全面的题型。

现代设计方法综合训练题

第二部分 非选择题

三、填空题 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1．计算机辅助设计（CAD）是指人们在计算机的设计、绘图、分析计算或编写技术文件以及显示、输出的一种设计方法。

2．CAD系统的软件根据其用途可分为三类，支撑软件专用软件。 3．在特征模型中，形状特征是其它特征的载体，非几何特征信息一般作为形状特征上。

4．在单峰搜索区间[a,b]内，任取两个试算点a1,a2，若两点的函数值F(a1)>F(a2)，则缩小后的区间为 。

5．当有两个设计变量时，目标函数与设计变量之间的关系是 6．在有限元方法中，求总刚度矩阵的方法主要有两种，其中一种方法是利用刚度系数集成的方法获得总刚度矩阵的，该方法应用了 原理。 7．单元刚度矩阵具有对称性、

8．2/3表决系统中各子系统的可靠度为R，则该系统的可靠度为。 9．可靠度是对产品可靠性的度量。

10．某串联机电系统由N个子系统组成，各子系统的可靠度服从指数分布，且第i个子系统的失效率为λ，则该系统的平均寿命为 。

11．优化设计亦称最优化设计，它是以种设计方法。

12．优化设计的数学模型一般由设计变量、和约束条件三个基本要素组成。 13．国标GB3187-82将可靠性定义为：“产品在完成规定功能的能力。”

14．所谓特征指的是反映形状。

15．梯度是函数F X 对各个设计变量的所组成的列矢量，并以符号“ F X ”或gradF X 表示。

16．二次插值法的基本思想是：在选定的单峰区间内取一点，连同两端点，利用这三点的函数值构成一个 ，作为原函数的近似，求出近似二次多项式的极小点作为原函数的近似最优点。

17．单元刚度矩阵具有对称性、

18．当前公认著名的大型通用有限元分析软件是MSC/NASTRAN和

19．产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的，称作产品的可靠度。 20．设一电力系统由100台相同的电机组成，每台电机的故障率为2%，如果系统中电机失效数符合二项分布，则系统恰好有4台电机失效的概率是 。

21．关于可靠性，国标GB3178-1982定义为：“产品在规定的条件下和规定功能的能力。

22．一个典型的CAD系统的基本硬件，一般由、输入设备、输出设备和存储设备组成。

全面的题型。

23．当目标函数F(X)和约束条件gu(X)、hv(X)都是设计变量的并求解的过程，通常叫线性规划。

24．设目标函数为F X F x1,x2 x1x2

2

x12，矢量S的方向为

，

，由点

T

X 0 1,1 点沿方向S的方向导数是。

25．对于多元函数，其极值点的必要条件是。

26．进行有限元分析时，在整体坐标系中，为了得到总刚度矩阵，节点应按编号。 27．传统设计和可靠性设计都是以零件的 28．一批产品从投入运行到发生失效的平均工作时间称为。

29．组成并联系统的零件的可靠度与该并联系统的可靠度相比较，的可靠度高。

2230．函数F X 3x1 x2 2x1x2 2在点（1，0）处的梯度为。

31．设备坐标系是一个定义在设备上的二维平面坐标系，它的定义域是。 32．当目标函数F(X)和约束条件gu(X)、hv(X)都是设计变量的并求解的过程，通常叫线性规划。

