2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

x2 x（1）曲线y 2渐近线的条数为（当x=1时，y=无穷，为垂直渐近线。当x=无穷时，

x 1

y=1，为水平渐近线。）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】：（C）

x2 x【解析】：lim2 ，所以x 1为垂直渐近线

x 1x 1

x2 x

lim2所以y 1为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C）。 1，

x x 1

（2）设函数f(x) (e 1)(e（A）( 1)（C）( 1)

n 1

x

2x

2) (enx n)，其中n为正整数，则f'(0)

(n 1)! （B）( 1)n(n 1)! n! （D）( 1)nn!

'

n 1

【答案】：（C）

'x2xnxx2xnx

(e 2) (e n) 【解析】：f(x) e(e 2) (e n) (e 1)

所以f(0) ( 1)

'n 1

n!，故选（C）。

（3）设an 0,(n 1,2,...)，sn a1 ... an，则数列 sn 有界是数列 an 收敛的 (A)充分必要条件.

（C）必要非充分条件. 【答案】：(B)

(B)充分非必要条件.

（D）即非充分地非必要条件.

【解析】：由于an 0， sn 是单调递增的，可知当数列 sn 有界时， sn 收敛，也即limsn

n

是存在的，此时有liman lim sn sn 1 limsn limsn 1 0，也即 an 收敛。

n

n

n

n

反之， an 收敛， sn 却不一定有界，例如令an 1，显然有 an 收敛，但sn n是无界的。故数列 sn 有界是数列 an 收敛的充分非必要条件，选(B)。

（4）设Ik（A）I1(C)

esinxdx(k=1,2,3),则有D（画图应该能说明）

k

x2

I2 I3

(B)

I3 I2 I1 I2 I1 I3

I2 I3 I1

(D)

【答案】：(D)

【解析】：由于当x ( ,2 )时sinx 0，可知

2

exsinxdx 0，也即I2 I1 0，可知

2

I1 I2。

又由于

3

exsinxdx

2

2

2

x

esinxd x

2

3

x2

2

对esinx，dx

2

3

做变量代换exsinxdx

得

2

t x

e

2

3

x2

sinxdx e

t 2

2

sin t dt e

2

t 2

sintdt e

2

x 2

sinxdx，

时

故

3

esinxdx

x2

x2

e

x2

e

x 2

sinxdx

由于当

x ( ,

sinx 0,e e

x 2

0，可知 exsinxdx 0，也即I3 I1 0，可知I3 I1。

3

2

综上所述有I2 I1 I3，故选(D).

（5）设函数f(x,y)可微，且对任意x,y 都 有 f(x,y) 0， f(x,y) 0，则使得

x y

f(x1,y1) f(x2,y2)成立的一个充分条件是

(A) x1 x2,y1 y2 (C) x1 x2,y1 y2 【答案】：(D) 【解析】：

(B) x1 x2,y1 y2 (D) x1 x2,y1 y2

f(x,y) f(x,y)

， 0表示函数f(x,y)关于 0（>说明了X是单调递增吗？）

y x

变量x是单调递增的，关于变量y是单调递减的。因此，当x1 x2,y1 y2时，必有

f(x1,y1) f(x2,y2)，故选D

（6）设区域D由曲线y sinx,x

2

,y 1,围成，则 x5y 1 dxdy ()

(A) (B)2(C) 2(D)

【答案】：（D） 【解析】：区域D如图中阴影部分所示，为了便于讨论，再引入曲线

y sinx将区域分为D1,D2,D3,D4四部分。由于D1,D2关于y轴对

称，可知在D1 D2上关于x的奇函数积分为零，故

D1 D2

x5ydxdy 0；

又由于D3,D4关于x轴对称，可知在D3 D4上关于y的奇函数为零，故

D3 D4

x5ydxdy 0。

1

因此

xy 1 dxdy dxdy 2 dx

5D

D

2

sinx

dy

，故选（D）。

0 0 1 1

（7）设 1 0 , 2 1 , 3 1 , 4 1 其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向

c c c c 1 2 3 4

量组线性相关的是（ ）

（A） 1, 2, 3 （B） 1, 2, 4 （C） 1, 3, 4 （D） 2, 3, 4 【答案】：（C）

【解析】：由于 1, 3, 4 0

1 1c3

11 c1c4

1 1

11

0，可知 1, 3, 4线性相关。故

c1

选（C）。

1

1

1（8）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且PAP ，P 1, 2, 3 ， 2 Q 1 2, 2, 3 则Q 1AQ （ ）

