第十四章整式的乘法与因式分解-全自助初中数学PDF
发布时间：2024-11-18
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同底数幂的乘法
底数幂相乘数不变数$"%ik#同"底"指
相加!
是正整数$+%@A\]#"/"0"$0",都%!
或以上同底数幂相$(%>?# 当(个(个
具有同样的性质乘时"也"即"/"/+/"0
都是正整数"$0","+"7%!
则可逆用"即"0"/"$0",都 法是正整数%!
,
0*,0
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7
0*,*+*7
0*,
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单项式乘以单项式
乘时一定的顺序进行须 按 必项式与单项式相乘它们!! 相 " ik#单 把
漏不重 不!底数幂分别相乘于只在一个单项到的系数 同 对
仍 项式与多项式相乘得多项式 多式里含有的字母连同它的指数作为积的一 则
在合并同类项之前的项数应等于原多 积个因式!
项式的项数之积! + ¦° ¦° 0oplm#
项式是单项式的和一项都包 每 多它们的系数相乘括符号的计算 包! 把
括前面的符号算过程中要注意确定积 运底数幂相乘! 同
各项的符号!在一个单项式里含有的字母同它中 连 只
乘后有同类项应该先合并同 若 相的指数作为积的一个因式!
类项!这三部分的乘积作为计算的结果! 将
底数幂的除法'同
底数幂相除数不变数计算时先确定积的符号!! 在 应! " ik#同 底 指
相减意按运算顺序进行!! 注
要丢掉只有一个单项式里含有 + @A\]#">"0" "'# 0 , 不的字母都是正整数且! 并0/, !
何不等于数的幂 ( #²@#任#的#次项式与多项式相乘%单都等于" 即"0" "'# !
法则项式与多项式相乘是用单项式 单 就去乘多项式的每一项把所得的积相加 再 即
0 "*)*+ 00"*0)*0+ '+," !
,
0,,
#
图&$"!
单项式与多项式相乘的依据是乘法
将单项式乘多项式转化为单项分配律 先式乘单项式转化为同底数幂相乘 再!
项式与多项式相乘果是一个 结 单多项式项数与因式中多项式的项数相 其同算时可以此来检验运算中是否漏乘 运!
项式与多项式相乘&多法则项式与多项式相乘用一个多项 多 先
再式中的每一项乘另一个多项式中的每一项
把所得的积相加即!
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"*) 0*, 0"0*",*)0*),
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的商作为商的系数把所得的商相加一项除以这个单项式!"再!
同字母被除式里的这个字母的指$+%tG#(用 相
得的差作为 多项式除以单项式的结果是一个多项数减去除式里这个字母的指数"所
商中这个字母的指数式项式除以单项式是单项式乘以多项式的!"多
在被除式里含有的字母同指数作逆以用其进行检验运算(连"可! 只
算时不能漏项得结果的项数应与为商的一个因式!"所 运被除式中的项数相同!
算时注意符号的变化清多项式中"弄 运项式除以单项式的结果仍为单项式!!单!
每一项的符号除时要带着符号与单项式"相相除!项式除以单项式)多
被除式中有一项与除式相
同时除"相 当$"%ik#
所得的商是不是"而#!多项式除以单项式把这个多项式的每后"先
用幂的运算法则进行计算考法利
查要点要考查利用幂的运算法!!考(主则进行计算常以选择题或计算题的形式"通出现!
据幂的运算法则!!相 根"/应解法是正整数"0"$0",都%"$"%0"$0",
都是正整数正整数%"$")%0")$,为%"">
是正整数且"0"$"'#"0",都"并0/,%""
0"$"'#%进!行运算运算时应注意不能把幂的算法则混淆在幂的运算中常用到以下变形!"经(
偶数"$,为%"
"%0{$,
奇数,"$,为%!
偶数$),"%$,为%"
$",)%0{奇数,$),"%$,为%!
算结例江宁波中考!!)浙*计(0/0的
果$!!%!
,
0*,
,
0,
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,
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,
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#
,
,
,
,
,
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8
(
解析 0,000!
答案 5例川成都中考于"!)四*$*%等$!!%!
8
(
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+
8
34*
340!!540!!640!!74
")=(+
解析式 原0*
!!
)
54*.?+
"8
64*)
0*!
.
74+*
答案 5
算结果等例津中考#!)天*计*>*的
!!!!!
