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【第五课时】加法的初步认识

1. 动手操作，体验加法的含义。用桌子上的5个圆片摆出不同的加法算式。学生操作汇报交流。

答案：4+1 1+4 3+2 2+3 1+3 3+1 ……

2. 填一填。

答案：5；4；4；5。

3. 照样子画一画，再写出得数。

答案：

3＋2＝51＋4＝53＋1＝4○○○○○○○○○○○○○○

4. 你能帮小鸡找到自己的家吗？

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5.试一试。

答案：3；4；3。

【第六课时】减法的初步认识1．说一说，填一填。

答案：

1 2 3

3．请在正确答案上涂上你喜欢的颜色。

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答案：

4 3 1

5 4 1

5．找一找，连一连。

答案：

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一、 排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．

一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．

排列的基本问题是计算排列的总个数．

从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．

根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：

步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；

步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法； ……

步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有

11n m n m --=-+（）(种)方法；

由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是

121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+ （）（）（），即121m n P n n n n m =---+ （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘． 知识结构

排列组合

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二、 排列数

一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅ （）（）．

表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅ （）（）　．

在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．

三、 组合问题

日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．

一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．

从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取

出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．

一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：

第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；

第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．

根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⨯． 因此，组合数12)112321

m

m n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯ （）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式．

四、 组合数的重要性质

一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)

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这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方

法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．

例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255

C C =． 规定1n n C =，01n C =．

五、 插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一

般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．

在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．

六、 使用插板法一般有如下三种类型：

⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成

一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．

⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，

还剩下[(1)]n m a -- 个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以

了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．

⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法

的数目为11m n m C -+-．

【例 1】 4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧

挨着排在正中间有多少种不同的排法？

例题精讲

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【巩固】4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？

【例 2】将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻．请问共有多少种不同的排列方法？

【巩固】6名小朋友、、、、、

A B两人必须相邻，一共有多少种

A B C D E F站成一排，若，

不同的站法？若、

A B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？

【例 3】书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起

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排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和

漫画书不要分开有多少种排法？

【巩固】四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？

【例 4】8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？

【巩固】a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法？

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【例 5】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：

⑴当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？

⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排

节目的顺序？

【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少

种？

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【例 6】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？

【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？

【巩固】有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法．

【例 7】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？

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【巩固】将13个相同的苹果放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着。一共有种不同的放法。

【例 8】把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？

【巩固】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？

【例 9】(1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?

(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?

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【巩固】有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？

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【例 10】马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉

的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？

【巩固】学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的

方法共有多少种？

【例 11】在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？

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【巩固】 大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个？

【例 12】 所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？

【巩固】 从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一

次进位？

【随练1】 某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成课堂检测

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一排，要求女少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少

种？

【随练2

】 把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3 个人，每人至少1支，问有多少种方法？

【随练

3】 在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？

【作业1】 将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有

种不同的放法。

【作业2】 学校合唱团要从6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有多少种抽调方法？ 家庭作业

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【作业3】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个。

【作业4】学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？

（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？

【作业5】由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有个．

【作业6】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案?