高三数学专题高效复习课件4

专题高效升级卷4 不等式

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一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分) 1. 设 a<b<0,则下列不等式中不 成立的是( ) .1 A. 1 a b

B.

a b

C.|-a|>|-b|

1 D. a 1 b a

答案：D1 2. 1 < x < ”是“不等式|x-1|<1 成立”的( 3 2

)

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案：A

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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3. 已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则( A.ab≤ 1 2 C.a2+b2≥2 答案：C B.ab≥ 1 2 D.a2+b2≤3

)

4. 不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a 对任意实数 x 恒成立， 则实数 a 的取值范围为( ) B.(-∞,-2]∪[5,

A.(-∞,-1]∪[4,+∞) +∞) C.[1,2] 答案：A

D.(-∞,1]∪[2,+∞)

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5. 已知 a1>a2>a3>0,则使得(1-aix)2<1(i=1,2, 3)都成立的 x 的取值范围是( A.(0, a1 )1

)

B.(0, a2 )2

C.(0, a1 )3

D.(0, a2 )3

答案：B 6.若 x, y∈R, 且 A.2 答案：B x 1, x 2 y 3 0, y x,

则 z=x+2y 的最小值等于 ( C.5 D.9

)

B.3

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log x, x 0, 7. 已知函数 f(x)= 则满足 f(a)>1 的 a 的取值范 x , x 0,2

2

围是( ) A.(-∞,2) B.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-1,2) D.(-∞,-1)∪(0,2) 答案：B 8. 已知在等差数列{an}中，a1=120,d=-4,若 Sn≤an(n ≥2) ,则 n 的最小值为( ) A.60 B.62 C.70 D.72 答案：B

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9.设偶函数 f(x)满足 f(x)=x3-8(x≥0) ,则{x|f(x-2) >0}=( ) A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2} 答案：B a 10. 已知不等式(x+y) (1 + )≥9 对任意正实数 x,y 恒成 y x 立，则正实数 a 的最小值为( A.2 B.4 C.6 答案：B ) D.8

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11. △ABC 满足 AB · AC =2 3 ,∠BAC=30°,设 M 是△ ABC 内的一点(不在边界上) ,定义 f(M)=(x,y,z) , 其中 x,y,z 分别表示△MBC,△MCA,△MAB 的面积，若 f(M)=(x,y, 1 ) ,则 1 +4 的最小值为 ( y 2 x A.9 答案：C B.8 C.18 D.16 )

1 2 n 12. 设 an= s in + sin + + sin ,则对任意正整数 m,n(m 2 2 22 n

>n) ,都成立的是( A.|an-am|< m2 n C.|an-am|< 21 答案：Cn

) n B.|an-am|> m 2

D.|an-am|> 21

n

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二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分) 13. 不等式 x x 2 x1 3 ≥x 的解集为_____.2

答案： [-3,1) 14. 已知 x>3,则函数 y= x 2 +x 的最小值为_____. 3 答案：3+22

15. 已知实数 x、y 同时满足以下三个条件：①x-y+2 ≤0;②x≥1;③x+y-7≤0,则 xy 的取值范围是______. 答案： [9 ,6] 5

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16. 已知 a、b∈R,且抛物线 y=x2+1 恒过点( 1 ,b) , a 则|ab|

的最小值是______. 答案：2 三、解答题(本大题共 4 小题，每小题 9 分，共 36 分) 17. 已知函数 f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)- ax-5,其中 f′(x)是 f(x)的导函数.对满足-1≤a≤1 的一切 a 的值，都有 g(x)<0,求实数 x 的取值范围.

