高中数学经典解题技巧和方法以及跟踪练习题附答案

高中数学经典的题技巧（函数、基本初等函数的图象与性质）

【编者按】集合跟常用逻辑用语是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。

首先，解答函数、基本初等函数这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：

1．函数

（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

（3）了解简单的分段函数，并能简单应用。

（4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。

（5）会运用函数图象理解和研究函数的性质。

2．指数函数

（1）了解指数函数模型的实际背景。

（2）理解有理指数幂的含义，了解褛指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。

（4）知道指数函数是一类重要的函数模型。

3．对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。

（3）知道对数函数是一类重要的函数模型。

（4）了解指数函数y a与对数函数y logax互为反函数（a 0,且a 1）。

4．幂函数

（1）了解幂函数的概念

11（2）结合函数y x,y x,y x,y ,y x2的图象了解它们的变化情况。 x23x

高中数学经典解题技巧和方法以及跟踪练习题附答案

好了，搞清楚了函数、基本初等函数的基本内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。 一、基本初等函数问题

考情聚焦：1．一元二次函数、指数函数、对数函数和幂函数是最重要的基本初等函数，在每年高考中都有涉及到直接考查它们定义、定义域和值域、图象和性质的问题。

2．常与函数的性质、方程、不等式综合命题，多以选择、填空题的形式出现，属容易题。

解题技巧：1．一元二次、二次函数及指数\对数函数和幂函数的定义、定义域、值域、图象和性质是解决此类题目的关键，同时要注意数形结合、化归和分类讨论思想的应用。

2.熟记幂和对数的运算性质并能灵活运用。

例1：（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ4）函数y=1+ln（x-1）(x>1)的反函数是

（A） y=e

(C) y=ex 1-1(x>0) (B) ）y=e-1(x R) (D）y=ex 1+1(x>0) x 1x 1+1 (x R)

【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法。

【思路点拨】运用求反函数的方法解。

【规范解答】 选D，y=1+ln（x-1），ln（x-1）=y-1,x-1=ey-1,所以反函数为y=ex 1+1 (x R)

【方法技巧】求反函数的步骤：（1）反解x,即用y表示x.

(2)把x、y互换，

（3）写出反函数的定义域，即原函数的值域。本题注意指数式与对数式的互化。

2例2：（2010·天津高考文科·Ｔ6）设a log54，b （log53），c log45，则（ ）

(A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c

【命题立意】考查利用对数的性质及对数函数的单调性比较大小。

【思路点拨】根据对数的性质及对数函数y log5x的图像，可得0 log53 log54 1，

c log45 1。

【规范解答】选D，由对数函数y log5x的图像，可得0 log53 log54 1，

2 b (log3) log54，又c log45 1, b a c。 5

【方法技巧】比较对数函数值的大小问题，要特别注意分清底数是否相同，如果底数相同，直接利用函数

的单调性即可比较大小；如果底数不同，不仅要利用函数的单调性，还要借助中间量比较大小。

高中数学经典解题技巧和方法以及跟踪练习题附答案

二、函数与映射概念的应用问题

考情聚焦：1.该考向在高考中主要考查与函数、映射概念相关的定义域、映射个数、函数值、解析式的确定与应用。

2.常结合方程、不等式及函数的有关性质交汇命题，属低、中档题。

解题技巧：1.求函数定义域的类型和相应方法。

2.求f(g(x))类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，面对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解，特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性。

3.求函数的解析式，常见命题规律是：先给出一定的条件确定函数的解析式，再研究函数的有关性质；解答的常用方法有待定系数法、定义法、换元法、解方程组法、消元法等。

4.映射个数的计算一般要分类计数。

log2x,x 0, 例3：（2010·天津高考理科·Ｔ8）若函数f(x)= log( x),x 0,若f(a)>f(-a),则实数a的取值1 2

范围是 ( )

（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）

（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）

【命题立意】考查对数函数的图像和性质。

【思路点拨】对a进行讨论，通过图像分析f(a)>f(-a)对应的实数a的范围。

【规范解答】选C，当a>0，即-a<0时，由f(a)>f(-a)知log2a log1a，在同一个坐标系中画出y log2x

2

和y log1x函数的图像，由图像可得a>1；当a<0,即-a>0时，同理可得-1<a<0，综上可得a的取值

2

范围是（-1，0）∪（1,+∞）。

三、函数图象问题

考情聚焦：1.函数图象作为高中数学的一个“重头戏”，是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，已成为各省市高考命题的一个热点。

2.常以几类初等函数的图象为基础，结合函数的性质综合考查，多以选择、填空题的形式出现。 解题技巧：1.基本初等函数的图象和性质，函数图象的画法以及图象的三种变换。

2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系、结合图象研究。

3.在研究一些陌生的方程和不等式时常用数形结合法求解。

例4：（2010·山东高考理科·Ｔ11）函数y 2 x的图象大致是（ ） x2

高中数学经典解题技巧和方法以及跟踪练习题附答案

【命题立意】本题考查函数的图象，函数的基础知识以及数形结合的思维能力,

考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力。

【思路点拨】利用特殊值对图象进行估计分析.

【规范解答】选A，因为当x＝2或4时，2 x 0，所以排除B、C；当x＝-2时，2-x＝

故排除D，所以选A.

四、函数性质问题

考情聚焦：该考向是各省市高考命题大做文章的一个重点。常与多个知识点交汇命题，且常考常新，既有小题，也有大题，主要从以下三个方面考查：

1.单调性（区间）问题，热点有：（1）确定函数单调性（区间）；（2）应用函数单调性求函数值域（最值）、比较大小、求参数的取值范围、解（或证明）不等式。

2.奇偶性、周期性、对称性的确定与应用。

3.最值（值域）问题，考题常与函数的其他性质、图象、导数、基本不等式等综合。

例5：（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x) (a 1)lnx ax 1.

（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）设a 2，证明：对任意x1,x2 (0, )，|f(x1) f(x2)| 4|x1 x2|. 2x2x 21 4<0，4

a 12ax2 a 1 2ax 解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ )，f (x) . xx

当a≥0时，f (x)＞0，故f(x)在(0,+ )单调增加；

当a≤－1时，f (x)＜0, 故f(x)在(0,+ )单调减少；

当－1＜a＜0时，令f (x)＝0,解得x

当x∈

时, f (x)＞0； x∈

+ )时，f (x)＜0, 故f(x)在（

+ ）单调减

高中数学经典解题技巧和方法以及跟踪练习题附答案

少.

(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+ ）单调减少. 所以f(x1) f(x2) 4x1 x2等价于f(x1) f(x2)≥4x1－4x2,

即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.

a 12ax2 4x a 1 2ax+4＝令g(x)=f(x)+4x,则g (x) . xx

4x2 4x 1 (2x 1)2

于是g (x)≤＝≤0. xx从而g(x)在（0，+ ）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)， 即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+ ) ，f(x1) f(x2) 4x1 x2.