解析 *>*0*!答案 *
用幂的运算法则进行计算考法逆查要点要考查逆用幂的运算法!!考(主则进行计算常以选择题或计算题的形式"通出现!!(%
的运算法则是以等式形应解法!!相 幂思维定势的影响惯于从左边到式出现的"受"习右边运用它忽视从右边到左边的应用逆"而"即
其实些问题如果逆向运用向运用运算法则!"有
幂的运算性质题会更加简捷"解!$"%"0
是正整数"/"$0",都%!$+%"0$"%$0",
都是正整数正整数%!$(%")0$")%$,为%!
知例东潍坊中考改编$!)山*已)0.")0
的值'"求)!分析于已知值以逆用同底 由)!)的!所
变成数幂的乘法和幂的乘方把))?
代入计算%)&?%)&!再!)0
解为 因)0$)%0.")0$)%0
'
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所以)0)?)08.?+'0"8##!算例东青岛中考'!)山*计(项式与单项式相乘法则的运用考法单+)%$+"*)%$"%$'",
要考查运用单项式与单$+%$","*"%$"*"%!!考(主查要点
$"%$'",+)%$+"*)%项式相乘的运算法则进行计算常以选择题解"通
0'"/+"*'"/),+)/+",+)/)或计算题的形式出现!
0"#"*'"),."),+)项式乘以单项式要应解法!!相 单"主
0"#"*"),+)是运用乘法的交换律与结合律各因式的系"将
数同字母分别结合成一组化成幂的运$+%$","*"%$"*"%#相"转
0"/"*"/","/","/"*"/"*"算忌忽略只在一个单项式中含有的因式
"切!
"*",","*"*"0算例苏连云港中考%!)江*计(+0/0
"*"0
0!!!!!
式除法的计算考法整解析 +0,00+0!
要考查运用单项式除以查要点!!考(主答案 +0
单项式和多项式除以单项式的运算法则进行计项式与多项式相乘法则的运用考法单
常以选择题或计算题的形式出现"通!查要点要考查运用单项式与多算!!考(主
项式相除照系数应解法 单"按#同项式相乘的运算法则进行计算常以选择题!!相"通
底数幂在被除式里含有的字母分进行#只(部或计算题的形式出现!
算项式除以单项式把这个多项式的每)多"先项式与多项式相乘的依计应解法!!相 单
项除以这个单项式把所得的商相加
"再!
据是乘法分配律算过程中要注意多项式的一"运
算例东潍坊中考(!)山*计(项式与多项式相乘每一项及单项式的符号"单
+的项数和原多项式的$"%$,#!的结果是一个多项式"它'")+%>("+)'
项数相同!
$+%$8?"#%>$(?"#%
算林长春中考&!)吉*计+*$(**"%"正!(&例C,+C%>$,++C%$(%$8+
确的结果是$!!%!
+
解 $"%$,#!'")+%>("+)34'**+*!!!!!!548**"'
+++
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0[()?()]")+")解析式 原08**+*!++.
答案 6$+%$8?"#%>$(?"#%
项式与多项式相乘法则的运用考法多0$8>(%?"#0+?"#
要考查运用多项式与多$(%$8+C,+C%>$,++C%查要点!!考(主
0$8+C%>$,++C%,$+C%>$,++C%项式相乘的运算法则进行计算常以选择题"通
"或计算题的形式出现!0,(+C+
用多项式乘法法则考!!相 $"%运应解法式乘法中的化简求值整时须做到不重漏此要按一定的顺序!法"必#不"为查要点要考查通过整式的乘法(主进行定积中每项的符号时号得!考!$+%确"按&同
简求值常以选择题或解答题的形式出现"通!正号得负法则进行项式与多项化"异'的!$(%多
式乘法运算中的化简求应解法!!相 整同类项时要合并同类项
式相乘的展开式中"有!
(
(
648**+*+
748**+*
"'
+,"+,+
'
)'
),'(
(
+(+
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+
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+
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+
值题的主要步骤有照题目规定的运算数式 " 按1 1,81*= ,1 1,)1,"' *+1 (,顺序原式进行化简对应的字母数值1值 对! + 将 的!
意代入时代入化简后的结果进行计算解! ( 注 1 1,81*= ,1 1,)1,"' *+1 (,1
不要代错求值时子的运算符号和顺序都 在 式01,81*=1,1*)1*"'1*81,+1不变
!0(#1
"""
代例西抚州中考)!)江*当1时 求)0,当式1时 原0(#10(#?'!(888
+
+
(
+
(
+
+
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利用平方差公式进行乘法计算时#
要看清题目是否符合公式的特点符合#不平方差公式特点的能用平方差公式对#不!