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解：由题意 g(x)=3x2-ax+3a-5,此题表面上是一 个给出参数 a 的范围，解不等式 g(x)<0 的问题，实际上， 把以 x 为变量的函数 g(x) ,改为以 a 为变量的函数，就转 化为不等式的恒成立问题，即令 φ ( a )=(3 -x ) a + 3x2 -5(-1≤a≤1) ,则对-1≤a≤1,恒有 g(x)<0,即φ (a)<0,从而转化为对-1≤a≤1,φ (a)<0 恒成立， 又由φ (a)是 a 的一次函数，因而是一个单调函数，它的最 (1) 0, 3 x 值在定义域的端点处取到.为此只需 即 3 x ( 1) 0, 2 2

x 2 0, x 8 0.

2 解得- 2 < x < 1. 故 x ∈(- ,1)时，对满足-1≤a≤1 3 3

的一切 a 的值，都有 g(x)<0.

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18. 某化工企业 2007 年底投入 100 万元，购入一套污水处理 设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元， 此外每年都要花费一定的 维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维 护费都比上一年增加 2 万元. (1)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y(万 元) ; (2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年 后需要重新更换新的污水处理设备？4 6 2 x) 100 解： (1)y= 100 0.5x (2 ,即 y = x + +1.5(x>0) ; x x

(2)由均值不等式得 y=x+ 100 +1.5≥2 x 元) , 当且仅当 x= 100 ,即 x=10 时取到等号. x 答：该企业 10 年后需要重新更换新设备.

x

100 x

+1.5=21.5(万

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19. 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐 . 已知一个单位的 午餐含 12 个单位的碳水化合物， 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维 生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋 白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至 少含 64 个单位的碳水化合物， 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维 生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么 要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多 少个单位的午餐和晚餐? 解：法(一) :设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个 单位和 y 个单位，所花的费用为 z 元， 则依题意得 z=2.5x+4y,且 x,y 满足 x 0, y 0, 12 x 8 y 64, 6 x 6 y 42, 6 x 10 y 54,

即

x 0, y 0, 3 x 2 y 16, x y

7, 3 x 5 y 27 .

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z在可行域的四个顶点A(9,0),B(4,3),C (2,6),D(0,8)处的值分别是zA=2.5×9 +4×0=22.5,

zB=2.5×4+4×3=22, zC=2.5×2+4×5=25, zD=2.5×0+4×8=32. 比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单 位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求. 法(二):设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别 为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，

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则依题意得 z=2.5x+4y,且 x,y 满足

x 0, y 0, 12 x 8 y 64, 6 x 6 y 42, 6 x 10 y 54,

即

x 0, y 0, 3 x 2 y 16, x y 7, 3 x 5 y 27 .

让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平移，由 此可知 z=2.5x+4y 在 B(4,3)处取得最小值. 因此， 应该为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚 餐，就可满足要求.

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20. 设 f(x)=3ax2+2bx+c,若 a+b+c=0,f(0)f(1)> 0,求证： (1)方程 f(x)=0 有实根； (2)-2< b <-1; a (3)设 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个实根，则 33 ≤|x1-x2|< 2 . 3 证明： (1)若 a=0,则 b=-c.f(0)f(1)=c(3a+2b+c) =-c2≤0,与已知矛盾， 所以 a≠0. 方程 3ax2+2bx+c=0 的判别式Δ =4(b2-3ac). 由条件 a+b+c=0,消去 b,得2 c Δ =4(a2+c2-ac)=4[ (a- 2 )2+ 3 c ]>0, 4

故方程 f(x)=0 有实根.

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(2)由 f(0)f(1)>0,得 c(3a+2b+c)>0, 由条件 a+b+c=0,消去 c,得(a+b) (2a+b)<0.b 因为 a2>0,所以(1+ b ) ( 2 + )<0. a a

故-2< b <-1. a2b c a b (3)由条件，知 x1+x2=- 3 , x x = =- , 1 2 a 3a 3a

2 4 3 1 所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2= 9 (b + ) + . a 2 3 2 1 4 因为-2< b <- 1 ,所以 ≤( x - x ) < . 1 2 a 3 9

故 33 ≤|x1-x2|< 2 . 3