－

1

<a<0时，x<6a或2

1

x>－4a；当a>－时，6a<x<－4a 。

2

【注】 本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。

3、设a≥0,在复数集C中，解方程：z＋2|z|＝a 。 (90年全国高考)

【分析】由已知z＋2|z|＝a和|z|∈R可以得到z∈R，即对z分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。

【解】 ∵ |z|∈R，由z＋2|z|＝a得：z∈R； ∴ z为实数或纯虚数

当z∈R时，|z|＋2|z|＝a,解得：|z|＝－1＋ a ∴ z＝±(－1＋ a)； 当z为纯虚数时，设z＝±yｉ (y>0)， ∴ －y＋2y＝a 解得：y＝1± a （0≤a≤1）

由上可得，z＝±(－1＋ a)或±(1± a)ｉ

【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。

2

2

2

2

2

2

2

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