+ efgh#
果要用相同项的符合平方差公式的#结两个数的和与这两个数的差的积于这于 等万不要颠倒了平方减去相反项的平方#千!
两个数的平方差!
注意辨别因式中哪些相当于公式 要中的全相同的部分些相当于公式")完*#哪两数和乘两数差于两数平方差#等!
中的号不同的部分))符*!
积化和差变两项全平方不是它#完!
全平方公式"完图!! ( PQó"\] 如'(,"
" Íh/é # "*) ",) 0
++",)!
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+
"+*+")*)!
+
+
+
平方差公式
(' " S"F0W@Íhé # "*) +0!
图&#"!
两数差的完全平方公式 ",) 0",+")*)!
数和差平方 + efgh#两 或 的 等
于它们的平方和减们的积的 加 或 它+倍!
( PQó"\] '(,+
公式中的可以是实数可以是"和) 也
单项式或多项式!
式的左边是两个数和与这两 式 的 公个数差的积式的右边是这两个数 式 的 公
平方差平方后作差 式 的 先 !
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图&#"$
./õ³ ñ6#uV³O]7 BÂ!-¬"¥ 89E# h:V'
¬"(8ã×é=#MÍç>?!!!!!!q1./]D.&Æ18+#;;ç<ø !
"Ý@!AB1./CVø#EE,,1'¼BøVãDD1ëEô!
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两个公式左边都是一个
二项式的完全平方者仅差一个号 二 符 不边都是二次三项式中有两项是公式左同 右 其边二项式中每一项的平方间一项是左边二 中
者也仅差一个项式中两项乘积的+倍 二 符
同号 不!
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面积为解析阴影部分的面积为因的 图",)! +"*+) ",) >+0 "*) ",) ! 的
梯形形的高为以阴影部分答案为图 梯 ",) 所 "*) ",) 0",) 为
+
+
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把一个多项式化为几个整式的积的形式这样的式子变形叫作把这个多项 像式因式分解叫作把这个多项式分解因式 也!
" '(#
+ i )æ i0´±#
因式分解
因式分解与整式乘法是相反方向的变形如!
++
! "*) ",) 7:)::8",
确定应提取的公因式!
公因式去除这个多项式得的商作! 所 用式分解专指多项式的恒等变形!! 因 ()
等式的左边必须是多项式边每个因式为 右另一个因式!必须是整式!多项式写成这两个因式的积的形式! 把
式分解的结果必须要以积的形式 因表示则不是因式分解 否!
提的公因式必须是大公因 最 所式分解中每个括号内如有同类项!! 因即取公因式后一个因式中不能 ! 提 另要合并式分解的结果要求必须将每个式 因!还有公因式因式分解彻底!
那果多项式的首项系数是负数 如
么应先提出 , 号!
因式"公式分解中每个括号内如有同类项 因
项式的各项中都含有的公共要 " '(#多合并式分解的结果要求必须将每个 因
的因式叫作这个多项式各项的公因式!因式分解彻底!
定一 + Y'³° 0éi 0hi#确
即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式
式乘法化和因式分解则是 整 是 积 而 和化积可以用整式乘法来检验因式分解的 故正确性!
整式乘法
因式分解
个多项式的公因式时对数字系数和字母分 要
别进行考虑定公因式时 确
一看系数各项系数的最大公约数作为 取公因式的系数!
二看字母各项相同的字母 取!三看指数相同字母的最低次幂 取!最后还要根据情况确定符号!公因式法#提
般地果多项式的各项有 " '(#一 如
公因式以把这个公因式提取出来多项式 可 将写成公因式与另一个因式的乘积的形式种 这分解因式的方法叫作提公因式法!
+ jéi 0lm
"=!·¥LMM1ÕM
!! b(ÔËN Më=1ÕM ç·¥ø ºOx1LMM!aïÂ1!!!! 37ÕM°>; ´K&ã³ÖRtªE ßO Â!
()*+,-.'/
各项有提项有提$公%先$公%#首$负%先$负%#某项提出莫漏号里面分到$"%#括$底%!平方差公式分解因式$用
两个数的平方差于这两个数的和与这 等两个数的差的积 即",)0 "*) ",) !
这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来!