1 1

21（A） （B） 1 2 2 2

12（C） （D） 2 1

【答案】：（B）

100 100

1 1

【解析】：Q P 110 ，则Q 110 P，

001 001

故

100 100 100 1 100 1

Q 1AQ 110 P 1AP 110 110 1110 1

001 001 001 2 001 2

故选（B）。

二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

2

dy（9）设y y(x)是由方程x y 1 e所确定的隐函数，则dx2

2

y

（两次求导然后

x 0

把x=0，y=0带入 ）________。 【答案】：1 【解析】：将x 0代入原方程可得y 0 方程x2 y 1 ey两端对x求导，有2x

dydy，将x 0、y 0代入可得，所以

eydxdx

dy

dx

0

x 0

2

22dydydy，再将x 0、y 0、dy yy再次求导得2 e e 0代入可得 22dxdxdxx 0 dx

d2y

dx2

1。

x 0

（10）计算limn

x

111 _____（制造处1/n和i/n）___。

… 22222 1 n2 nn n

【答案】：

4

1n

lim n ni 1

1 i

1 n

2

【解析】：原式

dx arctanx .0 1 x24

1

（11）设z f lnx 1 ,其中函数

y

f(u)可微，则x

z z

y2 ________。 x y

【答案】：0.

【解析】：因为 z f 1, z f 1 ，所以x z y2 z 0.

y2 x y xx y

（12）微分方程ydx (x 3y2)dy 0满足初始条件y|x 1的解为________。 【答案】：x

y2

dx1

3y x dx 1x 3y为一阶线性微分方dyydyy

【解析】：ydx (x 3y2)dy 0 程，所以

1

1 dy 13 ydy 2y (y C)x e 3y edy C 3ydy C y y

1

又因为y 1时x 1，解得C 0，故x y2.

（13）曲线y x2 x(x

0)上曲率为的点的坐标是________。(注五星)（曲率计算公

2

式需记住） 【答案】： 1,0

【解析】：将y’ 2x 1,y” 2代入曲率计算公式，有

K

|y |

23/2

(1 y)

2 1 (2x 1)

2

3

2

整理有(2x 1) 1，解得x 0或 1，又x 0，所以x 1，这时y 0， 故该点坐标为 1,0

*

（14）设A为3阶矩阵，A 3,A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩

*

2

阵B,则BA ________。 【答案】： 27

***【解析】：BA BA，其中B A 3,A A

3 1

9，可知BA* 27。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）

已知函数f(x) （1）求a的值

1 x1

，记a limf(x)

x 0sinxx,

（2）若当x 0时，f(x) a是x的同阶无穷小，求k 【解析】：（1）limf(x) lim

x 0

k

1x x sinxx 1

lim lim 1，即a 1 x 02x 0sinxx 0xsinx xsinx

（2）,当x 0时，由f(x) a f(x) 1 又因为，当x 0时，x sinx与（16）（16）（本题满分10分） 求f x,y xe

x2 y2

2

11x sinx

sinxxxsinx

13

x等价，故f(x) a~1x，即k66

1

的极值。

x2 y2

2

【解析】：f x,y xe先求函数的驻点：令

，

x y

22 0 fx x,y 1 x e

， x2 y2

2

fx,y xye 0 y

22

解得驻点为 1,0 , 1,0 .又

fxx x x2 3 e

x2 y2

2x2 y2

2x2 y2

2

fxy y 1 x2 efyy x 1 y2 e

对点 1,0 ，有A1 fxx 1,0 2e,B1 fxy 1,0 0,C1 fyy 1,0 e

21

12

12

所以，AC11 B 0,A1 0，故f x,y 在点 1,0 处取得极大值f 1,0 e. 对点 1,0 ，有A2 fxx 1,0 2e,B2 fxy 1,0 0,C2 fyy 1,0 e

