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《线性代数1》杨晶 第二十九讲

总复习2011年 12月28日 1

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一、研究对象 线性代数的核心:空间与变换 对空间的认识分局部和整体:局部:向量的线性关系整体:基,维数,内积,… 对空间的研究方法:直接:研究抽象的向量间接:化为坐标来研究

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线性代数中变换分两类:空间结构类与空间变换类 空间结构类:基变换引起坐标变换基变换引起度量阵改变 空间变换类:线性变换正交变换3

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二、思想方法 结构化:向量组的极大无关组解空间基础解系空间的基 标准型:矩阵相抵,相似,合同标准形二次型的标准形与规范形4

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三、研究工具 行列式 线性方程组 矩阵

四、具体手段 抽象转化为具体 一般转化为特殊5

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一、行列式1.会计算行列式,尤其是含参数的行列式. 2.熟悉那些可化为行列式来处理的问题 2.1.齐次线性方程组有非零解的问题齐次线性方程组有非零解 系数行列式 D= 0. 2.2.求矩阵的特征值 2.3.矩阵特征值与行列式值的关系:

f A ( ) I A ( 1 )( 2 ) ( n ),|A|= 1 2 n 2.4.判定向量组的线性相关性 2.5.实二次型正定性的判定6 2.6.求向量积,混合积,平行六面体体积和判断三向量共面.

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二、矩阵1.基本运算及其性质 2.求逆、求秩 2.1.可以通过初等变换把矩阵化为阶梯形来求矩阵的秩. 2.2.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数. 2.3.若 A是一个 n阶方阵,则 r(A)= n A可逆 |A| 0 A的 n个列(行)向量线性无关 Fn中任意一个向量可由 A的列向量线性表出 齐次线性方程组 AX= 0只有零解 对任意 b Fn,线性方程组 AX= b有唯一解 X= A 1b A没有零特征值 A可通过一系列初等变换化为单位阵 A可分解为一系列初等矩阵的乘积.7

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例1设 A= (aij)是3阶实非零矩阵,已知 aij= Aij,求|A|及其 A-1.解根据已知, A= (aij).假定 A的第一行有非零元素,把|A|分别按照第一行展开,可以得到: 2 2 2 A a11 A11 a12 A12 a13 A13 a11 a12 a13 0由已知, A*= AT,故 AAT=|A|I,容易由此得到|A|2=|A|3,所以|A|= 1, A-1= A*= AT.例2证明矩阵的非零子式所在的行向量组和列向量组均线性无关. (缩水原则，水货判别).思考：例2的逆命题是否成立？提示：分情况讨论， 1, 2 0 0 如：I 3 1 0 ⑴所讨论行,列向量组的秩<原矩阵的秩； 2,3 8⑵所讨论行,列向量组的秩=原矩阵的秩时，成立.

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提示(2)不妨设 r(A)= r,且 A的前 r行和前 r列均线性无关(?),记 A A1 A2 ,这里 A1为 r阶方阵,则 A2 的列均 A A A 4 3

4 A1 可由 的列向量线性表出,故 A2的列向量均可由 A1 A3 的列向量线性表出,故 r(A1)= r(A1, A2)= r,所以|A1|= r.例3 (1)若 AB= O,且 A+B= I,则 r(A)+r(B)= . (2)若A2=I,则r(A+I)+r(A-I)=? (3)若A2=A (幂等阵),则r(A)+r(I-A)=? (4)若A2-4A+3I=0,且A≠I,3I,则A在相似意义下是否可对角化？证明： (A-3I)(A-I)=0, A≠I,3Iî 1,3是A的两个特征值，另一方面 (A-3I)+(I-A)=-2Iî r(3I-A)+r(I-A)=nî dimVλ1+dimVλ2=nî A有n个线性无关的特征向量 9î A可对角化.■

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3.矩阵的三大关系及相关问题 4.矩阵与线性映射，对称阵与二次型的一一对应 5.灵活利用标准形把一般问题化为特殊问题来解决 6.特殊矩阵数量阵，三角阵，对角阵正交阵，对称阵，反对称阵幂等阵，幂零阵例4证明反对称矩阵的秩均为偶数. (思路见黑板)证明不妨设 r(A)= r,且 A的前 r行线性无关(?),由 A的反对称性可知A的前r列也线性无关,由例2的逆命题知A的左上角r阶子方阵是可逆的，且仍然是反对称阵.再由奇数阶反对称矩阵的行列式为0可知 r必为偶数.10

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三、方程组(1)会求解齐次、非齐次线性方程组的基础解系、通解 (2)含参数方程组的讨论:何时有非零解、唯一解、无穷解等等 (3)会灵活利用解的结构性质、几个特殊参数(未知量个数、秩)求通解. (4)齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解集合的极大无关组 (5)熟悉那些可化为方程组来解决的问题…

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x1 x2 2 x3 1 例5线性方程组 x1 2 x2 x3 4 ax bx cx d 2 3 1有两个解,求这个线性方程组的一般解.解这个线性方程组有两个解,解不唯一,所以其系数矩阵 A的秩小于3,又由于 A有一个二阶子式

1 1

1 2广矩阵 (A, b)的秩亦为2.用初等行变换化增广矩阵为有两行非零的既约阶梯形矩阵:2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 4 0 3 3 3 a b c d 0 b a c 2a d a

0, r ( A) 2.又因为这个线性方程组有解,其增

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1 2 1 0 1 0 1 2 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 c a b d 2a b 0 0 0 0 由于 n-r= 3-2= 1,所以有一个自由未知量: x3,导出组的基础解系也由一个解向量组成,可解出为 = (-1, 1, 1)T.这个阶梯形矩阵对应的线性方程组为:

x1 2 x3 x 2 1 x3取 x3= 0,求出一个特解为 X1= (2, 1, 0)T.方程组的通解是: X X1 k ,其中 k是任意常数.13

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四、向量及其关系1.会求向量组的极大无关组和秩. 向量组极大无关组和秩的求法： 1)将列向量组 1, 2, , s排成矩阵 A= ( 1, 2, , s); 2)

用初等行变换化 A为阶梯形矩阵 U; 3) U的列向量组的极大无关组所对应的 A的列向量是原向量组的极大无关组; 4)阶梯形矩阵 U的列向量组的极大无关组就是 U中每个非零行第一个非零元所在的列向量所组成的向量组. 2.注意下列特殊向量的关系： 正交向量组线性无关 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交14

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五、线性空间与线性(映射)变换1了解n维线性空间、子空间、基、维数、坐标等概念； 2掌握基变换和坐标变换的公式，会求过渡矩阵； 3了解线性(映射)变换的概念，了解像空间与核空间的数量关系；掌握线性变换的矩阵表示； 4了解内积、欧氏空间的概念； 5掌握Schmidt正交化方法。 6了解线性映射在不同基下的矩阵表示是相抵的.

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六、特征值与特征向量1.灵活求特征值和特征向量例如|2A+3I|= 0 -3/2为 A特征值.又例如若|A|= 0,则 0为 A的特征值, AX= 0的非零解向量为 A的属于特征值0的特征向量. 2.熟悉特征值和特征向量的性质 3.了解矩阵相似的概念及性质； 4.了解矩阵可对角化的充要条件，会求其相似对角阵及变换矩阵； 5.掌握实对称矩阵的性质，会将实对称矩阵化为对角阵。