结构力学

第十五章 结构动力计算 第三节 单自由体系自由振动单自由度体系运动方程

2 / 67

m + cy + ky = FE (t ) y 单自由度体系自由振动

m + cy + ky = 0 y

+ 2ξωy + ω y = 0 y2

k ω = m c ξ= 2m ω2

第十五章 结构动力计算 第三节 单自由体系自由振动1、无阻尼的自由振动 (ξ = 0 )

3 / 67

m + ky = 0 y

+ ω y = 0 y2

为什么要讨论 这种简单模型？ 这种简单模型？2

k ω = mυ 这种理想情况所得到的某些结果，可以相当精确地反映 这种理想情况所得到的某些结果， 实际结构的一些动力特性； 实际结构的一些动力特性； υ 可以与考虑阻尼的情况加以对比，以便更好地了解阻 可以与考虑阻尼的情况加以对比， 尼的作用。 尼的作用。

第十五章 结构动力计算 第三节 单自由体系自由振动1、无阻尼的自由振动 (ξ = 0 )y

4 / 67

y( t ) = A1 cos ω t + A2sinω t

y( t ) = A0sin(ω t + α )振动将以一个连 续地定常幅度振动。 续地定常幅度振动。 经过一固定时段 又恢复原运动状态。 又恢复原运动状态。y

A a

ω t+α

A0

α

t

第十五章 结构动力计算 第三节 单自由体系自由振动1、无阻尼的自由振动 (ξ = 0 ) 通过初始条件确定待定系数

5 / 67

y( t ) = A1 cos ω t + A2sinω t y0 = y0 cos ωt + sinω t ω由y0引起的

A1 = y0

A2 =

ω

y0

由 y0 引起的

第十五章 结构动力计算 第三节 单自由体系自由振动1、无阻尼的自由振动 (ξ = 0 ) 通过初始条件确定待定系数

6 / 67

y( t ) = A0sin(ω t + α )A0 A1

A0 =

y0 2 y0 + ω

2

y0ω α α = arctan y 0 A2 A0 ——振幅(amplitude of vibration) 振幅( 振幅 ) α ——初始相位角 初始相位角。 初始相位角总动力位移

第十五章 结构动力计算 第三节 单自由体系自由振动1、无阻尼的自由振动 (ξ = 0 )

7 / 67

T=

2π

ω

称周期(振动一次所需的时间) 周期(振动一次所需的时间)

1 f = 工程频率(单位时间内振动次数) 称工程频率(单位时间内振动次数) T 2π 圆频率( 秒内振动次数 秒内振动次数， ω = = 2π f 称圆频率(2π秒内振动次数， T 或单位时间内转的周数) 或单位时间内转的周数)

第十五章 结构动力计算 第三节 单自由体系自由振动1、无阻尼的自由振动 (ξ = 0 )

8 / 67

W = mg

k=

1

δ

W ys = δ W = k

ω=

g kg k = = = Wδ W m

g 1 = ys mδ

自振频率和周期的特性： 自振频率和周期的特性： 只与质量和刚度有关，与荷载无关； ① 只与质量和刚度有关，与荷载无关；是结构动力反 应的重要标志，系本身固有的属性。 应的重要标志，系本身固有的属性。 刚度越大，频率越高，周期越短；质量越大，

② 刚度越大，频率越高，周期越短；质量越大，频率 越低，周期越长。 越低，周期越长。

第十五章 结构动力计算例题: 列振动方程，求自振频率和周期。 例题: 列振动方程，求自振频率和周期。m EI l EI l EI EA=∞ EI l =1

9 / 67

k 6i/ l 12i/l2

k

解： k = 4 × 12i / l 2 = 48 EI

l

3

m + y

48 EI l3

y=0

ω=

k = m

48 EI ml 3

ml 3 T = 2π 48 EI

第十五章 结构动力计算例题: 列振动方程，求自振频率和周期。 例题: 列振动方程，求自振频率和周期。m EI1=∞ l EI EI =1

10 / 67

m

解：

k = 2 × 12i / l =2

24 EI l3

2m + yk

24 EI l3 k = m

y=0 24 EI 2ml3

ω=

12i/l2 k

ml 3 T = 2π 12 EI

第十五章 结构动力计算例题: 求自振频率和周期。 例题: 求自振频率和周期。m EI EA l EI1=∞ ll l3 解： δ = + EA 3 EI

11 / 67

ω=

1 = mδ

1 l l3 m( ) + EA 3 EI

δF=1

l l3 T = 2π m ( ) + EA 3 EI

N=1

l

第十五章 结构动力计算例题 : 列振动方程，求自振频率和周期。 列振动方程，求自振频率和周期。E1I1=∞ α l/2 l/2 EA=∞ EI l/2 l EI

12 / 67

m 1 yA α

m 2 yN

3iy2 / l

第十五章 结构动力计算 m 1 m 2 y yA α N

13 / 67

3iy2 / l

∑

l M A = 0: m 1 ) + ( m 2 ) l N l = 0 ( y y 2 l 2 y1 = α y2 = α l N = 6iy 2 / l 2

第十五章 结构动力计算 l 2 2 m + ml α + 6iα = 0 2

14 / 67

α +

6i l 2 m + ml 2 2

α =0

α + ω 2α = 0

ω=

6i l m + ml 2 2 2

=

24 EI 5ml 3

第十五章 结构动力计算α =1l

15 / 67

6i / l

3i 3i l 2 2 m + ml α + 6iα = 0 2 2

Jα + K α α = 0

l J = m + ml 2 ——转动惯量 转动惯量 2 K α = 6i ——产生单位转角位移需要的力 产生单位转角位移需要的力偶

第十五章 结构动力计算

16 / 67

A

JαKα α

Jα + K α α = 0ω =Kα J

具有共同的自由度时，各质点的质量或转 具有共同的自由度时， 动惯量才能相加。 动惯量才能相加。