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12．（本题满分15分）已知函数f(x) （1）求函数f(x)的极值；

（2）是否存在正整数a,使得方程f(x)

12x

e e(ex e x) x 2

f( a) f(a)

在区间[ a,a]上有三 个不同的实

2

根，若存在，试确定a的值：若不存在，请说明理由。

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x2

y2 1的左、13．（本小题满分15分）设F1、F2分别是椭圆 4

（1）求PF1 PF2的取值范围;

（2）设过定点Q(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且

∠MON为锐角，求直线l的斜率k的取值范围. 解：(1

）易知a 2,b 1,c

右焦点，P是该椭圆上的一个动点，O为坐标原点.

PF PF

x, y ,所以F1,F2

1

2

，设P x,y ，则

故-2 PF1 PF2 1------------6分

（2）显然直线x 0不满足题设条件，可设直线l:y kx 2，M

(x1,y1),N(x2,y2)

x21

x, y x y 3 x 1 3 3x2 8 44，

222

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y kx 2 21 2则 x2消去，整理得：y2 k x 4kx 3 0 y 14 4

33

或k ---①--------------------9分

22

4k3

又∵x1 x2 ,x1 x2

k2 k2

44

由 0得： k

又0°<∠MON<90° cos∠MON>0 OM ON>0 ∴OM ON x1x2 y1y2 0-------------------------11分

8k2 k2 1

4 y1y2 kx1 2 kx2 2 kx1x2 2k x1 x2 4

k2 k2 k2

444

3 k2 1

0，即k2 4 ∴ 2 k 2---② ----13分 ∴

k2 k2

44

故由①、②得 2 k k 2 ------------------------15分

2

3k2

2x

14．（本题15分）已知函数f(x) (x 3x 3) e，其定义域为 2,t （t 2）,

设f( 2) m,f(t) n.

（1）试确定t的取值范围,使得函数f(x)在 2,t 上为单调函数； （2）试判断m,n的大小并说明理由；

f'(x0)22

(t 1)（3）求证：对于任意的t 2,总存在x0 ( 2,t)，满足,并确定这样x0

e3

的x0的个数.

解：（1）因为f (x) (x 3x 3) e (2x 3) e x(x 1) e-----1分

由f (x) 0 x 1或x 0；由f (x) 0 0 x 1,

所以f(x)在( ,0),(1, ) 上递增,在(0,1)上递减-------------3分 要使f(x)在 2,t 上为单调函数,则 2 t 0---------------4分 （2）n m.

2

x

x

x

f(x)在( ,0),(1, )上递增,在(0,1)上递减，∴f(x)在x 1处有极小值e---6分