2

1

2

12

12

所以，A2C2 B2 0,A2 0，故f x,y 在点 1,0 处取得极小值f 1,0 e. （17）（本题满分11分）

过点（0，1）点作曲线L:y lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L

1

2

与直线AB及x轴围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。 【解析】： 如图设切点坐标为A x0,lnx0 ，斜率为

1

，所以设切线方程为x0

y lnx0

1

x x0 ，又因为该切线过B(0,1)，所以x0 e2，x0

故切线方程为：y

1

x 1 2e

切线与x轴交点为B e,0

2

2

（1）A （2）

y212 y22

e e(y 1)dy e e(y y) e 1 2 0

2

e21222

ln2xdxV 2 e e 13

e2e282 2

e xlnx 2lnxdx 113

22e82e 2

e 4e 2xlnx 2dx 1 1 3 82

e2 2 e2 1 e2 2 33

（18）（本题满分10分） 计算二重积分

xyd ，其中区域D为曲线r 1 cos 0 与极轴围成。

D

【解析】：

xyd d

D

1 cos

rcos rsin rdr

1

sin cos (1 cos )4d

04 1

cos (1 cos )4dcos 40

令u cos 得，原式

11164

。 u(1 u)du 1415

''

'

（19）（本题满分10分）已知函数f(x)满足方程f(x) f(x) 2f(x) 0及

f'(x) f(x) 2ex

1）求表达式f

(x)

2）求曲线的拐点y f(x2)【解析】：

x

f( t2)dt

1）特征方程为r r 2 0，特征根为r1 1,r2 2，齐次微分方程

2

2xe得f (x) f (x) 2f(x) 0的通解为f(x) C1ex C2e 2x.再由f'(x) f(x)2C1ex C2e 2x 2ex，可知C1 1,C2 0。

故f(x) e 2

）

曲

线

方

程

2

x

为

y ex

2

x

e tdt

2

，则

y' 1 2xex

2

x

e tdt

2

，

y'' 2x 2 1 2x2 ex

x

e tdt

2

令y'' 0得x 0。为了说明x 0是y'' 0唯一的解，我们来讨论y''在x 0和x 0时的符号。

当x 0时，2x 0,21 2x2ex

2

x

e tdt 0，可知y'' 0；当x 0时，

2

2x 0,2 1 2x e

2

x2

x

e tdt 0，可知y'' 0。可知x 0是y'' 0唯一的解。

2

2

同时，由上述讨论可知曲线y f(x)

x

x

f( t2)dt在x 0左右两边的凹凸性相反，可知

0,0 点是曲线y f(x2) f( t2)dt唯一的拐点。

（20）（本题满分10分）

1 xx2

cosx 1 , 1 x 1 证明：xln1 x21 xx2

cosx 1 【解析】：令f x xln，可得 1 x2f' x ln

ln

1 x1 x2

x sinx x1 x1 x 1 x 2

1 x2x

sinx x2

1 x1 x1 x1 x2 ln x sinx

1 x1 x2

1 x21 x21 x

1，所以 x sinx 0，故f' x 0。而当0 x 1时，有ln 0，22

1 x1 x1 x

1 xx21 xx2

f 0 0，即得xln cosx 1 0，也即xln cosx 1。

1 x21 x21 x21 x21 x'

f当 1 x 0时，有ln，所以，故 1 x sinx 0 0， x 0。而22

1 x1 x1 x1 xx21 xx2

f 0 0，即得，xln cosx 1 0也即xln cosx 1。

1 x21 x21 xx2

当x 0时，显然有xln cosx 1 。

1 x21 xx2

可知，xln cosx 1 , 1 x 1

1 x2

（21）（本题满分11分） （1）证明方程x x

n

n 1

1

... x 1(n 1的整数)，在区间 ,1 内有且仅有一个实根；

2

n

（2）记（1）中的实根为xn，证明limxn存在，并求此极限。 【解析】： (1)由题意得：令f(x) x x

n

n 1

x 1，则f(1) ，再由0

11

(1 ()n)