33．将平面图形沿Y方向平移2个单位，然后放大一倍，其变换矩阵为。 34．对于多元函数，其极值点的必要条件是。

35．故障树是一种，它是用事件符号、逻辑门号和转移符号描述系统中各种事件之间因果关系的图。

36．为了得到既有快速收敛的性质，又能避免计算二阶导数矩阵及其逆矩阵，减少计算工作量而提出的算法是 。

37．对于一根平面杆件分两个端点，除轴向位移外，还有垂直于轴向的和角位移。 38．函数的方向导数是描述函数在某点沿

39．滚筒式绘图仪是用两只分别带动绘图纸和绘图笔的运动，从而产生图形轨迹。

40．一个典型的CAD系统的基本硬件，一般由、输入设备、输出设备和存储设备组成。

41．设目标函数为F X F x1,x2 x1x2

2

x12，矢量S的方向为

，

，由点

TX 0 1,1 点沿方向S的方向导数是。

42．2/3表决系统中各子系统的可靠度为R，则该系统的可靠度为。

43．某串联机电系统由N个子系统组成，各子系统的可靠度服从指数分布，且第i个子系统的失效率为λ，则该系统的平均寿命为 。

44．组成并联系统的零件的可靠度与该并联系统的可靠度相比较，的可靠度高。 45．一个典型的CAD系统的基本硬件，一般由、输入设备、输出设备和存储设备组成。

46．在特征模型中，形状特征是其它特征的载体，非几何特征信息一般作为附加在形状特征上。

47．设目标函数为F X F x1,x2 x1x2

T

2

x12，矢量S的方向为

，

，由点

X 0 1,1 点沿方向S的方向导数是。

全面的题型。

48．优化设计的数学模型一般由设计变量、和约束条件三个基本要素组成。 49．组成并联系统的零件的可靠度与该并联系统的可靠度相比较，的可靠度高。 四、简答题

1．与传统设计方法相比较，CAD技术的主要特点有哪些？

2．说明几何造型中的边界表面表示（B-rep）法的基本思想。该方法中实体外表面几何形状信息数据有哪些？

3．与文件系统相比，数据库系统的主要特征有哪些？ 4．常用的可靠度分配方法有哪三种？各自的分配原则是什么？ 5．在有限元分析时，什么情况下选择一维、二维和三维单元？

6．从硬件配置方面看，CAD系统大体可分为几种类型？每种类型的特点如何？ 7．简述梯度法的基本原理和特点。 8．用有限元法求解问题需要哪些步骤？ 9．可靠性设计具有哪些特点？

10．用内罚函数法求解优化问题的迭代步骤是怎样的？ 11．优化设计数学模型的一般形式怎样表示？ 12．梯度法的迭代步骤是怎样的？ 13．进行有限元分析的基本步骤有哪些？

14．对于平面桁架中的杆单元，其单元刚度矩阵在局部坐标系中是几阶方阵?在整体坐标系中是几阶方阵?并分析出两坐标系间的坐标转换矩阵。 15．在有限元分析中，为什么要采用半带存储? 16．简述可行方向法中，对于约束优化设计问题： minF(X) (X∈Rn) s.t.gu(X)≤0(u=1,2, ,m)

确定适用可行方向S时应该满足的要求。 17．可靠性与可靠度二者在概念上有何区别与联系?

18．简述强度—应力干涉理论中“强度”和“应力”的含义，试举例说明之。

19．试写出从视区中一点V(xv,yv)到窗口中一点W(xw,yw)的变换公式及相应参数的意义。 五、计算题

1．已知△ABC的三点坐标A(1,1)，B(3,1)，C(2,2)，试求出该三角形绕点P(5,6)旋转60°，然后放大2倍后各点的坐标值。

2．节点和单元划分如图（题2图）示的两根杆组成的平面刚架结构，在节点3处作用大小为F的集中载荷，两单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵相同，即

