1.3 二项式定理

1．3.1 二项式定理

1．会证明二项式定理． 2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式． 3．能解决与二项展开式有关的简单问题.

1．二项式定理的证明．(难点) 2．利用通项公式求特定项或其系数．(重点)

3．二项式系数与二项展开式中某项的系数．(易混点)

牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个个重 要的发现．有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差， 他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住姑娘的手指，

错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，

离他而去．牛顿也因此终生未娶．

那么，什么是二项式定理？ 二项式定理的无穷魅力在哪里？

二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnr·n－rbr＋…＋ a 公式 Cnn·n b 称为二项式定理．

概念 二项式 系数 二项式 通项 二项展 开式

各项的系数Cnr(r＝0,1,2，…，n)．

Cnran－rbr是展开式中的第 Tr＋1＝Cnr·n－r·r. a b r＋1 项，可记作

Cn0an＋Cn1·n－1· a b＋…＋Cnran－r·r＋…＋Cnn·n. b b

备注：在二项式定理中，如果令a＝1，b＝x， n＝ 1＋Cn1x＋Cn2x2＋ ＋Cnrxr＋ ＋Cnnxn . 则得到公式(1＋x)

1．(1－x)10展开式中x3项的系数为(

A．－720 C．－120 解析： Tr＋1＝C10r(－x)r， 令r＝3，则T4＝－C103x3＝－120x3. B．720 D．120

)

答案： C

1 3 n 2．对于二项式 x＋x (n∈N*)，有以下四种判断：

①存在n∈N*，展开式中有常数项； ②对任意n∈N*，展开式中没有常数项； ③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项； ④存在n∈N*，展开式中有x的一次项． 其中正确的是( A．①与③ C．②与④ ) B．②与③ D．①与④

解析： 二项式

－

1 3 n ＋x 的展开式的通项公式为Tr＋1＝ x

Cnrx4r n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈ N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选D .

答案： D

3. 答)．

1 2x－ 2x

6

的展开式的常数项是________(用数字作

解析：

1 6 由题知 2x－2x 的通项为

Tk＋1＝(－1)kC6k26－2kx6－2k. 要求常数项，只需令6－2k＝0，解得k＝3. 故常数项为(－1)3C63＝－20.

答案：

－20

4．已知(1－2x)5展开式中第2项大于第1项而不小于第3项，

求x的取值范围．

解析： 1 x＜－10 －1≤x≤0 4

C 1 －2x ＞C 0 5 5 1 由题意可得 C5 －2x ≥C52 －2x 2

1 1 －4≤x＜－10.

.

1 1 所以x的取值范围是 x －4≤x＜－10

1 x－ 8 求 4 的展开式． 2 x

1 x－ [解题过程] 方法一： 4 2 x

8

＝C80(

x )8＋

1

1 1 － － － C81( x)7· 4 ＋C82( x)6· 4 2＋ ＋C88· 4 8 2 x 2 x 2 x 1 1 13 1 2 5 1 3 7 1 4 1 5 1 4 ＝x －2C8 · 4 ＋4 C8 ·2－8C8 ·4 ＋16C8 x－32C8 x4 ＋ x x x 1 6 1 1 7 5 1 －2 C x－ － C8 x－ ＋ x . 64 8 2 128 4 256