2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

x2 x（1）曲线y 2渐近线的条数为（当x=1时，y=无穷，为垂直渐近线。当x=无穷时，

x 1

y=1，为水平渐近线。）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】：（C）

x2 x【解析】：lim2 ，所以x 1为垂直渐近线

x 1x 1

x2 x

lim2所以y 1为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C）。 1，

x x 1

（2）设函数f(x) (e 1)(e（A）( 1)（C）( 1)

n 1

x

2x

2) (enx n)，其中n为正整数，则f'(0)

(n 1)! （B）( 1)n(n 1)! n! （D）( 1)nn!

'

n 1

【答案】：（C）

'x2xnxx2xnx

(e 2) (e n) 【解析】：f(x) e(e 2) (e n) (e 1)

所以f(0) ( 1)

'n 1

n!，故选（C）。

（3）设an 0,(n 1,2,...)，sn a1 ... an，则数列 sn 有界是数列 an 收敛的 (A)充分必要条件.

（C）必要非充分条件. 【答案】：(B)

(B)充分非必要条件.

（D）即非充分地非必要条件.

【解析】：由于an 0， sn 是单调递增的，可知当数列 sn 有界时， sn 收敛，也即limsn

n

是存在的，此时有liman lim sn sn 1 limsn limsn 1 0，也即 an 收敛。

n

n

n

n

反之， an 收敛， sn 却不一定有界，例如令an 1，显然有 an 收敛，但sn n是无界的。故数列 sn 有界是数列 an 收敛的充分非必要条件，选(B)。

（4）设Ik（A）I1(C)

esinxdx(k=1,2,3),则有D（画图应该能说明）

k

x2

I2 I3

(B)

I3 I2 I1 I2 I1 I3

I2 I3 I1

(D)

【答案】：(D)

【解析】：由于当x ( ,2 )时sinx 0，可知

2

exsinxdx 0，也即I2 I1 0，可知

2

I1 I2。

又由于

3

exsinxdx

2

2

2

x

esinxd x

2

3

x2

2

对esinx，dx

2

3

做变量代换exsinxdx

得

2

t x

e

2

3

x2

sinxdx e

t 2

2

sin t dt e

2

t 2

sintdt e

2

x 2

sinxdx，

时

故

3

esinxdx

x2

x2

e

x2

e

x 2

sinxdx

由于当

x ( ,

sinx 0,e e

x 2

0，可知 exsinxdx 0，也即I3 I1 0，可知I3 I1。

3

2

综上所述有I2 I1 I3，故选(D).

（5）设函数f(x,y)可微，且对任意x,y 都 有 f(x,y) 0， f(x,y) 0，则使得

x y

f(x1,y1) f(x2,y2)成立的一个充分条件是

(A) x1 x2,y1 y2 (C) x1 x2,y1 y2 【答案】：(D) 【解析】：

(B) x1 x2,y1 y2 (D) x1 x2,y1 y2

f(x,y) f(x,y)

， 0表示函数f(x,y)关于 0（>说明了X是单调递增吗？）

y x

变量x是单调递增的，关于变量y是单调递减的。因此，当x1 x2,y1 y2时，必有

f(x1,y1) f(x2,y2)，故选D

（6）设区域D由曲线y sinx,x

2

,y 1,围成，则 x5y 1 dxdy ()

(A) (B)2(C) 2(D)

【答案】：（D） 【解析】：区域D如图中阴影部分所示，为了便于讨论，再引入曲线

y sinx将区域分为D1,D2,D3,D4四部分。由于D1,D2关于y轴对

称，可知在D1 D2上关于x的奇函数积分为零，故

D1 D2

x5ydxdy 0；

又由于D3,D4关于x轴对称，可知在D3 D4上关于y的奇函数为零，故

D3 D4

x5ydxdy 0。

1

因此

xy 1 dxdy dxdy 2 dx

5D

D

2

sinx

dy

，故选（D）。

0 0 1 1

（7）设 1 0 , 2 1 , 3 1 , 4 1 其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向

c c c c 1 2 3 4

量组线性相关的是（ ）

（A） 1, 2, 3 （B） 1, 2, 4 （C） 1, 3, 4 （D） 2, 3, 4 【答案】：（C）

【解析】：由于 1, 3, 4 0

1 1c3

11 c1c4

1 1

11

0，可知 1, 3, 4线性相关。故

c1

选（C）。

1

1

1（8）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且PAP ，P 1, 2, 3 ， 2 Q 1 2, 2, 3 则Q 1AQ （ ）

1 1

21（A） （B） 1 2 2 2

12（C） （D） 2 1

【答案】：（B）

100 100

1 1

【解析】：Q P 110 ，则Q 110 P，

001 001

故

100 100 100 1 100 1

Q 1AQ 110 P 1AP 110 110 1110 1

001 001 001 2 001 2

故选（B）。

二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

2

dy（9）设y y(x)是由方程x y 1 e所确定的隐函数，则dx2

2

y

（两次求导然后

x 0

把x=0，y=0带入 ）________。 【答案】：1 【解析】：将x 0代入原方程可得y 0 方程x2 y 1 ey两端对x求导，有2x

dydy，将x 0、y 0代入可得，所以

eydxdx

dy

dx

0

x 0

2

22dydydy，再将x 0、y 0、dy yy再次求导得2 e e 0代入可得 22dxdxdxx 0 dx

d2y

dx2

1。

x 0

（10）计算limn

x

111 _____（制造处1/n和 …… 此处隐藏：5274字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……