000 20 2 0 110 1 1 0110 1 1 1 2

k k a

00020 2 2 1 1031

3 0 1 1 21

其中，a为常数。

试引入支承条件写出总体平衡方程。

全面的题型。

题2图

3．用最小二乘法将下列数据拟合成y a0 a1x a2x2形式的经验公式。（计算结果中保留两位小数）

40.9，若该系统至少有7台设备正常运行就可以保证整个系统正常工作，试求该系统的可靠度。

5．求题2图所示刚架中各单元整体坐标系中的单元刚度矩阵。设两杆的长度与截面尺寸彼此相等：l=200cm，D=5cm，d=4cm，A

4

(D2 d2) 7.07cm2，I

64

(D4 d4) 18.11cm

4，

E 2 107N/cm2。

6．某制动器摩擦衬片的磨损寿命试验记录见下表（题3表）。若该摩擦衬片允许摩擦量为

题2图

w 250 m，该制动器每月实际累计摩擦时间为a 2h/月，当要求可靠度R＝0.995时，问每

隔多少月需要更换摩擦衬片。（R＝0.995时，可靠性系数为u=2.576）

题3表 制动器摩擦衬片不同时间磨损量试验记录

全面的题型。

7．设目标函数F(X) F x1,x2 x1x2 量S的方向为 6， 3。

2

T

x12，求在X 0 1,1 点沿S方向的方向导数，矢

22

8．判断函数F(X) 60 x2 x1 x2 x1x2是否为凸函数。

9．已知一轴的危险断面上，同时作用有弯矩M和转矩T，如图所示（题3图）。弯矩M=(1.5×105±4.2×104)N·m，转矩T=(1.2×105±3.6×103)N·m，轴材料的抗拉强度为σb=N(μσb ,σσb)=(935MPa, 18.75MPa)。设轴径d= N(μd ,σd)，其制造公差为±0.005μd。要求可靠度为R=0.9999，试设计该轴直径d。（注：当R=0.9999时，可靠性系数为u=3.719）

T

题3图

210．已知目标函数minF(X) x1 2 x2受约束于

2

g1 X x12 x2 1 0 g2 X x2 0

g3 X x1 0

用库恩－塔克条件判断X* 1,0 是否为极小点。

T

11．等腰三角形单元的局部坐标系以及节点局部码与总码之间的关系如图所示（题2图），求该单元在整体坐标系中的刚度矩阵 K 。

e

3

13

Et 20 e

（已知在局部坐标系中的单元刚度矩阵为： k

4 1 1 1 1 0 2

对称 2

）

01 011

0002

全面的题型。

题2题

12．某系统由四个子系统串联而成，要求在连续工作24h内具有可靠度RS=0.96，各子系统的加权因子为E1=E3=1，E2＝0.9，E4=0.85。各子系统的工作时间为t1=t3=24h，t2=10h，t4=12h。各子系统的基本元件数为n1=10，n2=20，n3=90，n4=50。试用加权分配法确定各子系统的可靠度和失效率。

13．试求如图（题2图）示的等腰三角形单元的刚度矩阵 k 及几何矩阵 B 。

e

14．一受拉圆杆，已知其所受载荷力F=N(μF,σF)=(6000N,2000N)；所用材料的抗拉强度为σb=N(μσb,σσb)=(1076MPa,42.2MPa)。要求可靠度R＝0.999，式计算其尺寸。（已知当R＝0.999时，取可靠性系数u=3.09023）

15．求函数F(X) x x 4x1 4在点X

2

2

1

22

1

3 2 2 和点X 的梯度。

0 2

2

16．试用DFP法求目标函数F(X) x1 x2 x1x2 10x1 4x2 60的极小值。初始点为

0

X 0 。

0

17．如图所示（题3图）的供水系统，若已知各部件的可靠度如下：RE 0.94，RF 0.98，

RS1 RS2 0.99，RL1 RL2 0.96。试求此供水系统的可靠度。

全面的题型。

B题题题E题题题题题

●

F

题题1题题

题题2题题

L1S1L2S2

题3题

全面的题型。

现代设计方法综合训练题参考答案

第二部分 非选择题（共65分）

三、填空题(本大题共10小题，每空1分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1．软件和硬件 6．叠加

2．系统 7．分块

3．属性或约束 8．3R2-2R3

4．[a1,b] 9．概率

5．三维空间 10．

1

i 1

N

1

11.数学规划理论 12.目标函数 16.二次多项式 21．规定的时间内 26．总码 31．整数域且是有界的

27．安全或失效 17.分块 22．主机

13.规定的条件下 18. ANSYS 23．线性函数 28．平均寿命

14.零件特点的 19.概率

15.偏导数 20.0.090

25． F X* 0 30． 6, 2

T

2 124．

2

29．并联系统

200 2 1

33． 02032．2

041

37．横向位移 42．3R2-2R3

38．给定方向的 43．

34． F X* 0 35．树状逻辑因果

关系图

36．变尺度法 39．步进电机 44．主机

40．主机 45．属性或约束

23 141．

2

23 146．

2

1

i 1

N

1

47．并联系统 48．目标函数 49．并联系统

四、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 1．答：（1）制图速度快，减少手工绘图时间，提高了工作效率。