+ Íh/é 0À[ 左边是二项式项都能写成平方的形式 两 且符号相反边是两个数整式和与这 右 或 的两个数整式差的积凡是符合平方差公 或 的!式左边特点的多项式都可以用这个公式分解因式!
完全平方公式分解因式%用
" i )æ0W@Íhé 两个数的平方和加上减去两个数 或 这
于这两个数的和差平的积的+倍 等 或 的
+
+
" i )æ0Íh/é
方即! "*+")*)0 "*) ",+")*)0
",) !
这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来!
+ W@Íhé 0À[ 左边是一个三项式中两项同号且均为 其一个整式的平方方项一项是平方项幂 平 另的底数的积项号可正也可负+倍 乘 符 右边是两个整式的和差平方间的符号 或 的 中同左边的乘积项的符号!
式分解的一般步骤&因根据多项式的特点灵活选择分解因式的方法一般步骤可概括为一提套查 其 二 三!
一提果多项式的各项有公因式先考 如 首虑提取公因式!
二套公因式后或没有公因式可提要 提 就考虑运用公式法平方差公式或完全平方 即公式!
三查式分解一定要分解到不能再分解 因检查每个因式是否还可以继续分解
为止 要!
+
+
+
+
+
+
+
式分解的判断考法因!)*
要考查判断一个式子的查要点!!考 主
变形是否为因式分解常以选择题的形式 通出现!
个多项式进行因式分解应解法!!相 一
其结果是否正确以从三个方面入手看结 可 一
看等式两边果是否为几个因式的积的形式 二
看每个因式是否还能继续分解是否相等 三!
列式子从左到右变形是例南中考!!)海*下
因式分解的是 !! !
++
+
+
+
因式分解此选项错误 故!5 "*.",+"0 ",
确( "*- 正!6 ",( "*- 0"*.",
是因式分解此选项错误+" 不 故!7 "*.",
是因式分解此选项+"0 "*+ ,+' 不 故
错误!
答案 5
提公因式法进行因式分解考法用
要考查用提公因式法进查要点!!考 主
行因式分解常以填空题的形式出现 通!
公因式法分解因式!!相 提 关应解法
键是掌握找公因式的方法各项系数都是整 当34"*.",+"0" "*. ,+"
数时因式的系数应取各项系数的最大公约 公54"*.",+"0 ",( "*-
数母取各项的相同的字母且各字母的指 字 而64 ",( "*- 0"*.",+"
相同的多项式项式的次数取次数最低的 取 多74"*.",+"0 "*+ ,+'
取最低的!解析是数 3 "*.",+"0" "*. ,+"不
++
+
+
ÕMeVÒP#(LMM øQ#Qø #:¼ a (éR =ãSØç
£¼ø!ñ&R y1B°LMÃøH#ìT³LM°(1zÁ# Óh2Wb!
跳>¼!!!!!!
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解因式例西抚州中考"!)江*分("
0!!!!!
"+*("0" "*( ! "$"*(%
+
*("
$.0*(,%/$.0,(,%
$+%"(),")0")$"+,"%0")$"*"%/"%$",
$(%$**2%+,$**H%+0-$**2%*$**H%./-$**2%,$**H%.0$+**2*H%/$2,H%
++
*".**.=0**+?-**-+0$.%*
解析
答案
式分解考法因
要考查综合运用提公因查要点!!考(主
式法和公式法进行因式分解常以填空题和"通选择题的形式出现!
据因式分解的一般步骤应解法!!相 根
提套查行分解用公式法分解&一#二#三'进"运因式时要注意(
先要熟练掌握公式的结构特征并牢$"%首
项数选公式项虑平记这些公式!$+%看"&二'考
方差公式项虑完全平方公式运"&三'考!$(%在用公式之前要判断一个多项式是否符合公式的
符合把多项式写成公式结构的形特点"若"则式
后再去式"然&套'公!例东中考下列多项式分解因式#!)广*把(
+
$"%"80,=,+$+%"(),")$(%$**2%+,$**H%+
+
$.%**".**.=
+
$'%$0*,%,8$0*,%*=
++
$8%("**8"*1*("1
++
$"%"80,=,0$.0%+,$(,%+0
$**-%+
$'%$0*,%+,8$0*,%*=0$0*,%+,,%?(*(+0$0*,,(%++$0*
++++
$8%("**8"*1*("10("$**+*1*1%0
("$**1%+
过因式分解求代数式的值考法通
要考查通过因式分解求代查要点!!考(主
数式的值常以填空题和解答题的形式出现"通!