1 1 1 (1)n 0，由零点定理f(x) xn xn 1 x 1得在 f() ,1

22 2 1 2

至少存在一个零点，也即方程x x

n

n 1

1

... x 1在区间 ,1 内至少有一个实根。

2

又由于f(x) x x

nn 1

1 nn 1

x 1在 ,1 上是单调的，可知f(x) x x x 1

2

n

n 1

在 ,1 内最多只有一个零点。故方程x x根。

（2）由于f(xn) 0，可知xn xn进而有xn 1

n 1

n

n 1

1 2 1

... x 1在区间 ,1 内有且仅有一个实

2

xn 1 0（ⅰ），

xn 1n xn 1 1 0，可知xn 1n xn 1n 1 xn 1 1 0（ⅱ），

比较（ⅰ）式与（ⅱ）式可知xn 1 xn，故 xn 单调。

又由于

1

xn 1，也即 xn 是有界的。则由单调有界收敛定理可知 xn 收敛，假设2

limxn a，可知a x2 x1 1。

n

xn(1 xnn)a1

1 1 0,得limxn 。 当n 时，limf(xn) lim

n n n 1 xn1 a2

（22）（本题满分11分）

1

0

设A

0 aa00 1

1a0 1

，

0 01a

001 0

（Ⅰ）求A

（Ⅱ）已知线性方程组Ax 有无穷多解，求a，并求Ax 的通解。

1a00

【解析】：（Ⅰ）

01a0001aa001

1a0001

a0001a

1 01a a ( 1)4 11a0 1 a4

1 1a

1a0 1 01

01a0 00

0010 0 a2

（Ⅱ）

01 1a0

01a0 1

001a0 42 0001 a a a

1 0 0 a

a00

1 1

a0 1 0

1a0 0

01 a 0

00a10

0a1

0a3

0 1 a0

1 a a2

01

可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有1 a 0及 a a 0，可知a 1。

42

1 1001 01 10 1 ，进一步化为行最简形得此时，原线性方程组增广矩阵为

001 10 00000 1

0 0 0

0

10 1 1

01 10

0000 00 1

1 0 1 0 1 11 1

可知导出组的基础解系为 ，非齐次方程的特解为 ，故其通解为k

1 0 1 0 1 0 1 0

线性方程组Ax b存在2个不同的解，有|A| 0.

11

即：

A 0 10 ( 1)2( 1) 0，得 1或-1.

1

1

111 x1 x

当 1时, 000 x

2 0 ，显然不符，故 1.

111 x3 1

1

1 （23）（本题满分11分）三阶矩阵A

11 10a

，AT为矩阵A的转置，已知

0a 1

r(ATA) 2，且二次型f xTATAx。

1）求a

2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。

1 a

【解析】：1）AT

A 2

0 0

1 a21 a

ATA) 2可得， 3 a2 由r(

1 a1 a

201 a01 a21 a 1 a 1 2

a2 a

1 a

3 a2

2

3 0，可知a 1。 202 x1 2）f xTATAx x2

1,x2,x3 02 224 x 2 x3

2x21 2x22 4x23 4x1x2 4x2x3 令矩阵B 202 022

224

2

E B

0 2

0 2

2 2 6 0

2

2

4

解得B矩阵的特征值为： 1 0; 2 2; 3 6

1

对于 1 0,解 1E B X 0得对应的特征向量为： 1 1

1 1

对于 2 2,解 2E B X 0得对应的特征向量为： 2 1

0 1

对于 3 6,解 3E B X 0得对应的特征向量为： 3 1

2

将 1, 2, 3单位化可得：

1 1 1 1 1 ， 2 1 ， 3 1

10

2

Q

1, 2, 3

3

20

2

6

2

令x Qy可将原二次型化为2y2 6y3。