（2）图样格式统一，质量高，促进设计工作规范化、系列化和标准化。 （3）提高分析计算速度，能解决复杂的设计计算问题。

（4）易于技术资料的保存及查找，修改设计快，缩短了产品的设计周期。 （5）设计时可预估产品性能。 2．答：边界表面表示法的基本思想是：

几何实体都是由若干边界外表面包容而成的，可以通过定义和全面储存这些边界外表面信息的方法建立实体几何模型。

B-rep法将实体外表面几何形状信息数据分为两类：

（1）几何信息数据：各表面顶点坐标值和描述各外表面数学方程式的系数值。 （2）拓扑信息数据：各外表面的组成及其相互位置关系。

3．答：数据库系统的主要特征：

（1）实现了数据共享，减少了数据冗余 （2）数据存储的结构化

全面的题型。

（3）加强了数据的独立性 （4）加强了对数据的保护

4．答：常用的可靠度三种分配方法和各自的分配原则如下：

（1）等同分配法：按照系统中各单元（子系统或零部件）的可靠度均相等的原则分配。 （2）加权分配法：把各子系统在整个系统中的重要度以及各子系统的复杂度作为权重来分配可靠度。

（3）最优分配法：全面考虑各种殷素的影响，采用优化方法分配可靠度。

5．答：（1）当几何形状、材料性质及其它参数能用一个坐标描述时，选用一维单元。

（2）当几何形状、材料性质及其它参数需要用两个相互独立的坐标描述时，选用二维单元。

（3）当几何形状、材料性质及其它参数需要用三个相互独立的坐标描述时，选用三维单元。

6．答：从硬件配置方面看，CAD系统大体可分为3种类型：

（1）集中式主机系统 该系统由一台集中的大型机（或中型、小型机）与若干图形终端连

接而成。这种系统的优点是有一个集中的数据库统一管理所有数据，缺点是由于所有软件都存在主机里，一旦主机失误，将影响用户的工作。另一方面，当计算量过大时，系统响应变慢，甚至于会出现个别终端等待现象。

（2）分布式工程工作站系统 工程工作站系统本身就是一个独立的单用户CAD系统，也可

以以一台主服务器为中心将若干台工程工作站或微机联成网络。这种CAD系统的图形功能强，速度快，内存、外存容量大，是从事CAD课题的首选设备。

（3）微型计算机系统 虽然它的计算能力和图形功能不如工程工作站，但价格低、使用方

便，性能与低档工作站接近。

7．答：梯度法的基本原理：梯度法又称最速下降法，基本原理是在迭代点附近采用使目标函数

值下降最快的负梯度方向作为搜索方向，求目标函数的极小值。

梯度法的特点：迭代计算简单，只需求一阶偏导数，所占用存储单元少，对原始点要求不高，在接近极小点位置时收敛速度很慢。

8．答：用有限元法求解问题需要如下步骤：

（1）对整个结构进行简化。将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连。 （2）求出各单元的刚度矩阵

（3）集成总体刚度矩阵并写出总体平衡方程。 （4）引入支承条件，求出每个节点的位移。 （5）求出各单元内的应力和应变。 9．答：可靠性设计具有如下特点：

（1）强调在设计阶段就把可靠度直接引进到零件中，即由设计直接决定固有的可靠度。 （2）把设计变量视为随机变量并运用随机方法对设计变量进行描述和运算。 （3）判断一个零件是否安全可靠，以强度r大于应力s的概率大小来表示。 （4）是传统设计的延伸与发展。

10．答：用内罚函数法求解优化问题的迭代步骤如下：

（1）取初始惩罚因子r

0

0，允许误差 0。

0

（2）在可行域内选初始点X

，令k=1。

全面的题型。

（3）从X

k 1

点出发，用无约束最优化方法求惩罚函数 (X,r(k))的极值点X*(r(k))。

（4）检验终止条件，如果满足

X*(r k ) X*(r k 1 ) 10 5~10 7

(X*,r(k)) (X*,r(k 1)) 3 4或 10~101(k 1)

