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第一部分 第七章 课时

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1．如图，在△ABC 中，点E ，G 分别为AB 边的三等分点，点F ，H 分别为AC 边的三等分点. 若△ABC 的面积为9 cm 2

，则四边形EGHF 的面积为( A

)

A ．3 cm 2

B ．4 cm 2

C ．5 cm 2

D ．6 cm 2 【解析】根据相似三角形的性质得，

S △AEF S △ABC ＝19，S △AEF S △AGH ＝14. ∵△ABC 的面积为9 cm 2，∴S △AEF ＝1 cm 2, S △AGH ＝4 cm 2,

∴S 四边形EGHF ＝ 3 cm 2.

2．如图，在△ABC 中，AB ＝12，BC ＝10，AC ＝8，AP 是它的一条角平分线，AP 的垂直平分线EF 与AP 相交于点E ，与BC 的延长线相交于F ，则AF 的长为

__12__.

【解析】∵EF 是AP 的垂直平分线，∴AF ＝PF ，

∴∠FAP ＝∠FPA .

∵∠FAP ＝∠FAC ＋∠CAP ，∠FPA ＝∠B ＋∠BAP .

AP 平分∠BAC ，

∴∠BAP ＝∠CAP ，∴∠FAC ＝∠B .

∵∠AFC ＝∠BFA ，∴△AFC ∽△BFA ，

∴CF AF ＝AF BF ＝AC AB ＝23

，∴AF 2＝CF ·BF ， 设CF ＝2x ，则AF ＝3x ，BF ＝BC ＋CF ＝10＋2x ，

∴(3x )2＝2x ·(10＋2x )，解得x ＝4，

∴AF ＝12.

3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点O 为AD 上一动点(0＜OA ＜4)，以O 为圆心，OA 的长为半径的圆交边CD 于点M ，连接OM ，过点M 作⊙O 的切线交边BC 于N .

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(1)求证：MC OD ＝CN DM ；

(2)设DM ＝x ，求OA 的长(用含x 的代数式表示)；

(3)在点O 的运动过程中，设△CMN 的周长为C ，试用含x 的代数式表示C ，你能发现怎样的结论？

(1)证明：∵MN 切⊙O 于点M ，

∴∠OMN ＝90°.

∵∠OMD ＋∠CMN ＝90°，∠CMN ＋∠CNM ＝90°，

∴∠OMD ＝∠MNC .

又∵∠D ＝∠C ＝90°，

∴△ODM ∽△MCN ，

∴MC OD ＝CN DM .

(2)解：在Rt △ODM 中，DM ＝x ，设OA ＝OM ＝R ，

∴OD ＝AD －OA ＝4－R ，由勾股定理，得(4－R )2＋x 2＝R 2，∴16－8R ＋R 2＋x 2＝R 2，

∴OA ＝R ＝16＋x 28

(0＜x ＜4)． (3)解：易得CM ＝CD －DM ＝4－x ，

OD ＝4－R ＝4－16＋x 28＝16－x 28

. ∵△ODM ∽△MCN ，

∴MC OD ＝CN DM ，

∴CN ＝8x 4＋x

， 同理，可得MN ＝16＋x 24＋x

， ∴△CMN 的周长为CM ＋CN ＋MN ＝(4－x )＋ 8x 4＋x ＋16＋x 2

4＋x ＝32＋8x 4＋x

＝8. ∴在点O 的运动过程中，△CMN 的周长C 始终为8，是一个定值．

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