求代数式的值时要应解法!!相 在"不
只着眼于它的局部特征要把注意力放在问"而
过对其全面深刻的分析题的整体结构上"通"利
用公式法对题目的条件或结论进行变形复"使杂的问题简单化!
知例东中考$!)广*已"*)0."",)0("则
+
"+,)0!!!!!
+
+
解
解析 ",)0 "*) ",) 0
.?(0"+!
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答案 "+
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破解 鬼 题 "
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(+0*.,0(+0/(.,0$(0%+/$(+,%+0$(0%+/$=,%+
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考点'+徽中考**/*0$!!%!)安考法"
*
34*!!!54*!!!64*!!!74*'.考点
法"算结果是京中考*计$,"%的$!!%!)考)北
考点'+
34"54,"考法"
*
64"74,"考点'.
考法(
列计算中确的东珠海中考*下"正)广)
考点'+
是$!!%!"考法
+
(
'
8
)
=
+
(
'
'
8
8
基础题
解题导航
34"$*,1%0"*,"1
+
54**+**"0*$**+%*"+64$**"%$**(%0**.**((74*,*0*$**"%$*,"%
)
)列因式分解正确的江西南昌中考*下是$!!%!
+34*,*1**0*$*,1%+54"(,+"+)*")0"$",)%++64*,+**.0$*,"%+*(
34+"*()0'")54$("%08"64"8*"+0"(
(
+
8
74,("*+"0,"下列算式正确的是$!!%!
+
(
'
(+'
34(*/+*108*
54+"/("08"
+'64$+*%(/$,'*1%0,"#*1+(74$,+*1%/$,(*1%08*1
考点'(
考法+)
'+考点(*考法考点'.考法+
*考点'.考法(
)
*
'++
*
知江苏南通中考*已"*)0."",)0("
则",)0!!!!!
解因式苏无锡中考*(+*,.*)江
,)
+
+
+
+
74"*,=0"$**(%$*,(%
0!!!!!!*)
多项式湖南长沙中考*将0,,+0,*,因式分解的结果!!!!!
+
算(点计若则应填的单项式考;内考法$"%$,(")
%$+"),")*+%)
是考点$+%*$*,+%,+*$**"%,(*$*,'%!考法34*154(*164*74(*
考点)宁*因(0*,01!式分解夏中考考法河北中考)*"下列各式从左到右的变形(")*()),知"0+")0("则考点已属于因式分解的是$!!%!考法(")
)/)0!!!!!
+
(*10(*1";?$!!%!
+
中档题
'+
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*'+.*'++
++
(0+0+0(08
+(00
+#! m1ï"
ll }ËÉ´)("Wnf¡4íXâ,Ð1Yôà¥K£7!!!!!!8!ÆB°æÐôà1Z[b#ãçÐ1l#+5ãÁV #Aá\f
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123`aEb2cd
先化简求值"再(
-$**1%$*,1%,$*,1%+*+1$*,1%.
考点'+
考法-
)
>$,+1%"
"
其中"*"10+!
+
++++++++++++++++++++++++++++,
解析 */*0*0*!
式析+!7!解 原0,"0,"!析是同类项能合并本(!7!解 3"不"不"故选项错误本选项!5"$("%0="'8""故错误是同类项能合并本选项!6"不"不"故
选项正确错误!7",("*+"0,""故!
果漏掉了字母果析.!5!解 3"结&1'!6"结果应为应为,.#*1!7"结8*1!据题意析'!6!解 根"得(*1>(*10*!
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++++++++++++++++++++++++++++++++++++,
""! $"%$,(")%$+"+),")*+%
$,(")%?+
++
0,8"()*("+),8")
解
0$,(")%$+"+)%*$,(")%$,")%*
++++++++++++++++++++++++++++,
$+%*$*,+%,+*$**"%,(*$*,'%0
*/***/$,+%*$,+*%**$,+*%/"*
++++
"+! 0*,0100$*,1%00$**1%/$*
解
+
$,(*%/**$,(*%/$,'%0,.**""*
8!7
,1%
解析此 3"*,*1**0*$*,1*"%"故
选项错误!5"",+")*")0"$",)%"故此选项正确!6"*,+**.0$*,"%*
是因式分解此选项错误("不"故!7""*,法进行因式分解此选项错误"故!="无)!"+!解 ",)0$"*)%$",)%0.?(析
5!-!
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第十四章整式的乘法与因式分解-全自助初中数学PDF.doc
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