(X*,r)

则停止迭代计算，并以X*(r(k))为原目标函数F(X)的约束最优解，否则转下一步。 （5）取r

(k 1)

Cr(k)，X 0 X*(r(k))，k:=k+1，转向步骤（3）。

C是罚因子缩减系数，取C<1。多为C＝0.1~0.02。 11．答：优化设计数学模型的一般形式表示为：

若某一设计中，优化设计中规定了n个设计变量

T

X x1,x2, ,xn

式中，xi i 1,2, ,n 为n维矢量X的分量；T为矩阵的转置符号。 在满足

gu X gu x1,x2, ,xn 0 u 1,2, ,m

和 hv X hv x1,x2, ,xn 0 v 1,2, ,p n

约束条件下，求目标函数

F X F x1,x2, .xn

最小。

通常用F表示目标函数，用gu、hv分别表示不等式约束、等式约束。

12．答：梯度法的迭代步骤：

（1）给定迭代的初始点X

(0)

，允许误差ε1，置k=0。

k

（2）计算迭代点的梯度 FX

和方向S

(k)

FX k k。

FX

k

1，若满足则停止迭代，否则进行下一步。 （3）检验是否满足 FX

（4）计算最优步长因子 （5）迭代计算

k

。

X

k 1

X

k

k

FX k

k FX

（6）令k=k+1，转下一步计算。

13．答：进行有限元分析的基本步骤：

（1）对结构或求解区域离散化。

（2）求得单元刚度矩阵，并进行坐标转换。 （3）集成总体刚度矩阵。

（4）处理非节点载荷，引入支承条件。 （5）写出总体平衡方程。 （6）求出各节点的位移。

全面的题型。

（7）计算各单元的应力和应变。 （8）分析计算结果的合理性。

14．答：在局部坐标系是2阶方阵

在整体坐标系是4阶方阵 坐标转换矩阵[T] T

ssin co

0 000

co ssin

15．答：(1)单元尺寸越小，单元数越多，分析计算精度越高；单元数越多，总刚矩阵的阶数越高，所需计算机的内存量和计算量越大。

(2)总刚矩阵具有对称性、稀疏性以及非零元素带形分布规律。

(3)只存储主对角线元素以及上（或下）三角矩阵中宽为NB的斜带形区内的元素，可以大大减小所需内存量。

通常用F表示目标函数，用gu、hv分别表示不等式约束、等式约束。

16．答：(1)满足可行方向的要求

k

guX

S

T

K

0 (u=1,2, ,j<m)

j—起作用约束数 (2)满足适用方向(目标函数值下降)的要求

FX k S K 0

(3)同时满足1、2要求的即为适用可行方向。

17．答：可靠性是指产品在规定的时间内，在规定的条件下，完成规定功能的能力；

可靠度是指产品在规定的时间内，在规定的条件下，完成规定功能的概率； 两者的联系就在于，可靠度是对产品可靠性的概率度量。

18．答：强度—应力干涉理论中“强度”和“应力”具有广义的含义：“应力”表示导致失效的

任何因素；而“强度”表示阻止失效发生的任何因素。

“强度”和“应力”是一对矛盾的两个方面，它们具有相同的量纲；例如，在解决杆、梁或轴的尺寸的可靠性设计中，“强度”就是指材料的强度，“应力”就是指零件危险断面上的应力，但在解决压杆稳定性的可靠性设计中，“强度”则指的是判断压杆是否失稳的“临界压力”，而“应力”则指压杆所受的工作压力。 19．答：变换公式是：Xw

T

Yv VybXv Vx1

(Wxr Wxl) Wx1,Yw (Wyt Wyb) Wyb

Vxr Vx1Vyt Vyb

其中Xw,Yw—窗口坐标；

Xv,Yv—视窗坐标

Wxl,Wxr—窗口X坐标最左和最右位置；

Wyb,Wyt—窗口Y坐标最下(低)和最上(高)位置； Vxl,Vxr—视窗X坐标最左和最右位置；

Vyb,Vyt—视窗Y坐标最下(低)和最上(高)位置。 五、计算题（本大题共3小题，1小题5分,2、3小题各10分，共25分）

00 1

101．解：（1）假想将旋转中心平移到坐标原点，变换矩阵为：T1 0 5 61

全面的题型。

cos60 sin60 0 （2）使图形绕坐标原点旋转60°，变换矩阵为：T2 sin60 cos60 0 01 0 100

（3）将旋转中心再平移回原来的位置，变换矩阵为：T3 010 561 200 （4）变换后的三角形再放大2倍，变换矩阵为：T4 020 001

故总变换矩阵为：

1.73210 1

T T1T2T3T4 1.732110

15.3923 2.66031

所以△ABC变换后的各点坐标为：

A 111 14.66030.07181 A' T 16.66033.53591 B'

B 311

C 221 13.92822.80381 C'

2．解：先求单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵。

单元（2）在总体坐标系下的单元刚度矩阵与在局部坐标系下的单元刚度矩阵相同，即

000 20 2 0 110 1 1 0110 1 1

K 2 k 2 a

00020 2 2 1 1031 0 1 1 213

单元（1）的坐标转换矩阵中的β＝-90°，单元（1）的坐标转换矩阵为

cos 90 sin 90

sin 90 cos 90 00 T

00 00

00

00100

000cos 90 0

000sin 90 0

0 sin 90 cos 90

0 0 1

100

0 00

0 000 00 1 00

000010000100

0

00 00

10 00

01

所以单元（1）在总体坐标系下的单元刚度矩阵为：

K 1 T T k 1 T

全面的题型。

01000 2000 20 0 1

0000

100000 0 1 001000 110 1 1 0110 1 1

000010 a 00020 2

0 0 000 100 2 000001 1 1031 0 1 1 213

0 0 101

10 1 020200 a 101 10 1

12 1301

000022

1

1123

单元局部编码和总体编码的对应关系为： 单元（1） i j→1 2 单元（2） i j→2 3

单元刚度矩阵中子块对应关系为：

k 1 k11

k 1

12 k21

k ， k 2 k22

22 k32所以总体刚度矩阵为：

101 10 10 0202000 01 10 10 k 1

11

k 1 1 15010 120 1 1K k 1

21

k 1 2 22 k22

k 2 23

000330

0k 2 32

k 2 a 033

10 11340 0000002 000 2 1 10 0000 1 1 2节点的位移矢量为： u1v T

1 1u2v2 2u3v3 3

约束条件为：u1 0,v1 0, 1 0 作用到结构上的外力为：F3y F 所以引入支承条件的平衡方程为：

00000 0

1000

000 10 0

0100

000

01

k 2

23

k 33

00 0

0 00

20

1 1

1 1

0 2

31

13

全面的题型。

1 0 0 0a 0 0 0 0 0

001000000001000000

0 u1 0 v 0 0 1

000000 1 0

5010 20 u2 0

0330 1 1 v2 0

1340 1 1 2 0

00020 2 u3 0

2 1 1031 v3 F 0 1 1 213 0 3 00

00

00

00

00

3．解：拟合公式为y f x a0 a1x a2x2 表中共有5组数据。∴m=5

拟合公式y a0 a1x a2x与表中各点误差的平方和为ES a0,a1,a2

2

m

f x y

i

i

i 1

2

将ES a0,a1,a2 分别对a0,a1,a2求偏导数，并使其等于零，整理后得：

m

m m2

ma0 xi a1 xi a2 yi

i 1 i 1 i 1

m m2 m3 m

xi a0 xi a1 xi a2 xiyi

i 1 i 1 i 1 i 1

m m m3 m4 2

xi a0 xi a1 xi a2 xi2yi i 1 i 1 i 1 i 1

将表中数据m=5代入上式，得线性方程组如下：

5a0 17.17a1 72.04a2 149.29

系数误差在±0.1内都算正确 17.17a0 72.04a1 340.05a2 662.69

72.04a 340.05a 1720.19a 3244.29012

解此方程组，求的各系数值如下：

a0 2.30,a1 3.00,a2 1.20 系数误差在±0.1内都算正确

所以，由表中的数据拟合成的经验公式为：y 2.3 3x 1.2x2

4．解：该系统的每台设备或是正常工作或是发生故障，其失效数为正整数。

因此是离散型随机变量，且服从二项分布。 ∴系统的可靠度由下式计算

r

R r CNRN 1F

i 0

由题意知：r=3，N=10，R=0.9，F=1-0.9=0.1，则

R 3

10!10!

0.9 10 0 0.10 0.9 10 1 0.11

10 0! 0!10 1! 1!

10!10!

0.9 10 2 0.12 0.9 10 3 0.13

10 2! 2!10 3! 3!

全面的题型。

0.9872

该系统的可靠度为0.9872

5．解：（1）求局部坐标系中的单元矩阵

在题2图中表明该结构由两个杆单元1和2组成。两个杆单元通过节点1相连，节点2和3处均为固定支承。单元1局部坐标x的方向是由左向右，而单元2是由下向上的。

由于单元1和单元2的尺寸相同，故 k

(1)

[k](2)。它们可由下式得出，

EA

0

EA0 l

00

12EI6EI

l

l30 12EI

6EI

64l2EI 6l3EI2l2

EI k e 0

EI2 0

2

0000 l

l

12EI 0 12EI 6EI0 6EI l3

06EI2EIl26l3EI4EIl2

l2l

l2

l 其中有关数据为：

EA4EI

l 7.07 105N/cm l 7.24 106N cm 6EIl2 5.43 104

N 12EIl

3 5.43 102N/cm 可得

k (1) k (2)

7.07 10500 7.07 105

0 05.43 1025.43 1040 5.43 102 05.43 104

7.24 106

0 5.43 104

7.07 105007.07 105

0

0 5.43 102 5.43 10405.43 102

05.43 104

3.62 106

5.43 104

（2）求坐标转换矩阵。由下式可求出 T (e)

。

e

sin 0000

e

e

u1 cos

v 1 sin cos

0000 Ui

V i 1

001000 u 200

cos

sin 0 0 i U j v2 00 sin cos 0 0 Vj 2

00

00

1 j

单元1： 0，cos 1，sin 0。得 T 1

1 单元2： 90 ，cos 0，sin 1。

5.43 104

3.62 106

0 5.43 104

7.24 106

全面的题型。

T (2)

0 1 0 0 0 0

(1)

100001000000

00

000 000

010 100

001

(e)

（3）求整体坐标系中的单元刚度矩阵。由 K 单元1： K 单元2：

T(1)(1)

1 k 1 k

T

(e)T

k (e) T (e)可求出 K (e)。

K (2) T (2) k (2) T (2)

5.43 102

0

5.43 104 2 5.43 10 0 4 5.43 10

07.07 105

0 7.07 105

K11

K 1 K

21

归方程

T

5.43 104

07.24 1065.43 104

03.62 106

1

5.43 102

05.43 1045.43 102

05.43 104

0 7.07 105

007.07 105

K31

K11

1

5.43 104

0

6 3.62 10 4 5.43 10 0

6

7.24 10

单元1两节点对应的总码为1和2，单元2两节点对应的总码为3和1，则

K12 2 K33

K K22 K13

6．解：（1）计算磨损寿命 t, t 。根据上表，可用线性回归方程求得磨损寿命上限和下限的回

ws 13.065 9.835tx wx 10.926 8.423ts

式中，ts和tx分别为磨损寿命的上限和下限。

已知摩擦衬片的允许磨损量为w 250 m，故令ws wx w 250 m，代入以上两方程，可得磨损寿命的上限和下限为

250 10.926

h 28.38h

8.423250 13.065tx h 24.09h

9.835ts

一般假定磨损寿命服从正态分布，根据3σ法则，可得磨损寿命t的特征参数为

t

ts tx28.38 24.09

h 26.235h 22t t28.38 24.09 t sx h 0.715h

66

（2）计算摩擦时间 tm, tm 。应用联接方程求解可靠度R＝0.995时的摩擦时间